第 12 章　万物汇聚¶

张量与广义相对论

作为一位真正的拓荒者，里奇从未停止相信他的张量微积分（tensor calculus）的重要性。而后，起初几乎察觉不到，它命运的潮水开始转向。第一个吉兆来自一位出色的学生图利奥·列维-奇维塔（Tullio Levi-Civita）——他于 1890 年注册进入里奇的课堂；也正是在那一年，三十七岁的里奇终于获得了他的正教授职位。列维-奇维塔中学毕业时所有科目几乎都是满分，1894 年从帕多瓦大学毕业时成绩也几乎全是满分。就连他的职业生涯也是一条完美的轨迹：从里奇的助手，到二十九岁时成为与里奇平起平坐的教授。

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热情洋溢、世俗的列维-奇维塔，与他那位拘谨古板、笃信宗教的昔日教授可谓截然不同——然而这两个人始终是亲密的朋友与同事，直到里奇去世的那一天。他们合作撰写了许多论文，发展里奇的“绝对微分学（absolute differential calculus）”，而这带来了张量微积分命运的第二次转机：费利克斯·克莱因（Felix Klein）建议他们写一篇关于它的综述，好让它进入主流。1900 年，克莱因把这篇开创性的论文发表在他主编的期刊《数学年刊》（Mathematische Annalen）上——十二年后，爱因斯坦和格罗斯曼读到了它，并为之震撼。¹

最幸福的思想：爱因斯坦在发现张量之前对引力的思考¶

我们在第 10 章看到，1912 年秋天——在爱因斯坦加入他的老朋友马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossmann）所在的瑞士“Poly”（联邦工艺学校，即 ETH）的教师行列之后不久——格罗斯曼提出，用里奇的“绝对”微积分，把物理定律从狭义相对论的框架转移到一种包含引力的广义理论中去。但要走到那一步，爱因斯坦此前已经做了大量思考。

在太空旅行尚未出现的那些日子里，寻找一种引力理论的困难在于：在地球上，引力始终与我们同在。就其他的力——比如电磁力——而言，你可以基于实验来建立理论，比如实验显示一个带电粒子在另一个粒子的场中如何运动。但你很难把一物体对另一物体的引力效应单独隔离出来，因为日常物体之间的这种力，与地球引力场的效应相比微不足道；而地球引力场有一个非凡的性质：在没有空气阻力时，一切物体都以相同的速率向下坠落。这当然是伽利略那著名的结果；匈牙利男爵罗兰·冯·厄特沃什（Roland von Eötvös）在 1909 年以前所未有的精度证实了它，而 2022 年，法国的 MICROSCOPE 卫星所作的观测又以大约千万亿分之一的惊人精度再次证实了它。²

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牛顿把他的引力理论建立在这条落体运动定律之上——也建立在对月球与行星的观测运动所作的巧妙推论之上。对太阳系内的大多数应用而言，它至今仍极为精确；但在 1907 年，当爱因斯坦开始思考引力时，确实存在着一个众所周知的例外。每颗行星都沿椭圆轨道绕太阳公转，但由于其他行星的引力牵引，这些椭圆轨道会缓慢地进动（precess）——就像一个倾斜的陀螺由于地球向下的拉力而绕自身的轴进动那样。这意味着太阳与近日点（perihelion，行星轨道上离太阳最近的那一点）之间的连线，会随着行星每绕行一周而略微移动——然而就水星而言，牛顿理论对近日点进动的计算值，每个世纪差了区区 43 角秒。一角秒（arc second）是三千六百分之一度，所以十九世纪的天文学家竟然能够探测到这么微小的差异，实在令人惊叹。³ 那么，怎样才能创立一种更精确的引力理论呢？

爱因斯坦还在专利局工作时，就有了一个奇妙的洞见——“我一生中最幸福的思想”。⁴ 他意识到，我们这些在地球上的人，其实可以凭借想象力“变换掉”地球引力的效应，办法仅仅是改变我们的参照系。我们通常的视角，来自一个牢牢固定在地面上的参照系；可是，如果我们处在自由下落之中——比如说，从屋顶上掉下来——又会怎样？想象你就处在这个令人眩晕的处境里，然后假设你松开了手中拿着的一个球。一个站在地面上观看的人会看到，你和球都以同样的速率继续下落。那正是我们从坚实的大地上观察时，下落物体所表现出来的行为。然而，相对于你而言，那个被松开的球是静止不动的——就好像根本没有引力作用在它上面一样。

