第 7 章　从四元数到向量的缓慢旅程¶

泰特（Peter Guthrie Tait）深深着迷于四元数（quaternion）——更确切地说，是一个四元数的向量部分——让他得以把物理方程写得紧凑得多这件事，尤其是当他应用哈密顿（William Rowan Hamilton）的算子 ∇（“纳布拉”，nabla）的时候。此前的所有人——从牛顿到麦克斯韦（James Clerk Maxwell）——都只为力或速度这类向量性的量的每一个分量分别写出方程。哈密顿本人专注的是数学而非物理，因此泰特为他的四元数找到的这些新用途让他欣喜不已——泰特还专程从贝尔法斯特南下都柏林，好让他和哈密顿能够当面交谈。他们还互通了几十封信，其中包括哈密顿那封欢快的信，信中希望有朝一日他和泰特会因为他们付出的努力而被感谢。哈密顿确实得到了承认，却没有因为他在这段故事里的角色而真正被感谢——但是当他在 1865 年去世时，也就是在麦克斯韦发表他那开创性的电磁场理论仅仅几个月之后，三十四岁的泰特已经准备好接替他继续前行。

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首先，他为他的朋友兼导师写了一篇 37 页的讣告——几个月后，也就是 1866 年，它刊登在《北不列颠评论》（North British Review）上。他在开篇就敦促读者在充斥着学术生活的“争论的喧哗”与“智识巨人的战斗”之中暂且驻足，去“在对某种远为崇高、也远为精微的东西的凝视中寻求安宁：一个天才的品格与著作”。是的，他接着说，“天才”这个词已经被用滥了，因为它所指的东西远比仅仅是聪明要更有创造性、更富原创性——但哈密顿确实是属于最高一级的天才，足以与“一切时代、一切国家中最伟大者并列，比如拉格朗日和牛顿”。因为哈密顿的贡献远远不止四元数分析，尽管那已经十分了不起。泰特说，他早期关于光学和动力学的那些论文显示出“对符号的驾驭能力，以及一种几乎无与伦比的数学语言的流畅（如果可以用这个说法的话）”。

1867 年，泰特出版了他自己的《四元数基础教程》（Elementary Treatise on Quaternions），这是第一本（相对而言）易读的向量方法教科书。事实上，除了记号之外——他沿用哈密顿的做法，用希腊字母表示向量，用 S 和 V 而不是现代的点号和叉号来表示标量积与向量积——它读起来与现代的向量分析教科书颇为相似。然而，随着哈密顿的离去、以及一位新的合作者登场，他应用四元数的那份热情……并没有消退，因为在接下来的五年里他又发表了几篇关于这个课题的研究论文；但也多少受到了压制。因为他那位新合作者憎恨四元数！

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我说的是威廉·汤姆森（William Thomson）——麦克斯韦早年的导师，也就是后来的开尔文勋爵。他和泰特相识于 1861 年，那是在泰特从贝尔法斯特搬回老家、到爱丁堡大学任职的一年之后。汤姆森出生在贝尔法斯特，却在格拉斯哥长大，而且他年仅二十二岁时就成了格拉斯哥大学的教授。然而，尽管写出过一些出色的数学论文——包括他十七岁时写的那篇关于法拉第的场观念的文章——汤姆森很快就将因为他的技术成就、而不是他的数学成就而致富成名。比如，在 1850 年代后期，他是铺设第一条跨大西洋海底电报电缆那场惊心动魄的工程中的首席技术顾问——第一条电缆断裂时他在船上，后来一场可怕的风暴威胁着要让整个项目泡汤时，他也在船上。电缆最终铺设成功，而身为北大西洋电报公司（North Atlantic Telegraph Company）董事的汤姆森，发出了从欧洲到美洲的第一批电报信号。他还发明了许多赚钱的电气仪器，并帮助开创了热力学这门科学——开尔文温标就是以他的名字命名的。同时操心着这么多件事情，他居然还挤得出时间来与泰特合作，实在令人惊叹：他们当时正在合写一本新的物理学教科书，即《自然哲学论》（A Treatise on Natural Philosophy）。“自然哲学”是当时仍被用来称呼理论物理学的名字，而它也正是他们两人担任教授的学科。

然而在泰特看来，汤姆森真正投入他们这个项目的时间实在少得可怜。“我对这部大书已经厌烦了，”泰特在 1864 年写信给他说。“如果你只是隔很久才寄来一些……零碎片段，我能做什么呢？关于我们眼下这一章要讲的液体和气体的静力学，你甚至连一点提示都没给过我！”当时汤姆森远在德国，泰特接着说，尽管他几乎已经写完了一章关于质点动力学的稿子，但他当然不想花上四十五倍的邮费把它寄到海外，因为汤姆森十有八九要等回到苏格兰之后才会有空去读它。¹

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泰特同时也一直在为他的《四元数基础教程》写一章关于运动学的内容，那是他同期在写的书。他告诉读者，尽管四元数微积分学起来也许困难，但它值得掌握，因为它“对进阶的学生有着最非凡的助益，不仅帮助他解决复杂的问题，还提供了一种无可估量的心智训练”。可汤姆森根本不买账。当然，他也使用向量性的分量方程，但他完全看不出有什么必要去用哈密顿的纳布拉算子所允许的那套整体向量（whole-vector）微积分。他提出了一条很有道理的意见：反正计算最终都是用分量来做的——比如在标量积中，当你计算 \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\) 的时候。或者当你通过计算 \(\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}\) 来证明 ∇²V = 0 的时候，或者当你在物理和工程问题中把一个向量“分解”成它的各个分量的时候（如图 8.1）——这里只再举两个例子。于是，为了他们合作的这个项目，泰特勉强让步了：四元数被扫地出门。

尽管他们意见不合，汤姆森注意到泰特总是随时准备引用莎士比亚、狄更斯和萨克雷的“妙语”，为他们紧张的数学合作劳动“增添光彩”。有时候，两人就凑在泰特狭小的家庭书房里工作，靠着一盏煤气灯的光，那灯光把诡异的影子投在早被烟草熏暗的墙上。那些昏暗的墙上还有一份泰特用炭条写下的名单，列出当时在世的最伟大的科学家：哈密顿排在第一位，其次是法拉第（他于 1867 年去世）。泰特和汤姆森讨论过他们的朋友麦克斯韦——用汤姆森的说法，他是“一颗一等的新星”——但觉得他还太年轻，上不了那份神圣的名单。²

终于，汤姆森和泰特的《自然哲学论》可以交付出版者了。它于 1867 年问世，并且因为它那前沿的内容——包括新兴的热力学这门科学——而产生了极大的影响。书中甚至还讨论了用于精密数学计算的计算机器。查尔斯·巴贝奇和阿达·洛芙莱斯在 1840 年代就已经让人们注意到这种机器的现实可能性，但巴贝奇的“引擎”始终没能真正起飞，所以汤姆森描述了他自己的理论设计。这本书被俗称为 T 和 T′——读作“T 和 T-dash”——而这两个绰号后来也粘在了汤姆森（T）和泰特（T′）本人身上。

