结语¶

广义相对论的成功——尤其是在 1919 年日食考察之后——把张量带进了主流。例如，保罗·狄拉克（Paul Dirac）在他的量子电动力学（quantum electrodynamics，QED）方程中就同时用到了张量、向量和矩阵。在这套问世于 1927 年的理论中，狄拉克把麦克斯韦的电磁理论、电子的量子力学（由“狄拉克方程”描述）与狭义相对论统一在了一起。这是一项了不起的成就——而狄拉克当时只有二十五岁。

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狄拉克的量子电动力学助推了量子场论的诞生（因为量子电动力学处理的是带电粒子与电磁场之间的相互作用）。这种量子理论正是（例如）分析粒子对撞机中的粒子所需要的，因为这些粒子被加速到极高的速度，相对论效应变得显著。欧洲核子研究中心（CERN）著名的大型强子对撞机（Large Hadron Collider）这类粒子加速器，旨在寻找各种理论所预言的新粒子——2012 年希格斯玻色子的探测在当时就是一条大新闻。如今，一些物理学家怀疑，这样的代价是否值得。¹ 然而回到 1929 年底，狄拉克用他的理论预言了“反物质（antimatter）”这一奇异现象的存在——特别是“正电子（positron）”的存在：正电子是带正电的粒子，是带负电的电子的“镜像”。三年之后，人们用云室在实验中发现了正电子；如今它们已被常规使用——例如在 PET（正电子发射断层扫描，positron emission tomography）这样的医学成像过程中。²

狄拉克方程描述的是单个电子的行为，但在 1936 年，杰出的数学物理学家、格顿学院（Girton）毕业生伯莎·斯威尔斯（Bertha Swirles）把狄拉克的相对论性量子分析推广到了两个电子，其中包含了电子自旋的相互作用。³ 与诺特和奇泽姆·扬（Chisholm Young）一样，斯威尔斯也曾在哥廷根逗留，在那里与量子理论的两位先驱马克斯·玻恩（Max Born）和维尔纳·海森堡共事。1940 年，她与剑桥的地球物理学家哈罗德·杰弗里斯（Harold Jeffreys）结婚，并与他合写了一部数学物理教科书。她也继续着自己量子理论方面的研究，发表了许多论文，并在母校格顿学院担任数学讲师一职。

今天，相对论性量子力学（relativistic quantum mechanics；包括量子电动力学）在许多其他领域也很重要，包括量子化学、材料科学以及其他纳米技术应用。而我们前面已经看到，电子自旋有着众多应用，从核磁共振成像到量子计算机中的量子比特。至于张量与量子力学，我们在第 11 章看到过，向量与张量积在确定一组粒子或量子比特的量子态时很重要。张量积还被用来证明复制一个量子比特是不可能的（不可克隆定理），也被用来分析量子隐形传态（quantum teleportation）和纠缠这样引人入胜的事情。

再就是相对论宇宙学（relativistic cosmology）——爱因斯坦在完成广义相对论之后不久就开创了这一领域。张量当然是关键——尤其是度规，以及爱因斯坦方程组中的其他张量。我们前面看到过，爱因斯坦曾构造出一个静态的时空，可以用来描述地球或者一颗平静的恒星这类天体周围的时空，其引力场不随时间变化。1917 年，他着手为整个宇宙本身做同样的事。

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宇宙学的思路是：对宇宙中物质的空间分布做一些假设——这些假设会给出若干本质特征，而这些特征必须反映在时空度规之中。爱因斯坦假定他的宇宙学度规与时间无关，因为和当时几乎所有其他人一样，他相信宇宙是静态的。毕竟，太阳一直在燃烧，星辰也一直守着它们在天空中惯常的位置与路径——至少就天文学家所能判断的而言是这样。爱因斯坦还假定宇宙是球对称的，因为从总体上看，恒星与星系的分布显得是对称的。但问题在于，引力会让物质吸引其他物质——你会以为这意味着所有恒星与星系都会被持续不断地拉到一起，最终合并成一团。既然它们并没有这样做，而宇宙又显得是静态的，万物都安然待在各自的位置上，爱因斯坦便在场方程中增添了一项。这个额外项就是那个名声不佳的“宇宙学常数（cosmological constant）”，爱因斯坦用它来抵消引力天然的吸引倾向。

爱因斯坦的静态模型是第一个相对论性的宇宙模型。然而让他颇为恼火的是，1920 年代，亚历山大·弗里德曼（Alexander Friedmann）等数学家发现，广义相对论预言宇宙应当在膨胀（或者收缩）。直到 1929 年埃德温·哈勃（Edwin Hubble）找到了宇宙确实在膨胀的确凿证据，爱因斯坦才放弃了他对静态宇宙的信念——并在这个过程中放弃了宇宙学常数。他有句名言，称这个常数是他“最大的错误”；但今天他已被平反：宇宙学常数回来了——至少是试探性地回来了。由于它本就是为了把引力“顶回去”而设计的，在寻找那种神秘的暗能量（dark energy）时，它似乎是一件理想的工具——正是暗能量让宇宙不仅在膨胀，而且在加速膨胀。