换句话说，你可以借助一个自由下落的观测者——比如那个从屋顶上掉下来的可怜人——来“取消”一个引力场；爱因斯坦当时并不知道，在宇宙飞船里“自由下落”要安全得多！但这还不是全部：爱因斯坦意识到，你也可以“制造”一个引力场——办法是把自己放进一个向上加速的参照系，比如一部电梯。我们会在图 12.1 中探讨这个想法；不过首先，爱因斯坦从他那“幸福的思想”中得出的结论是：他确实能够设计出一种相对论性的引力理论，因为只要改变参照系，我们就能制造或者取消一个引力场。（不过，我们只能在“局部”做到这一点。⁵）这正是为什么 2022 年 MICROSCOPE 合作组那样的结果如此关键：如果在同样的引力作用下，所有物体并非以相同的速率下落，那么一个自由下落的观测者就无法“取消”引力，而广义相对论的整个构想就会土崩瓦解。

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几乎就在同时，爱因斯坦看出，引力与加速度之间的这种等效——他称之为“等效原理（principle of equivalence）”——意味着引力必定会使光线弯曲。牛顿也曾提出过这一点，因为他相信光是由物质粒子构成的，会被引力影响，因此它们会像伽利略和哈里奥特的炮弹那样沿抛物线轨迹运动。但爱因斯坦在 1905 年已经证明，光的粒子——光子（photon）——没有静止质量，所以他的论证与牛顿的截然不同。你可以在图 12.1 中看到这个论证的核心，该图阐释的正是“等效原理”。此外还有一层：既然光沿弯曲路径而不是直线路径传播时，到达远处观测者所需的时间更长，那么引力看上去就会减慢光速。这与狭义相对论大不相同——在狭义相对论中，光速是常量，对所有观测者都相同。（在如图 12.1(a) 那样的局部惯性系中测得的局部真空光速仍然是常量 c，但观测者测量到的是，来自远处光源、沿弯曲路径传播的光，速度更慢。）

早在 1911 年，当爱因斯坦还是布拉格德国大学（German University in Prague）的教授时，⁶ 他就发表了一个数学推导，量化了太阳附近光线弯曲的量。在这篇论文中，他还展开了早在 1907 年就有的另一个想法：引力红移（gravitational redshift），即引力导致光的频率向光谱中波长较长（也就是偏红）的那一端移动。它类似于多普勒效应（Doppler effect）——正是多普勒效应赋予救护车或警车呼啸的警笛声那种独特的声调：车辆加速朝你驶来时音调变高，驶离时变低。这是因为声波先是相对于你被压缩，使它们的波长变短，然后随着车辆远去而被拉长——光波的情形也一样。想象一束光脉冲从图 12.1(b) 中飞船的底部发送给顶部的一位观测者。当光向上传播时，那位观测者正随着飞船一起向上加速，因此他正在远离光被发出的那个点；这意味着光的波长看上去被拉长、也就是变红了。但既然图 12.1(b) 与 (c) 是“等效的”，那么在 (c) 中，一位站在梯子顶端的观测者也应当看到来自地面光源的红移光——那里引力更强。这是一个证明引力红移存在的简单论证！（不过由此得到的计算只是近似的，因为等效原理只在局部成立。爱因斯坦还用过另一个红移论证：光逆着引力场传播时会损失能量。但要作出精确而可预言的计算，他需要他最终的那套理论。）

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如果引力以相对论的方式把光红移到更长的波长，那么它对其他振动也必定有同样的作用——包括时钟的滴答声。这意味着，远处的观测者会看到，在更强的引力场中时钟走得更慢（因为两次滴答之间隔了更长的时间）。如今在校准 GPS 导航时，这个事实已经与狭义相对论的时间膨胀（time dilation，得益于洛伦兹变换）一并被考虑进去了。然而在 1911 年，爱因斯坦关注的是那些日后技术成熟时或许能被检验的预言：事实上，他想出红移论证，正是为了检验“时间变慢”这个他早在 1907 年就已经凭直觉想到的想法。