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麦克斯韦很快就有了属于自己的一个称号：dp/dt。这要拜泰特 1868 年的著作《热力学纲要》（Sketch of Thermodynamics）中热力学第二定律的一种形式所赐：\(\frac{dp}{dt}=JCM\)，其中的 JCM 正是麦克斯韦姓名的首字母缩写。（我们并不需要这个公式，不过符号 p 代表“压强（pressure）”，J 代表“焦耳当量（Joule's equivalent）”（热功当量），C 代表“卡诺函数（Carnot's function）”，而 M 与热量有关，今天通常写作 dQ/dV。）这十分贴切，因为麦克斯韦也是气体动理论的开创者之一——泰特大概正是为了致敬，才把方程特意写成这种形式。麦克斯韦的妻子凯瑟琳（Katherine）曾协助他做过一些关于热与颜色的实验，负责添柴看火、调节温度，并做下和记录实验观测。她让我们想起那些帮助过自己著名丈夫的、默默无闻的妻子们。³

虽然 T 与 T′ 里没有四元数、也没有整体向量微积分，分量形式的方程却有的是。泰特一定极开心地在他的《四元数基础教程》里，用远为简短的篇幅重写了其中的一部分。

由于这些应用有一部分涉及电与磁，他立刻建议麦克斯韦去读这本书最后二三十页讲纳布拉算子威力的内容。他的信暗示，麦克斯韦对于这套“∇ 玩意儿”——用泰特的原话——已经有些了解；而事实上，麦克斯韦在他 1865 年的论文里就已经用 ∇² 作为拉普拉斯算子的简写。但现在他正在筹划一部关于电与磁的巨著，要全面综述他建立最终理论所依据的全部已知实验与数学结果，然后再拿它去与仍然主宰着主流物理学的超距作用电磁理论相比较。而就在他读泰特这本书的时候，书中对四元数微积分的展开所蕴含的种种可能性令他兴奋不已。

事实上他兴奋到了这个地步：当他为《自然》（Nature）杂志评论汤姆森和泰特那部“大书”时，他忍不住慨叹书中竟然连向量最简单的规则都没有讨论——尤其因为作者之一是“哈密顿的一位热忱信徒”。当然，汤姆森并不是那位热忱信徒！他认为四元数与向量微积分只不过是对已经用分量建立的那些方程的一种简写——正如麦克斯韦在 1865 年的论文中构建他的电磁场方程时所做的那样。可是现在，在 1870 年代初，麦克斯韦已经发现了向量微积分，他告诉泰特说，汤姆森似乎并没有意识到它是“一把向四面八方燃烧的火焰之剑”——贯穿整个空间——而分量形式则是一头蛮干的笛卡尔式“公羊，只会［一味］向西、向北和（向下？）顶撞”。⁴

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麦克斯韦也一直让他和泰特儿时的朋友刘易斯·坎贝尔（Lewis Campbell）了解最新进展，告诉他“我正在皈依四元数”，并提到他正在自己写作的《电磁通论》（Treatise on Electricity and Magnetism）中使用它们。他解释说，既然算子 ∇ 叫作“纳布拉（nabla）”，那么对它的应用就是一出“纳布拉调（Nablody）”——麦克斯韦最爱玩谐音和胡闹！跟泰特在一起时他同样爱开玩笑，但他也谈得深入技术得多，他告诉泰特自己正在“涉猎哈密顿”，因为“我想用哈密顿的思想来给我的书加点酵母，而不把运算铸成哈密顿的形式，因为无论我还是——我想——公众，都还没有成熟到那个地步。眼下，哈密顿关于向量的思想的价值是不可言说的”——也就是说，好得不可言说！⁵ 他在一篇新论文《论物理量的分类》（“Remarks on the Classification of Physical Quantities”）中解释了这番话的意思，该文于 1871 年 3 月 9 日提交给伦敦数学会（London Mathematical Society）。（顺便说一句，就在该学会紧接着的下一次会议上，也就是 4 月 13 日，主席在会议开始时为德摩根致了一段简短却热烈而实至名归的悼词——德摩根是哈密顿的老朋友，也是现代符号代数的一位先驱——他于 3 月 18 日去世，享年六十四岁。）

麦克斯韦首先谈到，有必要对因科学的进步而不断涌现出来的大量物理量加以分类——他指出，如果这种分类是通过数学类比来做到的，那么它对求解那些方程与某个已知问题同形的新问题会有极大的帮助。我们前面已经见过这种情形：振动的弦与麦克斯韦的电磁波之间的波动方程类比，汤姆森用傅里叶对热流的分析来类比描述法拉第的场线或“力线”，以及麦克斯韦类似的流线类比。麦克斯韦提到了汤姆森，但他接着说，哈密顿提供了一种比类比更为根本的分类方式：他把物理量分成了标量与向量。麦克斯韦说，这项创新成果极其丰硕，四元数的重要性只能与笛卡尔发明坐标相比拟。他说得一点没错，因为四元数和向量（以及它们的张量推广）对于今天的物理学家、工程师和数据科学家描述与分析物体占据物理空间和数字空间的方式而言，都是基础性的。回到过去去“目睹”一个像哈密顿那样的崭新思想是如何在诞生之中的——并且事后回望，观察究竟谁认出了、谁没有认出它的意义——是件引人入胜的事。

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麦克斯韦接着定义了向量的两个新的子类：力与通量。他说，力是与长度或距离相关的向量——就像在线积分中那样；而通量（比如磁感应）是与面积、或者说面积分相关的向量。在他 1865 年的论文中，他曾用散度定理和斯托克斯定理的分量形式把这些积分与导数联系起来，就像我在第 6 章概述的那样。然而到了 1871 年，他已经发现了哈密顿的纳布拉算子 ∇ 的威力，可以用它来以整体向量和向量场的方式定义这类物理量。我们很快就会看到这些纳布拉运算；麦克斯韦说它们如此重要，以至于他给它们起了专门的名字。你也许已经知道它们：“散度（divergence）”、“旋度（curl）”和“梯度（grad）”——但正是麦克斯韦把它们给了我们，所以值得花一点时间看看他为什么选了这些名字。

名字的威力¶

数学的巨大威力在于它的视觉符号体系，但要思考你所看到的东西，你还得能在心里把它说出来。麦克斯韦早在 1870 年深秋写给泰特的一封信里就试过这个想法：“这里有几个粗粗凿成的名字。你愿不愿意像一位仁慈的神明那样，把它们的两端修整停当，好让它们扎得住？”⁶