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我可以继续讲下去，但终究必须停下来！只需这样说就够了：在今天的数学物理学中，向量与张量是不可或缺的。而且它们仍在演化——正如我们在第 11 章看到的张量的现代解释，以及嘉当对现代微分几何的发展所表明的那样。但向量与张量有用武之地的不只是数学和物理学。它们在工程学和化学中同样重要——比如从模拟涡轮机与航空发动机叶片上方的气流，到晶体学。它们在机器学习、搜索引擎、计算机视觉与自然语言处理这样的数字技术中很重要，这是我们在第 11 章看到的；在第 9 章看到的神经网络中，它们也很重要。

张量在所有这些领域都很重要，主要有两个原因：一是用来解决涉及不变性的问题——比如在广义相对论、量子力学以及神经网络中；二是用来表示和处理数据。当古代美索不达米亚的数学家把一张张数据表刻进泥板时，他们肯定从未想象过，今天数据科学中的张量需要处理的数据量有多么庞大。而古代中国的数学家在用类似矩阵的数组求解线性方程组时，也不会想到这些方程组今天变得多么复杂、多么多样——从优化商业成本与博弈策略，到机器人学与人工智能，再到我们在第 4 章看到的谷歌网页排名算法，无所不包。

在诸如此类的复杂问题中——在物理学与数学中也是如此，当方程太难精确求解时，或者当你想模拟某种过程时，比如两个黑洞的合并，或者未来的某种气候情景——往往需要使用数值方法。在最简单的层面上，这些方法先猜一个解，然后用一个算法对这个解做微调，给出越来越接近的近似。牛顿是这一路线的先驱之一，而今天已经有一整个专攻高深的计算数学的领域，其中包括数值线性代数（numerical linear algebra，NLA）。在许多这类计算方法中，张量、或者基于张量思想的算法，正以各种方式被用来解决令人眼花缭乱的一大堆问题。⁴

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在这些现代应用中，张量思想不仅在里奇的微积分那种传统意义上被使用，还常常被以巧妙的新方式加以改造。例如，在第 11 章我们看到过数据科学中的“参差张量（ragged tensors）”这一观念。这类改造的另一个不同例子，是狄拉克那个非凡的领悟：他的场方程只有在系数是矩阵、而不是像度规张量的分量 g_μν 那样的普通函数时，才具有物理意义。我们在整个故事中一遍又一遍地看到过这种思想的演化：数学家如何从数字走向向量，古代的表格如何变形为矩阵，然后向量与矩阵又如何变形为张量；代数如何发展成函数的微积分，再发展成向量与张量的微积分；以及数学家如何从代数变换方程走向张量算子。

再举一个改造张量思想的例子：张量网络（tensor network，TN）采用的正是把张量看作多重线性映射这一现代观念——这是我在第 11 章隐含地提到过的观念，当时我谈到张量的现代定义：它作用在向量与一次形式上，给出一个标量。举例来说，张量网络被用来为像素数组做映射与标注，以进行图像分类；或者被用来对纠缠性质分类——这只是两个例子——而我们前面已经看到，张量指标在标注不同特征时有多么好用。为了处理海量数据，张量网络还使用了矩阵方法的张量化改造，比如我在第 4 章提到过的那种分解。

惊奇之感¶

事实上，我们在这个故事里一路追随的所有数学工具，今天都是不可或缺的：代数、微积分、虚数、向量、四元数、矩阵和张量。它们所支撑的技术让我们的生活更加舒适、更有趣味，我可不想过没有它们的日子。当然，和如今我们中的许多人一样，我确实希望这些技术能得到更好的监管，因为我们现在已经知道，当技术被误用、或者在使用时不顾及人与地球，它是有阴暗面的。

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然而，如果我们想过上有意义的生活，光有高科技的舒适是不够的。我们还需要一种惊奇之感。我们的祖先曾怀着敬畏仰望夜空，长达十万年之久。他们在美丽的风景中寻求慰藉，并学会了如何与大地共生、如何取之于大地。他们也心怀好奇，试图理解自然的秘密——以及如何运用这些秘密知识让生活更轻松。所有这一切，正是使我们成为人类的东西。但正如我们如今已经极其鲜明地认识到的那样，在沿途的某个地方，恰恰是那种科学知识——以及那种不断增长的、对“舒适”的渴望，而在发达世界，这种渴望如今还意味着拥有大量的“东西”和攫取巨额利润——帮助打乱了自然精妙的平衡。我们砍伐了太多的森林，毒化了太多的河流，燃烧了太多的化石燃料，以至于我们正在失去这个星球上一切美丽而奇妙的东西。我们正在失去自己人性中一个至关重要的部分。