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1911 年，爱因斯坦开始更深入地探索他的想法。他需要能够把自己直觉性的思想实验转化成可检验的方程；而既然引力可以减慢光的表观速度，他想知道，这个可变的光速是否可能代表他新理论中的“引力势（gravitational potential）”。我在第 6 章提到过，约瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）曾用一个标量的“势”V 来表述牛顿的引力平方反比定律。从牛顿定律出发很容易得到它，你可以在这个尾注中看到，⁷ 也可以从高斯通量定律得到（类比于第 6 章中麦克斯韦对 ∇ ∙ E = 4πρ 的推导）。无论用哪种方式，牛顿的引力定律都可以写成

\[\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}\equiv\nabla^{2}V=4\pi G\rho\]

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这里的 ρ 是产生引力场的物质的密度。它类比于麦克斯韦方程组中的电荷密度，而且带着同样的注意事项。⁸ G 是牛顿平方反比定律中的引力比例常量。

这种表述最初的好处在于：用法拉第—麦克斯韦的语言说，它把势当作一个连续的标量“场”，而不是平方反比定律中似乎隐含的那种超距作用（action-at-a-distance）观点——后者只顾及了引力粒子之间数值上的距离，却没有顾及它们之间整个空间的性质。事实上，既然平方反比定律给出的是一给定质量对置于周围空间任意一点的单位试探质量所施加的力，它就可以被解释为定义了一个向量场；不过，用标量势来做计算往往更简单。于是，爱因斯坦想知道：他那可变的光速，能否在他的新理论中扮演类似于势 V 在牛顿理论中所扮演的角色——他进而创立了一种“静态”引力理论。“静态”意味着不随时间变化，所以它描述的是比如说一颗宁静的恒星，或者地球上这里那种微弱的、基本上均匀的引力场。但爱因斯坦当时仍在摸索，而且他（错误地）假定：在一个静态引力场中，时空的空间部分会是欧几里得的，就像在地球上做日常计算时那样。这意味着，虽然闵可夫斯基度规（Minkowski metric）描述的是狭义相对论中的时空，但描述爱因斯坦静态引力场中时空的相应度规会是“几乎闵可夫斯基式的”：

ds² = dx² + dy² + dz² − (c(x, y, z))²dt²,

其中 c 即光速，现在成了空间坐标的一个函数。这一切都是错的，他后来会认识到这一点。与此同时，他在 1911 年发表了这套静态理论。

总而言之，在布拉格度过的一年多一点的时间里，他发表了六篇相对论方面的论文（另有五篇其他论文）。他把想法抛出去，邀请反馈以帮助打磨它们——尽管他从言辞尖刻的马克斯·亚伯拉罕（Max Abraham）那里得到的，比他预想的要多一点。亚伯拉罕是电磁学方面的专家——他出版过德国关于麦克斯韦理论的最权威的教科书，也提出过一个关于新发现的电子的开创性（但如今已过时）模型。但他坚定信奉亨德里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz）与亨利·庞加莱（Henri Poincaré）那种半相对论性的、基于以太的电磁学进路，所以当爱因斯坦的狭义相对论把以太抛弃时，他极为不快。如今，在 1911 年，他把自己敏锐的头脑——以及不幸同样尖刻的笔——用来公开批评爱因斯坦推广相对论的种种尝试。然而他并不是一个只会吹毛求疵的批评者；出人意料的是，1912 年初，他发表了他自己的相对论性引力理论。

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爱因斯坦静态理论中的度规“几乎”是闵可夫斯基度规，而亚伯拉罕的理论则是完全闵可夫斯基式的——起初爱因斯坦被它迷住了。（此前已经有其他人尝试把引力纳入狭义相对论，其中包括庞加莱和闵可夫斯基。）正如爱因斯坦告诉他的老朋友米凯莱·贝索（Michele Besso）的那样——贝索同样是瑞士联邦工艺学校的毕业生，也是他长期以来的、富有洞见的共鸣板——“起初（有 14 天之久），我也被［亚伯拉罕］那些公式的美与简洁完全唬住了。”但随后爱因斯坦发现了“推理中的一些严重错误……这就是只做形式上［数学上］的运算、而不做物理思考所招致的后果！”⁹