他首先提出，“把 ∇ 作用到一个标量函数上的结果，也许可以叫作斜率（slope）”。这是类比于直线 y = mx + c 的斜率 \(m=\frac{dy}{dx}\)，因为你把 ∇ 作用到一个标量函数上时同样是在取导数，比如电势（或者说电压），或者一个力的势。我们常常把标量仅仅想成数字，但函数也可以是标量，只要它们取的数值不依赖于你所使用的坐标。再举一个例子，压强和温度都是标量，所以关于压强和／或温度的函数就是一个标量函数。不管怎样，正如我在第 6 章所说明的，F = ∇V（以及它现代的向量等价形式 F = ∇V ）意味着这个力具有分量 \(\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z},\) 类比于直线的斜率 \(\frac{dy}{dx}\)。今天我们朗读 F = ∇V 时会说成“F 等于 grad V”，其中“grad”是“gradient（梯度）”的简称，而梯度正是“斜率”的又一个名字。所以，麦克斯韦的术语确实算是留下来了！它显示出一个标量函数如何随空间而变化。

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接下来，麦克斯韦谈到了当你把 ∇ 作用到向量上时会发生什么。我一般都用粗体来表示向量，以便现代读者更容易看懂，但正如我已经说过的，在四元数形式下它本质上是相同的：现代的向量基与哈密顿的虚数基之间的差别，只有在标量积中才会显现出来。这是因为按照虚数的定义，i² = −1，而 i ∙ i 被定义为等于 1，j 和 k 也同理。（至少在不久之后就会这样定义，等我们遇见亥维赛（Oliver Heaviside）的时候。）所以，每当你取两个向量的标量积时，比如

v = v₁i + v₂ j + v₃k，w = w₁i + w₂ j + w₃k

用哈密顿的记号来说，你同时也在把那些基量相乘。这意味着，用哈密顿的标量积记号——泰特和麦克斯韦也用这套记号——你会得到

S. vw = v₁w₁i² + v₂w₂ j² + v₃w₃k² = −(v₁w₁ + v₂w₂ + v₃w₃).

于是，哈密顿的标量积与现代的标量积之间唯一的差别就是前面那个负号：S. vw = −v ∙ w。类似地，纳布拉算子与 v 的标量积是 S. ∇v = −∇ ∙ v。麦克斯韦建议我们把它读作向量场 v 的“收敛（convergence）”，但你也许认得出 ∇ ∙ v 就是 v 的“散度”——这是个后来才引入的名字，因为一旦去掉那个负号，你的向量就不再是收敛、而是发散的了（如图 7.1）。所以在这里，麦克斯韦的命名又一次基本上留了下来。

在他的《电磁通论》中，麦克斯韦给出了图 7.1b 所示的图来说明收敛。他借这个想法来表明：（现在所称的）“作用在一个试探电荷上的电力”的散度——他称之为“电动势强度（electromotive intensity）”，记作 𝔈，而今天称作“电场”，写作 E——等于电荷密度 ρ 的 4π 倍。（正如他在那封谈纳布拉调的信里告诉坎贝尔的，他已经用完了希腊字母——那是哈密顿为向量选定的记号——于是“离经叛道地”改用 𝔈 这样的德文大写字母。）麦克斯韦把这个方程写成了图 7.1 图注中所给出的分量形式。但他也给出了一个整体向量版本，把哈密顿标量积里那个恼人的负号忽略掉，他把它写成这样：

ρ = S. ∇𝔇.

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既然他已经定义了 𝔇 = 𝔈/4π，那么用现代记号，这就只是

4πρ = ∇ ∙ E

了。（𝔇 是麦克斯韦所谓的“电位移（electric displacement）”，不过我们这里需要的是这些方程，而不是物理上的细节。）⁷

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我们很快就会看到这场记号上的现代化转变究竟是怎样、又是为什么发生的，不过现代读者多半已经对向量微积分有所了解，有些人还知道麦克斯韦方程组——所以我正努力把这个历史过程与你可能已经知道的东西联系起来。然而关键之处在于，在上述每一种记号形式中，引人注目的都是那些物理量：电荷密度，以及发散着的电场。相比之下，当你把同一个方程写成图 7.1 中那样的分量形式时，重点就落在了数学上，而不是物理上。正因为如此，麦克斯韦才写信给泰特说，与汤姆森这样的“不信者”的看法相反，“4nions［他对四元数的简写］的美德，至今与其说体现在求解难题上，不如说体现在它使我们能够看出问题及其解答的意义”。⁸

麦克斯韦用符号 𝔅 表示他所谓的磁感应（magnetic induction）；今天我们经常干脆把它叫作磁场向量 B。对于一块静止的磁铁，所有的场线都起于磁铁的北极、止于它的南极，就像图 7.1c 那样，所以穿过包裹这块磁铁的闭合曲面的净磁通量为零——这意味着磁场向量 B 没有散度。（要看出这一点，可以想象把这块条形磁铁包在一个大球里面。场线从磁铁的一端绕到另一端——它们不会各自分开、单向地穿过球面，就像图 6.2 中那台电动机／发电机里转动的线圈那样。）这也就是说，与电子或者质子这类要么带负电、要么带正电的带电粒子不同，天然的磁铁总是有两个极。至今没有人探测到天然存在的磁单极子（magnetic monopole），尽管人们已经在实验室里在虚拟的量子层面上造出了它们；在 1931 年保罗·狄拉克的工作之后，理论上，它们同样出现在弦理论中。（我的同事托尼·伦（Tony Lun）和我，正是长期探索引力磁单极子（gravitomagnetic monopole）是否存在的人当中的两位。这是又一个因为方程上的相似而在不同课题之间使用类比的例子。⁹）

麦克斯韦把他的磁场散度方程写成了分量形式——并没有明确说出纳布拉与 𝔅 的标量积（也就是散度，或者说收敛）等于零：S. ∇𝔅 = 0，用现代记号即 ∇ ∙ B = 0。但他确实给出了一个等价的整体向量形式的方程，我们马上就会看到。¹⁰ 不过在此之前，他还得给与纳布拉的向量积找一个名字。