然而自然既可以是美丽的，也可以是可怕的，而正是科学帮助我们理解并缓解了其中的一些恐怖。比如，它解释了曾经看似来自神明的凶险预兆的日食；它做出天气预报，帮助我们为洪水和火灾做准备；它带来电力，保护我们免于黑暗与寒冷。尽管生产这些电力所造成的影响如今已让自然变得更加可怕，但科学与技术已经成为对抗灾难性气候变化的关键武器，一个令人振奋、更加绿色的未来就在前方。当然，这个未来不可能全都关乎技术。我们还需要我们与自然的古老联结。尽管如此，这些新技术充满了人类巧思的绝妙例证，而这些巧思同时也把我们与自己的过去连接在一起。

诚然，在数学与数学科学这一宏伟的智识创造之中，有着充裕的惊奇。我写这本书，正是为了与你分享其中的一些思想——也为了展示这个故事里的那些数学概念，是如何在穿越人类想象力的五千年多元文化之旅中演化的。这样一场奥德赛式的远行把我们与我们的先驱者连接在一起，正如同惊叹于繁星密布的夜空把我们与他们连接在一起一样。

当爱因斯坦最终找到他的场方程时，他告诉一位朋友，他认为它们“美得无与伦比”。⁵ 在这个故事里，我们看到过一些美妙的方程诞生。爱因斯坦的方程是里奇张量分析的登峰造极之作，我们也看到过麦克斯韦方程组如何演化成它们优美的向量形式与张量形式。我们看到，哈密顿刻在布鲁姆桥上的四元数规则简洁得令人愉快，欧拉的方程就是优雅简洁本身，牛顿的定律惊人地简练而有力，还有许许多多。我认为，能够欣赏这种智识之美是很重要的，正如能够欣赏音乐与艺术之美同样重要。

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我们也遇见了一些引人入胜、倾心投入的人物。他们中的一些人主要是受解决实际问题的愿望所驱动——而尽管我们近来在技术上伸展得过远，我在这个故事里想要凸显的一点正是：数学思想是如何与这些实际需求携手演化的。另一方面，这些先驱中有许多人仅仅是被求知与理解的愿望驱动，或者是被追随一个耐人寻味的模式或证明时那种颤栗般的兴奋驱动。这个故事表明，这两种思想者我们都需要。真正令人敬畏的是，多亏了他们所有的人，我们人类不仅有可能过上安全、舒适而有趣的生活；我们还能理解如此之多关于我们这个广袤而匪夷所思的宇宙的事情。这就是数学的力量！

粒子对撞机让物理学家得以建立描述物质及其与各种力相互作用的标准模型，CERN 指出，它除了科学收益之外还带来了社会效益：https://home.cern/news/news/cern/society-benefits-investing-particle-physics。不过，前粒子物理学家 Sabine Hossenfelder 是对科学收益持怀疑态度者之一；见，例如，她的博客文章 https://backreaction.blogspot.com/2022/04/did-w-boson-just-break-standard-model.html。同样，Quora 上的这篇帖子提出，大型强子对撞机的阴性结果（即未发现新粒子的结果）对科学至关重要，但这是在排除流行理论的意义上：https://www.quora.com/Was-building-the-Large-Hadron-Collider-worth-it-Did-they-discover-anything-from-it。另见，例如，Nick Scott, “CERN’s Grand Ambitions: Are Particle Accelerators Worth It?” Varsity（January 26, 2021）, https://www.varsity.co.uk/science/20486；Tom Hartsfield, “Please, Don’t Build Another Large Hadron Collider,” Big Think（June 6, 2022）, https://bigthink.com/hard-science/large-hadron-collider-economics/。 ↩
实际上，狄拉克用的是 E = mc² 的平方，它给出正解和负解：正解是爱因斯坦关于普通物质的方程；负解 E = −mc² 则指反物质。简要介绍见狄拉克 1933 年诺贝尔奖致辞的节录，in The World Treasury of Physics, Astronomy and Mathematics, ed. Timothy Ferris（Boston: Little, Brown, 1993）, 80–85。现代分析见 Luciano Maiani and Omar Benhar, Relativistic Quantum Mechanics（Boca Raton, FL: CRC Press, 2016）, 113–16。 ↩
见 Bertha Swirles, “The Relativistic Interaction of Two Electrons in the Self-Consistent Field Method,” Proceedings of the Royal Society A 157, no. 892（December 2, 1936）: 680–96。 ↩
计算数学（尤其是数值线性代数 NLA）中的张量：见，例如，Lek-Heng Lim, “Tensors in Computation,” Acta Numerica (2021): 555–764, DOI:10.1017/S09622 492921000076。 ↩
爱因斯坦致 Heinrich Zangger，document 152, Collected Papers of Albert Einstein, https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol8-trans/179。这封信也显示出爱因斯坦对前妻的怨恨，认为她似乎阻碍了他与儿子汉斯·阿尔伯特修复关系。 ↩