一连几个月，他和亚伯拉罕在《物理学纪事》（Annalen der Physik）的版面上互相交锋，堪称二十年前《自然》（Nature）上那场向量之战的迷你版。亚伯拉罕刻薄的舌头让他与物理学界的大多数人疏远了，但说话直率的爱因斯坦对亚伯拉罕口无遮拦的脾性抱有同情，而且亚伯拉罕的批评确实帮助爱因斯坦把自己的想法磨砺得更锋利。1912 年 7 月，就在他离开布拉格前往苏黎世和 ETH 之前不久，爱因斯坦发表了一篇论文，讲述他在寻找新的引力方程时应用等效原理的种种尝试，并补充说：“我想请我的所有同行都来试一试这个重要的问题！”而亚伯拉罕则语带讥讽地回应道：“爱因斯坦乞求人们把明日相对论的功劳记在他账上，并向他的同行们呼吁，好让他们为之担保。”到这一步，爱因斯坦放弃了这场论战——但他并没有放弃自己为一种新的相对论性引力理论而战的斗争；而且，必须说，他也没有放弃对亚伯拉罕作为物理学家的那种能力的敬重。¹⁰

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1912 年 8 月爱因斯坦抵达苏黎世时，他通往广义相对论的进展，大体上就是这样一番状况。他凭借直觉推导出等效原理，以及它对时间和光速的测量所产生的种种后果，这完全是天才之举——然而，绝妙的想法是一回事，证明它们却是另一回事。比如说，引力红移的直接实验证明要到 1960 年才出现，而爱因斯坦没能活着看到它：他于 1955 年去世。但在 1912 年，与爱因斯坦为找出一套完全相对论性的引力理论的方程所进行的挣扎相比，证明只是个小问题。他的天才在于物理思考，而不在于数学——尽管他实际上是一位非常好的数学家，只是见闻不够广博——他逃掉了太多闵可夫斯基的课。所以，没过多久他就向他的老同学恳求道：“格罗斯曼，你得帮帮我，不然我要疯了！”¹¹

爱因斯坦为什么需要帮助¶

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把爱因斯坦逼疯的问题是这样：如何把等效原理——在图 12.1(b) 和 (c) 中，观测者分不清自己是在一部平稳加速的电梯里，还是在引力场中的一个封闭房间里——与相对性原理调和起来；后者说的是，物理定律对所有观测者都应当具有相同的形式。¹² 他的静态引力理论是等效原理的一个推论，他从中推导出那个扮演引力势角色的可变光速。但这似乎与相对性原理相矛盾，因为它显然与狭义理论合不来——在狭义理论中，我们在图 9.3 中遇到的洛伦兹变换依赖于光速的恒定。（爱因斯坦新的广义相对论必须与狭义理论相衔接，以覆盖相对加速度为零的情形。）

而且，由于在狭义相对论中任意两位观测者的相对速度是恒定的，牛顿第一定律（惯性定律）对他们双方都成立。正如我们在第 3 章看到的，牛顿是依据物体速度的变化来定义力的，所以惯性定律说的是：在没有力作用时，静止的物体保持静止，而以恒定速度运动的物体保持以那个恒定的速度运动。把这一点应用到狭义相对论中：如果一个物体在观测者 A 的参照系中是静止的，那么按照观测者 B 的说法它就处于匀速运动之中，反之亦然；无论哪种情形，惯性定律对两位观测者都成立，于是正如在牛顿物理学中那样，他们的参照系都是“惯性系”。然而，当相对运动是加速的时，情况就不再如此了。

这提示爱因斯坦：没有任何经验上的理由，要把一种广义相对论绑在狭义理论的那些惯性参照系上。¹³ 这意味着，不再存在唯一一个有限的坐标变换群，能像狭义相对论中的洛伦兹变换那样保持物理定律不变。相反，自然定律应当在任何光滑的坐标变换下都不变。¹⁴ 既然不存在特别的坐标变换群，也就不存在特别的、保持不变的度规。于是，闵可夫斯基度规必须被一个完全一般的度规取代：

ds² = g_μνdx^μdx^ν,

其中的系数 g_μν 一般来说是坐标的函数。（所以，闵可夫斯基度规只是这个一般度规的一个特例。）

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这意味着，由这个度规所描述的时空一般来说必定是弯曲的——尽管爱因斯坦是在格罗斯曼向他介绍黎曼几何（Riemannian geometry）、以及我们在第 10 章遇到的那个曲率条件（即由 g_μν 的导数构造出来的黎曼张量不等于零）时才意识到这一点的。在布拉格时，爱因斯坦已经通过一个基于长度收缩的直觉论证弄清楚，时空必定是非欧的；但一直令他抓狂的事情之一是：在一个完全一般的度规中，x^μ 可以是任何种类的坐标。这意味着 dx^μ 未必直接与时间和空间的测量相关，不像在欧几里得度规和闵可夫斯基度规的标准（笛卡尔）形式中那样——在那里，dx^μ 就是时间与空间的差值 dt, dx, dy, dz。