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正如我们在图 4.1 中向量积的右手定则里看到的那样：如果你把手指从一个向量朝着另一个向量的方向弯曲，你的拇指就指向它们向量积（或者说叉积）的方向。结果发现，这种弯曲的动作在物理上也是有意义的——意思是说，如果你的手指表示一个刚体绕着穿过你拇指的固定轴转动的运动，那么纳布拉与这个刚体上任意一点的速度的向量积，就沿着同一条轴（如图 7.2）。所以，与纳布拉的向量积和转动有关。在写给泰特的信中，麦克斯韦为这个运算提了几个可能的名字，其中包括“twirl（扭旋）”——他觉得这个词“足够泼辣”，尽管也许“对纯粹数学家来说太动力学了”。于是，他说，“看在凯莱的分上”，用“curl（旋度）”这个名字怎么样。凯莱曾发展出关于“卷筒（scroll）”或“直纹曲面（skew surface）”的数学——就像你可能在绳线雕塑中见过的那种扭曲的直纹面——而且，当然了，你把一卷纸卷起来的时候，就是在“curl”它。在他的《电磁通论》第 25 节和第 26 节中，麦克斯韦为 ∇ × 这个运算选定了“curl”这个名字，尽管他“极为迟疑”——而这个名字同样留了下来。

在他的电磁场方程中，麦克斯韦把他的一个旋度运算写成这样：

𝔅 = V. ∇𝔘（用现代记号即 B = ∇ × A），

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其中他的 𝔘 和现代的 A 表示磁场 B 的向量势。（第 6 章里讲到的标量势是有物理上的解释的，它与功和势能有关——一个例子就是电压。然而，电磁场的向量势本质上是一个数学量，它通过斯托克斯定理与磁场相联系。）¹¹ 你也许从数学课上知道——而麦克斯韦是从泰特的工作里知道的——旋度的散度总是零。所以，这个方程事实上等价于 S. ∇𝔅 = 0（也就是 ∇ ∙ B = 0）。¹²

麦克斯韦在《电磁通论》中还有其他的旋度方程，它们合在一起，导出了我们下一章将会看到的、现代形式麦克斯韦方程组中那些著名的旋度方程。同时，让我们稍停片刻，因为事后回望，也许很难体会麦克斯韦展示出如何用整体向量形式书写他的电磁理论，是怎样的一次突破。它对我们这个故事的后续影响将是巨大的，尤其是对物理学——因而也对我们理解宇宙的方式。

整体向量的威力¶

1872 年 10 月 19 日，正当麦克斯韦在校对他的《电磁通论》的清样时，他向老朋友坎贝尔解释说，他的出版者克拉伦登出版社（Clarendon Press）设法做到了在十三周里平均排出大约九印张。这又一次提醒我们那个时代的技术状况：书中的每一页都必须手工排版，一个字母一个字母地拼排出来。至于校对，那从来都是件苦差事，但麦克斯韦告诉坎贝尔，他们共同的朋友泰特“在发现荒谬之处上给了我很大的帮助”。¹³

麦克斯韦的《电磁通论》终于在 1873 年问世。同一年，他在伦敦的皇家研究院（Royal Institution）做了一场特别演讲，以纪念詹姆斯·瓦特（James Watt）——那位让最初的纽科门蒸汽机效率大为提高的十八世纪苏格兰工程师。托马斯·纽科门（Thomas Newcomen）设计他的发动机是用来从矿井里抽水的，而瓦特改进后的发动机用途要广泛得多，帮助为工业革命提供了动力。麦克斯韦谈到，由于所有这些新兴工业，我们的社会交往与就业互动正变得日益复杂，并且敦促他的听众“在机器的轰鸣与事务的催逼之中”，牢记生活里那些更简单、也更“高贵”的方面。¹⁴

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至于整体向量的种种优点，在 1873 年《自然》杂志为泰特那本关于四元数的新书所写的书评里，麦克斯韦指出：虽然计算对数学这项工作至关重要，但一位数学家远远不止是一台单纯的计算器（或者用牛顿的说法，一个“枯燥的苦工”）；相反，有创造力的数学家会发明出新的、省力的办法。可是，汤姆森认为四元数与向量不过是已经算出来的那些方程的一种简写，麦克斯韦却看到：“四元数，或者说向量的学说，是一种数学方法，但它是一种思维的方法”——它并不只是一个用于计算的、有创意的省力装置。¹⁵

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早在 1870 年泰特因两篇四元数论文而获爱丁堡皇家学会（Royal Society of Edinburgh）的基思奖章（Keith Medal）时，麦克斯韦就用他那古怪精灵的幽默表达过同样的意思——其中一篇论文讨论的是一个物体绕一个固定点、而不是像图 7.2 那样绕一条轴的转动。（那是个困难的课题，而女性数学家的先驱索妮娅·柯瓦列夫斯卡娅（Sonia Kovalevsky）在 1880 年代后期正是凭借她自己对这类运动的获奖分析而成名的。与泰特不同，她用的是分量而不是向量微积分的方法，因为后者的用处当时仍在争论之中。）在那篇为泰特祝颂的致辞里，麦克斯韦说，数学家常常因为一味计算而疲惫不堪，以至于没有精力再去思考——而“泰特就是这样一个人：他能让数学家靠思考来做到这一点，这是一种更高贵、也更费心力的事，而且用这种方式，他不会像面对一页又一页要推演的方程那样犯那么多错误”。泰特对麦克斯韦这番挖苦式的说法开心极了！¹⁶

在《电磁通论》的开头，麦克斯韦把这一点说得更简洁：他说在“物理推理”而不是计算当中，你想要看到你正在研究的那个对象本身、作为整体，而不是聚焦于它的坐标和分量。他在自己的出版物和书信里一遍又一遍地强调这一点——用整体向量，你能看出自己所做之事的物理意义，而不是迷失在计算里。¹⁷ 然而，除了泰特之外，似乎没有几个人在听。

汤姆森大概是最著名的反对者。他甚至连分量形式的麦克斯韦电磁理论都不接受，把它比作神秘主义——全是那些数学，却没有任何力学模型能具体地解释电磁波究竟是怎样传播的！尽管他才华横溢——尽管他充分认可麦克斯韦那广博的科学天才——汤姆森始终没有认识到数学上的“向量场”的威力，而这个概念如今支撑着物理学如此大一片领域，并且也在生物学和其他科学中找到了应用。即便到了 1890 年代，在海因里希·赫兹已经产生了证实麦克斯韦理论的无线电波之后，汤姆森还劝一位同事不要用“向量”这个词。他说，它对一个问题的几何简洁性毫无贡献，还古怪地加了一句：“四元数是哈密顿在他真正出色的工作完成之后才搞出来的；尽管它精巧得美妙，对任何以任何方式沾过它的人来说，却都是一种纯粹的祸害，其中也包括克拉克·麦克斯韦。”¹⁸

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斯托克斯在 1890 年代也拒绝讲授麦克斯韦的理论，年轻爱因斯坦的那些教授同样拒绝——部分原因是该理论当时才刚刚开始在德国站稳脚跟，这要归功于赫兹和其他讲德语的人；于是爱因斯坦为了自学它而逃课。几年之后，他会把麦克斯韦方程组纳入他那著名的 1905 年狭义相对论——而且他会谈到向量，尽管他只用分量形式。然而又过了十年，在他介绍广义相对论的那篇论文中，他会同时用现代整体向量形式和张量形式来书写麦克斯韦的方程。