爱因斯坦“为此大为困扰”，正如他后来回忆的那样¹⁵——直到他返回苏黎世之前不久。我在第 9 章说明过：在狭义相对论中，尽管笛卡尔坐标在闵可夫斯基时空中确实与时间和空间相关，但相对运动的观测者在实际的时间和距离测量上并不一致（正如图 9.3 那个知识框中的洛伦兹变换所显示的那样）。相反，我们看到，保持不变的是表达式 x² + y² + z² − (ct)²——因而也就是闵可夫斯基度规 ds² = dx² + dy² + dz² − (cdt)²。换句话说，两位观测者唯一能够达成一致的，是由度规给出的 ds，即时空中事件之间的间隔（或者说“距离”）。爱因斯坦在他的狭义理论中并没有使用间隔 ds——正如我们在第 10 章看到的，那是来自闵可夫斯基和高斯的，而爱因斯坦花了些时间才对这种几何的“度规”进路热络起来。（在他 1905 年的论文中，他关注的是洛伦兹变换的代数后果。）但在离开布拉格之前，他认识到了关于 ds 与等效原理的某种具有根本重要性的东西。

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在一个引力场或加速参照系中，当没有别的力作用时，物体和光的光子必定沿弯曲的测地线运动，而不是像在惯性系中那样沿直线行进。这终于成了爱因斯坦严格表达图 12.1 所勾画的等效原理的方式。因为，正如我们在第 10 章看到的，两点之间的最短距离位于一条测地线上，而这条测地线是通过最小化（或者更确切地说，极值化）¹⁶“距离”s = ∫ds 而找到的。正如爱因斯坦突然意识到的，这意味着在他的新理论中具有物理意义的，是 ds，或者说整个度规——而不是度规中那些彼此分离的坐标微分。而如果它具有物理意义，那么所有观测者都必须对它达成一致，就像在狭义相对论中对闵可夫斯基度规那样。可是，当爱因斯坦手上只有一个一般形式的度规时，他该怎么表达这种不变性呢？他被难住了。

于是，忠诚的格罗斯曼动身去了图书馆，想看看有没有人已经找出一种办法，能让一般的度规和方程保持不变。而他和爱因斯坦就是这样读到里奇与列维-奇维塔那篇关于张量分析的里程碑论文的。

爱因斯坦与格罗斯曼拿起张量微积分¶

格罗斯曼对数学充满热情，但他此前对物理并不太上心，直到他被爱因斯坦的愿景“点燃”。¹⁷ 而那是何等非凡的愿景啊，即便在这个早期阶段也是如此。我们已经看到他从等效原理中作出的那些非同寻常的推论，但爱因斯坦同时也在逼近一个激进的想法：引力与几何是密不可分地纠缠在一起的。这是因为，度规必须同时描述时空的弯曲几何和引力场本身——因为当没有引力时，你就回到了平直时空的闵可夫斯基度规，物体也就沿直线而不是弯曲的测地线运动。所以，引力影响着时空的几何——也就是曲率——而曲率则描述引力。至少，只要爱因斯坦能找到正确的方程，事情就会是这样。

他又一次以牛顿的引力方程为出发点，即用引力势表述的那个方程：∇²V = 4πGρ。毕竟，任何一种新的引力理论，都必须与牛顿那极为成功的理论相吻合——在地球上、以及太阳系中远离强引力源的其他地方，那些微弱而相当均匀的场里就是如此。爱因斯坦已经放弃了他早先那个“光速就是引力势”的想法，因为它与狭义相对论合不来；但现在他作出了一个大胆的断言：

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度规系数 g_μν 本身不仅代表着时空的度规性质，也代表着牛顿引力势 V 的相对论对应物。（这正是他和格罗斯曼使用字母 g 的原因，而我早已借用了它来表示弯曲时空的度规系数。）

它在概念上是大胆的——因为，正如他后来认识到的，它把几何与引力之间的联系挑明了；它在数学上也是大胆的，因为它预示了一种数理物理学中前所未见的复杂性。部分原因在于：在四维时空中，每个指标取 1 到 4 的值，于是二指标张量有 4 × 4 = 16 个不同的分量；不过对于度规张量（metric tensor），指标应当是对称的，即 g_μν = g_νμ（因为标量积是可交换的，正如我们在第 11 章末尾附近看到的那样）——这意味着只有十个独立的度规系数：

g₁₁, g₁₂, g₁₃, g₁₄, g₂₂, g₂₃, g₂₄, g₃₃, g₃₄, g₄₄.

但这仍然是十个引力势，所以必定要有十个引力场方程，而不是牛顿那单个方程 ∇²V = 4πGρ。这是多大的挑战啊！而又该从哪里开始呢？

嗯，首先，在牛顿方程中，等式左边的引力势关联着右边的 ρ，即产生引力的那个物质的密度。对于此时正紧密合作攻克这个问题的爱因斯坦和格罗斯曼来说，左边那个表达式显而易见的类比物，似乎是某种由势 g_μν 的二阶导数构成的、有十个分量的张量表达式，就像 ∇²V 中的那些二阶导数一样。

没过多久，格罗斯曼就发现“里奇张量（Ricci tensor）”R_μν 正是这样一头野兽。里奇在 1903 年发现了这个张量——尽管并没有给它命名；这类表彰性的数学与科学术语，通常是由后来的研究者赋予的。里奇张量是我在第 10 章提到过的那个四指标黎曼张量的缩并（contraction），而我们在第 11 章看到，“缩并”的意思是令一个上指标与一个下指标相等并对它们求和：\(R_{\mu v}\equiv R_{\mu\alpha v}^{\alpha}\)。它看上去人畜无害，不是吗？事实上，既然黎曼张量本身就是度规系数的导数之和，那么 R_μν 就是数百项之和！其中许多项会相消或者等于零，但尽管如此，广义相对论中的计算量还是大得吓人；可想而知，到 1980 年代后期，计算机代数软件包的日益普及与日趋精密，成了研究者们的一大福音。

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顺便说一句，我们很快就会看到，与向量方程不同，张量方程最好用一般分量来书写，因为张量指标对于计算——比如给出里奇张量的那次缩并——是至关重要的。所以从现在起，我一般会沿用常见的做法，这样来书写张量：用 g_μν 表示度规张量，R_μν 表示里奇张量，\(R_{\mu\alpha v}^{\alpha}\) 表示黎曼张量，如此等等——而不是用它们那种更正确的、使用整体张量标记的表示法，比如 g, Ric, Riem。所以，当你看到一个使用 μ、ν……这类一般指标的方程时，你就知道它对指标的所有取值都成立。你也知道它在坐标变换下是形式不变的（协变的）；而那些用特定分量写出的方程——指标用数字指定，比如 R₁₂；或者用特定的坐标指标，比如 v_x 表示速度的 x 分量，或者 B_y 表示磁场的 y 分量——则不是。

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有了里奇张量作为方程左边的候选，爱因斯坦和格罗斯曼还需要为右边找一个牛顿式质量密度 ρ 的对应物。质量密度是刻画产生引力场的物质分布的一种方式，但显然能量也应当是其中的一部分——这要拜 E = mc² 所赐。至于怎样把它放进一个张量里，这两位合作者从前的那位数学教授闵可夫斯基，事实上已经指明了道路：他曾把麦克斯韦方程组写成张量形式。

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在麦克斯韦方程组通常的向量形式中，电场向量 E 与磁场向量 B 是交织在一起的：在旋度方程中，方程的一边是 E，另一边是 B。闵可夫斯基所做的，是把这两个交织在一起的三维场合并成平直四维时空中的单个张量。正如我在第 9 章提到的，张量当时尚未进入主流——而“张量”这个名称，直到爱因斯坦在 1916 年发表他那篇关于广义相对论基础的综述之后，才在这种语境中被普遍使用。所以，1910 年，当阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld）追随闵可夫斯基、把电场向量 E 与磁场向量 B 合并成单个量 F（通常用它的一般分量记作 F^μν）时，他用的是“六向量（six-vector）”而不是“张量”这个术语。这是因为 F^μν 有六个独立分量——它不过是书写 E 和 B 中所包含信息的另一种方式，而这两者各有三个分量，分别对应 x, y, z 三条轴。令人意外的是，即便在他 1916 年的综述中，爱因斯坦也把 F^μν 称作“六向量”，尽管他在别处用的是“张量”。不过他确实用了我在这里使用的、如今通行的那套记号——除了一点：他用 ∂ 而不是现代的逗号来表示偏导数，那是我们在第 11 章末尾见过的。我把这六个电磁张量分量列出来，好让你看清这个思路，不过你只消把它们当作定义即可：

F¹⁴ = −E^x, F ²⁴ = −E ^y, F ³⁴ = −E^z, F¹² = B^z, F ³¹ = B ^y, F ²³ = B^x;

此外，F^μν = −F ^νμ，且 F^μμ = 0。

有了这些定义，第 8 章中那四个美妙的麦克斯韦方程变得更加经济、更加优雅简洁。我把它们列在这里只是为了让你看看，我们并不需要其中的细节——只除了一点：为了与向量版本作比较，j^μ 表示电流密度，也就是电磁场的源：

F^μν_,ν = 4πj^μ F_μν,λ + F_νλ,μ + F_λμ,ν = 0.