我们后面还会更多地看到爱因斯坦的工作。这里的要点是：麦克斯韦的电磁理论、以及他对向量微积分的推崇，花了很长时间才获得广泛的接受。他在 1865 年发表了这一理论，又在 1873 年的《电磁通论》中以向量微积分的形式发表，可在他看来，想必没有谁真的在乎。

潮水开始转向¶

1873 年，麦克斯韦（和泰特）迎来了四十二岁——而崭露头角的威廉·金登·克利福德（William Kingdon Clifford）则是二十八岁。克利福德像哈密顿一样曾是个神童。他在剑桥毕业时是第二名优胜者（Second Wrangler）：和麦克斯韦一样，他宁可去研究自己感兴趣的东西，也不愿为荣誉学位考试（Tripos）而死记硬背——他尤其感兴趣的是阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）和詹姆斯·西尔维斯特（James Sylvester）那些前沿的代数工作。也像麦克斯韦一样，克利福德相当有运动天赋：麦克斯韦是了不起的骑手，游泳很强但姿势不优美（泰特则偏爱高尔夫），而克利福德有着惊人的力气——他能只用一只手臂把自己拉上体操单杠。他知道麦克斯韦和泰特的工作，三个人成了朋友，他们是在英国科学促进会（British Association for the Advancement of Science）以及伦敦和爱丁堡的皇家学会的各类会议上结识的。¹⁹

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1877 年，克利福德在伦敦大学学院（University College London）做了一系列关于四元数的讲座——那所世俗的大学正是德摩根任教的地方；德摩根当年之所以到那里任教，是为了抗议在牛津和剑桥任职所需的安立甘宗宣誓。同年，克利福德在当时围绕科学与宗教展开的激烈争论中采取了一个有争议的立场，写了一些无神论倾向的文章，主张我们在相信某件事情之前需要有确凿的证据——仅有信仰是不够的。²⁰

1878 年，他在自己的著作《动力学原理》（Elements of Dynamic）中给出了他本人对向量代数的数学处理：尽管他是一位纯粹数学家，他却强调向量在动力学——也就是研究由力引起的运动——中的重要性。（在这个过程中，他用我们现代的术语“散度”取代了麦克斯韦那个带负号的“收敛”。）在评论克利福德这本书时，泰特称赞麦克斯韦“伟大的”《电磁通论》也许是专业四元数文献之外第一本在物理学中推广向量方法之使用的著作——这正是我在麦克斯韦身上花了不少篇幅的原因，因为他的《电磁通论》是向量故事中的一个转折点。泰特接着说，克利福德“把这项好的工作往前推进了一大步，而且（单凭这一个理由），我们就希望他的书会受到广泛的欢迎”。泰特有着跟麦克斯韦一样调皮的幽默感，他用这一点顺手挖苦了克利福德用“Dynamic”而不用“Dynamics”；更严肃的是，他惋惜克利福德引入了太多其他古怪而不必要的新术语。但他尤其遗憾的是，克利福德没有充分使用纳布拉算子：这就好像他已经沿着四元数的路走了相当远，然后突然停了下来。²¹

尽管如此，克利福德在 1870 年代的各种著述中做成了一件特别的事，一件使他不只配得上做哈密顿、泰特和麦克斯韦的继承人，也配得上做格拉斯曼（Hermann Grassmann）的继承人的事。他是极少数同时仔细研究过哈密顿和格拉斯曼的人之一，而且他着手创造一种把这两种进路统一起来的新代数。他称之为“几何代数（geometric algebra）”，并围绕一个“几何积（geometric product）”来建立它——这个积把哈密顿的标量积（也就是格拉斯曼的内积）与格拉斯曼的外积（它是哈密顿那个三维向量积的一个更一般的版本）统一了起来。克利福德的几何积用现代记号是这样的（不过和麦克斯韦、泰特一样，克利福德用的是哈密顿的 S 和 V 来表示标量积与向量积，而且他们谁都没有用现代的粗体来表示向量）：

ab = a ∙ b + a ∧ b,

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其中的 ∧ 叫作“楔（wedge）”——在三维中 a ∧ b 等价于叉积 a × b。哈密顿的完整四元数积同样也是这两类向量乘法的组合，正如我在第 4 章所说明的（w 和 a 分别是四元数 P 和 Q 中的标量，p 和 q 则是它们的向量部分）：

PQ = wa − p ∙ q + wq + a**p + p × q.

但它只适用于三维。

对于日常三维世界中的物理学，克利福德和麦克斯韦一样发现，分开的标量积与向量积远比完整的四元数积有用——这是从四元数走向现代向量分析的又一步。但克利福德骨子里是一位纯粹数学家，而纯粹数学家喜欢把数学尽可能往远处推，就为了其中的乐趣——也为了对未来的应用有些许预感。对于这样一位数学家来说，四元数有意思的地方在于：除了它们的积不可交换之外，它们服从代数的一切通常法则——结合律、分配律等等——而且，就像在普通代数中一样，你也可以用它们来做除法。用数学术语来说，这意味着一个四元数 q 有一个“逆” q⁻¹，其定义使得 qq⁻¹ = 1，这里的 1 是一个四元数，即 1 + 0i + 0j + 0k。²² 比如，在用四元数表示旋转的框架中，逆会把旋转的方向反过来。如果你想解方程，逆也很重要。你也许从诸如 AX = B 这样的矩阵方程熟悉这个想法：如果矩阵 A 确实有逆，那么解就是 X = A⁻¹B。

但问题在这里：只靠向量积是造不出这样的逆的——你需要完整的四元数积。同样地，克利福德的完整几何积是有逆的。而且，正如四元数后来被证明在计算三维空间中的复杂旋转时极为高效一样，现代数学家也已经认识到，几何积使得你能用向量做的许多事情可以做得更加高效。²³

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一个令人伤感的反讽是：一直被低估的格拉斯曼也曾试图把他的体系与哈密顿的体系统一起来——那是在 1877 年，正是他六十八岁上彻底离开这个世界的那一年。他走了，却没有被遗忘，克利福德第一个证明了这一点，因为正是他统一了这两套体系。只不过当时也没有多少人在注意克利福德。

十年之后，意大利数学家朱塞佩·佩亚诺（Giuseppe Peano）也会重新发现格拉斯曼的《扩张论》（Ausdehnungslehre），并且会出版他自己的摘述与扩展——其中包括向量空间的第一个现代公理化定义。这把向量的想法带到了箭头或者分量清单这类直观模型之外，转而抽象地定义它们——把它们定义为向量空间的元素，而这个空间的结构是类比于实数的结构来定义的。正如我们在哈密顿和他的朋友奥古斯都·德摩根关于代数法则的早期工作中看到的那样，这种结构意味着：在把向量相加、以及把它们乘以一个标量的时候，封闭律、交换律、分配律和结合律都成立，并且存在单位元（identity element）和加法逆元。不过我们的故事并不需要这些细节——我们只需要向量比学校里那些箭头更为抽象这个想法。此外，当时也没多少人在听佩亚诺。但是他和克利福德的工作，体现了随着数学家追求越来越严格的定义，格拉斯曼身后的命运所开始发生的那种转变。