闵可夫斯基已经验证过，F^μν 确实就是我们今天所称的张量。¹⁸ 他所做的事情相当出色：他把三维向量 E 与 B——它们并不是参照系无关的，比如一个运动的电荷会产生磁场，因此 B 在该电荷的静止系中为零、而在相对运动的观测者的系中不为零——变成了四维时空张量 F^μν，而它是参照系无关的！它的各个分量在洛伦兹变换下会改变，但如果整体张量在某一个参照系中为零（或不为零），那么它在所有参照系中都为零（或不为零）。

不过，如果你只是粗粗浏览过第 11 章，你也许会对这一对张量方程中指标的位置感到疑惑。但张量的指标可以利用度规张量来上升和下降，所以在闵可夫斯基时空中，F^μν 和 F_μν 只是同一件事的不同写法。（不过在头一个方程里你需要一个上指标，以便对重复指标 v 求和。）

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只是为了向你表明，这一对美妙的方程并不是张量优雅性的最后定论，用后来微分几何的语言，麦克斯韦方程组还可以写得更简洁：

d*F = 4π*J, dF = 0.

这里的记号又从指标形式摆回到了亥维赛那种表示整体向量的粗体记号，于是 F 就是以 F^μν 为分量的那个张量。d 是梯度算子，类比于上面那些指标形式方程中表示偏导数的逗号。（星号表示该张量的“对偶（dual）”。）

不过，正如向量的情形一样，要做计算，你仍然需要分量形式！

今天，电磁场张量（electromagnetic field tensor） F^μν 常被称为麦克斯韦张量（Maxwell tensor）或法拉第张量（Faraday tensor）。¹⁹ 然而，爱因斯坦和格罗斯曼真正需要的，是一种把产生引力场的物质与能量也合并成单个张量的方法。但我们与电磁理论还没打完交道。闵可夫斯基英年早逝之后，他的朋友索末菲发展了他的思想，正如我们在第 9 章看到的那样。索末菲此时与列维-奇维塔和爱因斯坦都很交好，而且他对张量也知之甚多。于是，在他 1910 年的论文《论相对论 I：四维向量代数》（“On the Theory of Relativity I: Four-Dimensional Vector Algebra”）中，他追随闵可夫斯基，把与一个电磁场相关联的那些本质性的物理量合并成了单个张量 T_μν。

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例如，人们已经知道：对于一列平面电磁波在三维空间中携带的能量，向量积 E × B 正比于单位面积上的能量流率——也就是能量通量（通量就是流动的速率，如图 6.1 所示）。既然 E × B 是另一个向量，它就有三个分量，索末菲把它们标作 T₄₁、T₄₂、T₄₃。接下来，他把 T₄₄ 等同于场的电磁能量密度（它正比于携带这份能量的电磁波振幅的平方）。他把剩下的那些分量等同于他所谓的“麦克斯韦应力（Maxwell stresses）”。

麦克斯韦曾把这些动电应力与静电应力的效应等同于辐射压（radiation pressure）——这是一项非凡的预言，如今在众多应用中得到了验证，其中包括我在第 2 章提到的光镊（optical tweezers）。既然压强需要一个力，而力是动量的变化，这些“应力”分量就被等同于动量通量。所以今天 T_μν 一般被称为应力–能量张量（stress-energy tensor）或能量–动量张量（energy-momentum tensor）。类比于图 9.4 中的那些“麦克斯韦应力”，指标告诉你是哪一个分量作用在体元小方块的哪一个面上。例如，在笛卡尔坐标中，T₃₂ 就是作用在法线沿 y 方向的那个面上的能量–动量的 z 分量（反过来也一样，因为事实上 T_μν = T_νμ²⁰）。