一段跨文化的插曲¶

除了四元数之外，克利福德、泰特和麦克斯韦之间还有一些有趣的松散联系，它们有助于把他们的工作与时代放进一个更广阔的科学和文化语境之中。

克利福德是那位德高望重的小说家兼批评家乔治·艾略特（George Eliot）和她的伴侣乔治·刘易斯（George Lewes）的朋友——克利福德和他那有文学修养的妻子露西（Lucy）常常出席他们著名的周日下午聚会，聚会上汇聚了作家、科学家、哲学家和有兴趣的朋友们。和刘易斯一样，艾略特对科学和数学也感兴趣。她在 1850 年代曾在一个“为女士们”办的成人班上学习过几何——1882 年泰特会向凯莱抱怨说，他“实际上是被迫”去给“女士们”开一门讲座课程的，不过问题大概出在他的工作量上，而不是那些女性身上。而现在，在 1870 年代，艾略特正在研读那种新的非欧几何，我们在第 10 章会更多地看到它，克利福德在其中也留下了自己的印记。²⁴

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至于刘易斯，他是哲学家、批评家、传记作家，还是一位极出色的说故事人。1873 年，他正在完成一本新书，即《生命与心智问题》（Problems of Life and Mind）。那是一部严谨的、经验主义的探索，探讨意识可能的生物学基础，属于当时“新心理学”的一部分——这门新心理学正把一种更现代的科学进路带进关于“心-身问题”的长期争论之中；所谓心-身问题，就是意识（心）与大脑（身）之间那个有争议的关系。正如我们已经看到的，十九世纪对数学和物理学而言是创造力非凡的世纪，但正如麦克斯韦早在 1856 年就对他的学生说过的，物理学是最简单的一门科学，它对我们生活中的情感、灵性或者其他“更高”的方面一无所知。刘易斯想把在物理学中发展起来的那种经验主义和科学的严谨应用到对心理学的生物学研究上，去探索这些“更高的方面”。

然而与物理学那戏剧性的进步相比，生物学的进展一直问题重重。把一种化合物或者一个电路拆成它的组成部分是一回事，但在生物学中，这样一种还原论（reductionist）进路产生了可怕的性别歧视和种族主义后果。比如，人们一发现女性的脑容量比男性小，就立刻假定这证明了那个文化上的预期：她们不适合从事费力的智识工作。萨默维尔和热尔曼在这个假定下吃了很大的苦头，尽管她们最终克服重重困难取得了成功，但大多数女性甚至连试都不去试。同一种伪科学进路也帮助固化了种族主义。就连十九世纪生物学星空中最耀眼的那颗星——自然选择进化论——也被借用去“证明”关于穷人、女性和非欧洲人低劣的那些文化陈词。查尔斯·达尔文（Charles Darwin）是艾略特和刘易斯的朋友；赫伯特·斯宾塞（Herbert Spencer）也是，他的名字后来与最恶劣的那类“社会达尔文主义”联系在一起，但他也许更像一个“自由派的”功利主义者。他还是一位哲学家和一位开创性的社会学家，尽管麦克斯韦认为他把社会进化的类比推得太远，而他（麦克斯韦）和泰特则认为斯宾塞的形而上学显示出他对物理学的理解不够充分。²⁵

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不过，刘易斯是紧跟最新物理学的，他在《生命与心智问题》中也恰切地引用了泰特和麦克斯韦的科学著作。像一位优秀的学者那样——今天他的工作仍被认为与心-身之争相关——他请泰特帮忙校对。当泰特终于挤出时间把它们读完时，他把意见寄给了刘易斯（和艾略特）那位身在爱丁堡的出版者约翰·布莱克伍德（John Blackwood），并补充说：“我觉得它读起来相当艰涩，远比两倍篇幅的解析［数学］公式难读得多：但它确实非常有趣，而且会彻底激怒那些所谓的形而上学家。”遗憾的是，布莱克伍德认定它读起来太艰涩了，于是刘易斯不得不另找出版者。²⁶

泰特认识布莱克伍德，并不只是因为当了刘易斯的审稿人——两人有时候还一起打高尔夫。有一次打完球之后，泰特给布莱克伍德看了麦克斯韦写给他的一首诗，诗是总结最近在贝尔法斯特举行的一次英国科学促进会会议上主席致辞的——麦克斯韦和克利福德都出席了，泰特没去。那次会议的大议题是进化论，以及原子的科学地位——那是在 1874 年，比电子的发现早二十五年，比原子核的发现早将近四十年。麦克斯韦支持原子的想法，但他并不是一个唯物主义者，而且带着他那顽劣的机智，他大加取笑“我们那些没脑子的阔佬”之间没完没了的“英国蠢驴（British Ass，谐“英国科学促进会”）”讨论。你可以从开头的几行看出它的基调：

科学最初的岁月里，掌管着事务的牧师们，

拿起锤子与凿子，得心应手，照着人的模样造出了神明……²⁷

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诗继续讲下去：我们终于有了商业，有了世俗的权力，最后原子“取代了魔鬼与神明”，成了“质量与思想的单位”——那些“无结构的胚芽”，让我们得以“继承走兽、游鱼与蠕虫的思想”。这首诗对科学和宗教都下了手——更确切地说，是对双方那些更极端的拥护者之间的当下争论下了手——而布莱克伍德爱极了它。他喜爱到主动提出把它发表在他那著名的《布莱克伍德杂志》（Blackwood's Magazine）上，这份杂志长期刊登刘易斯的作品，也曾让乔治·艾略特作为小说家起步。事实上，《布莱克伍德杂志》最近刚刚发表了她的杰作《米德尔马契》（Middlemarch）——当时许多小说都是先在杂志上连载发表的——所以麦克斯韦那首匿名的诗是处在了显赫的伙伴之中。他对这个邀约感到意外——他告诉泰特说，英国蠢驴们那些私下的“阵发性发作”不应该被“不加区分地浇铸成铅字”；但最终这个主意实在太逗乐了，他的“更好的 ½”（指他的妻子）同意了这件事。²⁸

尽管他那首诗既嘲讽了牧师也嘲讽了唯物主义者，麦克斯韦其实已经对进化论的讨论做出过重要的贡献，比如他提出：分子的有限大小会限制能够传递下去的遗传信息量。（达尔文原本相信遗传是绝对的，一切都作为一个整体传递下去——所以麦克斯韦才拿鱼和蠕虫的思想开玩笑。）尽管如此，虽然他拒斥了大部分形式化的宗教，麦克斯韦仍然相信上帝创造了一切物质——而身为无神论者的克利福德则认为，麦克斯韦太快就限制了原子在进化中的角色。²⁹

1878 年，也就是克利福德出版他关于向量的主要著作的那一年，他还出版了《演讲与随笔》（Lectures and Essays），其中有关于物质、关于心-身问题、以及关于一种科学的伦理学进路的文章。麦克斯韦受邀为它写评论，但他觉得这是个微妙的任务——比平时更难，因为一段时间以来一直困扰着他的那种说不清的健康不适。他告诉坎贝尔，克利福德的《演讲与随笔》里有不少东西需要“痛驳”，但他想把批评表达得温和一些，因为“克利福德是个那么好的人”。³⁰

所有这一切争论——来回的交锋、机智的讥讽与审慎的批评——凸显出那个时代伟大的科学骚动，以及所有领军人物不分本行与否的广泛参与。然而在向量这个话题上，这场骚动即将爆发成与进化论之类更明显富有争议的话题同样激烈的争论。悲剧的是，麦克斯韦和克利福德都来不及扮演他们自己的角色了。

告别麦克斯韦与克利福德¶

当麦克斯韦着手写他对克利福德那篇审慎的评论时，他的头脑干脆不听使唤了——终于他明白自己的病很严重。医生诊断是腹腔癌，并且判定他的病人只能再活一个月。

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麦克斯韦在 1879 年末去世，享年四十八岁。所有认识他的人都因为如此早地失去这样聪颖温和的一个人而悲痛欲绝。他的“宏大而质朴”——用坎贝尔的说法——感动了每一个人，悼念之辞纷至沓来。泰特为他写的讣告主要是一份冷静客观的传记性概述，不过你仍能从中瞥见他对自己这位儿时朋友的感情与钦佩。然而正如泰特自己的传记作者、他以前的学生卡吉尔·诺特（Cargill Knott）后来所说：“泰特对麦克斯韦的天才有着毫不吝惜的钦佩，对这个人有着深沉的爱，还有对他那些古怪之处和幽默的敏锐欣赏。”³¹

一场感人的葬礼在麦克斯韦所在的学院——三一学院——举行。随后他被送回格伦莱尔老家，至今仍长眠在附近那座孤寂的教堂墓园里。

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克利福德也走了，而且走得太早——他在 1879 年早些时候死于肺结核，年仅三十三岁。多年之后，剧作家乔治·伯纳德·肖（George Bernard Shaw）告诉露西·克利福德，她丈夫比任何人都聪明，只有阿尔伯特·爱因斯坦例外——还冷冷地加了一句：“甚至比我还聪明！”³²

在坎贝尔为他的儿时朋友麦克斯韦所写的那部温情传记的最后一页，刊有一篇同时向他与克利福德致敬的文章，它发表在《蓓尔美街公报》（Pall Mall Gazette）上。在我们于下一章遇见那些继承了他们工作的年轻人之前，用它来结束本章是再合适不过的。“麦克斯韦的名字，”那篇文章说，“在所有对此类事情有发言权的人的一致公认之下，处在最前列。”他拥有一种罕见而影响深远的天才，这种特质是他“与上一代的法拉第……以及克利福德这位同为数学家、其才智在不止一个方面与麦克斯韦本人相近的人”所共有的。要是他们活得更久一些，谁知道他们还能成就些什么。

泰特致汤姆森：见 R. Flood, "Thomson and Tait: The Treatise on Natural Philosophy," in Raymond Flood, Mark McCartney, and Andrew Whitaker, Kelvin: Life, Labours and Legacy (Oxford: Oxford University Press, 2008) 与 Scholarship Online (2021), 176. DOI: 10.1093/acprof:oso/9780199231 256.003.0011。 ↩
泰特的书房与清单：Cargill Gilston Knott, The Life and Scientific Work of P. G. Tait (London: Cambridge University Press, 1911), 33, 43。 ↩
论麦克斯韦绰号的由来：该方程出现在泰特 Sketch of Thermodynamics (Edinburgh: Edmonston and Douglas, 1868) 的第 162 节。另见 M. J. Klein, "Maxwell, His Demon, and the Second Law of Thermodynamics," in Maxwell's Demon: Entropy, Information, Computing, ed. Harvey Leff and Andrew Rex (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990), 85–86。Klein 的文章写于 1970 年；麦克斯韦的“妖”是一个有助于澄清热力学本质的思想实验。 ↩
麦克斯韦的评论：Scientific Papers of James Clerk Maxwell, ed. W. D. Niven (Cambridge: Cambridge University Press, 1890), 326–27。麦克斯韦致泰特，1871 年 12 月 21 日，Knott, Life of Tait, 150。 ↩
麦克斯韦致泰特（着重标记为我所加），1870 年 11 月 14 日，见 Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press, 1967), 132；麦克斯韦致坎贝尔，1872 年 10 月 19 日，见 Lewis Campbell and William Garnett, The Life of James Clerk Maxwell (London: Macmillan, 1882), 186。麦克斯韦的“分类”论文发表于 Proceedings of the London Mathematical Society（1871 年 3 月 9 日）: 224–33。 ↩
麦克斯韦致泰特谈向量微积分的命名：1870 年 11 月 7 日，转引自 Knott, Life of Tait, 167。 ↩
麦克斯韦在他的 Treatise on Electricity and Magnetism (Oxford: Clarendon Press, 1873), 1:28 (art. 25) 中定义了“收敛”，即散度的负值。正文中那些整体向量方程见麦克斯韦的 Treatise，第 2 卷（第 3 版），252, 259。抛开负号不看，当你查看他的分量版本（第 77 条，或我的图 7.1，以及第 612 条）时，你会发现他的版本与我们的相同。麦克斯韦在他对 𝔇 的定义中还有一个额外的比例常数 K，但他指出对空气而言 K = 1。所以，为了让向量的思想始终居于前台，我在书写他的方程时一般假定单位的选择使得各种电学和磁学常数等于 1。（有些现代教材也把散度 E 方程中的 4π 约掉了。）𝔇 是电位移；正文中给出的麦克斯韦定义是针对各向同性物质的。请注意，他在第 2 卷的整体向量方程中使用的是 e 而不是 ρ，而他在第 1 卷第 77 条中用的是 ρ，今天也用 ρ——所以我在正文中使用了 ρ。 ↩
麦克斯韦致泰特（着重标记为我所加），1871 年 11 月 2 日，见 Crowe, History of Vectors, 133。 ↩
电磁学与广义相对论中的类似方程包括比安基恒等式，我们在第 13 章会简要遇到。在电磁学中，这些恒等式包括反映不存在磁单极子的散度 B 方程。托尼和我还没有把我们的部分结果写成论文，但早期的一篇是 R. Arianrhod, A. W.-C. Lun, C. B. G. McIntosh, and Z. Perjés, "Magnetic Curvatures," Classical and Quantum Gravity 11 (1994): 2331–34。 ↩
麦克斯韦在他的 Treatise, 2:248 (art. 604) 中以分量形式写下了（我们今天所称的）散度 B 方程，并指出它由第 591 条的方程 (A)（第 233 页）推出。Bruce Hunt（The Maxwellians [Ithaca, NY: Cornell University Press, 1991], 245）提到了分量形式（Hunt 把它标为 A′），但说麦克斯韦把它写作 S. ∇𝔅 = 0。这当然就是第 248 页那个分量方程在哈密顿记号下的等价形式，尽管我在我所藏的《电磁通论》第三版中找不到它。 ↩
向量势：麦克斯韦，Treatise, 第 2 卷，第 405、422–23、592 条：他定义向量势 A，使得 A 的线积分（通过斯托克斯定理）等于磁场 B 的面积分（B 是向量势 A 的旋度）。他还给出了它的物理解释，用磁矩（第 405 条）和电磁动量（第 590、592、618 条）来说明——不过这是通过数学类比，而非直接的物理对应；例如，他之所以选用“电磁动量”这个术语，是因为在数学上它是力对时间的积分（第 590 条）——也就是说，它对时间的导数是一个力，就像普通的牛顿动量一样。 ↩
整体向量方程：Treatise on Electricity and Magnetism, 第 2 卷（第 3 版），258（分量形式见 233, 248）。势：现代记号不一，但 A 用得相当普遍，例如 Luciano Maiani and Omar Benhar, Relativistic Quantum Mechanics (Boca Raton, FL: CRC Press, 2016), 56；Ray D'Inverno, Introducing Einstein's Relativity (Oxford: Clarendon Press, 1992), 160；Walter Strauss, Partial Differential Equations (New York: Wiley, 1992), 342；Bernard Schutz, A First Course in General Relativity (Cambridge: Cambridge University Press, 1985), 211。 ↩
麦克斯韦致坎贝尔：Campbell and Garnett, Life of Maxwell, 186。 ↩
麦克斯韦的瓦特讲座：The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, ed. P. M. Harman, 2 vols. (Cambridge: Cambridge University Press, 1990, 1995), 791。 ↩
泰特的书 Introduction to Quaternions 是与他昔日的老师 Philip Kelland 合著的。麦克斯韦的评论（着重标记为我所加）：Nature 9 (1873): 137–38；Crowe, History of Vectors, 133。牛顿：写给哈雷的信，见例如 Nicolae Sfetcu, "Isaac Newton vs Robert Hooke on the Law of Universal Gravitation," SetThings (2019 年 1 月 14 日), MultiMedia Publishing, DOI:10.13140/RG.2.2.19370.26567, Creative Commons。 ↩
麦克斯韦、泰特与巴尔福：Knott, Life of Tait, 149–50。柯瓦列夫斯卡娅：Sophie Kowalevski, "Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe," Acta Mathematica 12 (1889 年 1 月): 177–232。它于 1888 年赢得博尔丹奖。 ↩
麦克斯韦的“物理推理”：Treatise on Electricity and Magnetism 1:9 (art. 11)。 ↩
汤姆森致 R. B. Hayward，1892 年，见 Crowe, History of Vectors, 120。 ↩
凯莱的肖像／麦克斯韦的诗：Alexander MacFarlane, Lectures on Ten British Mathematicians (1916), 第 5 章。克利福德单杠上的身手：Carl Boyer, A History of Mathematics, rev. Uta Merzbach (New York: John Wiley and Sons, 1991), 592；另见 Monty Chisholm, "Science and Literature Linked: The Story of William and Lucy Clifford," Advances in Applied Clifford Algebras 19 (2009): 657–71。 ↩
克利福德的无神论：Sally Shuttleworth, "Science and Periodicals: Animal Instinct and Whispering Machines," in Juliet John, ed., The Oxford Handbook of Victorian Literary Culture (2016), DOI: 10.1093./oxfordhb/9780199593736.013.31。 ↩
泰特的书评：重印于 Knott, Life of Tait, 270–72。 ↩
四元数 q 的逆是 q⁻¹ = q^*/qq，其中 q*** 是 q 的复共轭。如果你把 qq*⁻¹ 乘开，就会发现它确实等于 1。 ↩
美国数学家戴维·赫斯特内斯（David Hestenes）是第一位在 1960 年代认识到克利福德与格拉斯曼对几何代数之重要性的现代数学家，此后赫斯特内斯等人进一步发展了这一领域。楔积在现代张量分析中很重要（它们是用我们将在第 11 章看到的张量积来定义的）。 ↩
泰特致凯莱：Knott, Life of Tait, 155。 ↩
自由功利主义者：David Weinstein, "Herbert Spencer," in Edward Zalta, ed., Stanford Encyclopedia of Philosophy（2019 年秋季版）, plato.stanford.edu。麦克斯韦与泰特：例如 Knott, Life of Tait, 284–88。 ↩
今天对刘易斯身心分析的评价：Elfed Huw Price, "George Henry Lewes (1817–1878): Embodied Cognition, Vitalism, and the Evolution of Symbolic Perception," in Brain, Mind and Consciousness in the History of Neuroscience, ed. Chris Smith and Harry Whitaker (New York: Springer, 2014), 105–23。泰特、刘易斯、布莱克伍德：Gordon Haight, ed., The George Eliot Letters (New Haven, CT: Yale University Press, 1955), 5:401, 417, 以及 9n181。 ↩
麦克斯韦的诗："British Association, 1874" 发表于 1874 年 12 月号的 Blackwood's：Campbell and Garnett: Life of Maxwell, 8（诗重印于 326）。 ↩
泰特与布莱克伍德在高尔夫球场上（以及麦克斯韦的“更好的 ½”）：Martin Goldman, The Demon in the Aether (Edinburgh: Paul Harris Publishing, 1983), 105。 ↩
关于麦克斯韦的诗及相关争论的更多内容，见 Raymond Flood, Mark McCartney, and Andrew Whitaker, James Clerk Maxwell: Perspectives on His Life and Work (Oxford: Oxford University Press, 2014)。 ↩
麦克斯韦致坎贝尔：Campbell and Garnett, Life of Maxwell, 202。 ↩
Knott, Life of Tait, 261。 ↩
萧伯纳致露西：转引自 Chisholm, "Science and Literature Linked," 668。 ↩

第 7 章 从四元数到向量的缓慢旅程¶