能把如此之多的信息合并进单个张量，实在是相当惊人：E 和 B 并入 F_μν，能量、物质和动量并入 T_μν，当然还有引力场并入 g_μν。这是张量在表示数据上的威力的又一个例证。但它同时也握着一把钥匙，可以打开爱因斯坦那个“所有观测者都推导出相同的物理学”的要求——因为里奇设计张量，本来就是为了编码不变性。遗憾的是，爱因斯坦和格罗斯曼要想找出精确描述引力场的正确方程——那些即使坐标框架被改变也保持其形式的方程——还有一段路要走。

Entwurf：通往广义相对论的路上¶

这两位朋友起初的想法是：他们需要一个张量方程，把 ∇²V = 4πGρ 的相对论对应物的左右两边连接起来——而显然，索末菲那个电磁学的 T_μν 的引力版本会出现在右边。但爱因斯坦和格罗斯曼对用里奇张量做左边开始重新考虑。事实上，他们已经开始怀疑张量究竟是不是对的工具，因为无论他们怎么努力，就是找不到一个恰当的、形式不变的方程。

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这是因为他们同时在耍许多只不同的球，而这些球最终都必须融进最终的方程里。首先，这些方程必须在微弱的场——比如地球上这里这种——中退化为牛顿极限（Newtonian limit）；并且必须在一个事件的“局部”邻域中退化为狭义相对论，在那里时空是“局部平坦”的。我们在图 10.1 中见过“局部平坦性（local flatness）”这个想法；这个局部区域能有多大随情形而异，你可以在下一个尾注中看到。这些方程还必须产生出已知物理定律——比如能量守恒与动量守恒——的对应物，但这被证明格外困难——即便到了今天，引力能量的概念依然问题重重。²¹ 不过这里的要点是：想要找到一种令人满意的相对论性引力理论，是一件多么复杂的事啊！

尽管如此，1913 年，爱因斯坦和格罗斯曼发表了今天被称为《纲要》（Entwurf）理论的东西——Entwurf 是德语“纲要”的意思，而他们那篇论文标题的英译是“广义相对论与引力理论纲要”（“Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation”）。它包含了广义相对论的基本框架，是一项了不起的成就，是数月紧张工作的顶点。想法是爱因斯坦的，论文的物理部分由他撰写；格罗斯曼拥有数学专长，数学部分由他撰写。

遗憾的是，尽管《纲要》方程是张量性的，它们却只在某些受限的坐标变换下才是协变的——也就是形式不变的。然而广义相对论的全部要点恰恰在于：应当允许任何参照系，以代表各式各样相对运动的观测者。这正是格罗斯曼怀疑张量价值的原因：一碰到引力，广义协变性（general covariance）似乎就不可能了。爱因斯坦为了替“他的理论没有达到他最初的目标”这一事实辩解，把自己绕进了死结里——而且他“心情沉重地”也说服了自己：一种更一般的理论根本就是不可能的。²²

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1914 年，爱因斯坦和格罗斯曼发表了第二篇合作论文，以一种更优雅的方式推导出了《纲要》的引力方程，但它们仍然不是完全协变的。而爱因斯坦仍在继续尝试。自 1907 年以来，他在通往相对论性引力理论的旅程中已经发表了将近一打论文，而且还有更多即将问世。当一切都结束时，他会向一位朋友打趣说：“爱因斯坦可好过了，每年他都把前一年写的东西收回。”到后来，他每周都在收回或者更新。然而在 1914 年，他还笑不出来，因为他的同行们对《纲要》理论的反应相当冷淡。他向老朋友米凯莱·贝索抱怨道：“物理学家这个兄弟会表现得相当被动……亚伯拉罕似乎对它理解得最透彻。诚然，他对整个相对论大发雷霆……但他斥骂时是带着理解的。”爱因斯坦接着说，马克斯·普朗克（Max Planck）——量子理论的共同奠基人，也是爱因斯坦和狭义相对论的早期支持者——属于那些对他的新理论“不开放”的人之一，但他希望索末菲和洛伦兹会是。²³

洛伦兹始终感兴趣并给予支持，但他从未真正放弃以太的想法。索末菲也是一位可敬的同行——他谨慎地接受了《纲要》进路，后来甚至建议爱因斯坦，要确保自己被公认为新理论的主要作者。但爱因斯坦对他这位老朋友很有信心，他回信说：“格罗斯曼绝不会自称是共同发现者”；爱因斯坦说，格罗斯曼的角色是在数学上为他“定向”。此后，爱因斯坦确实证明了自己完全有能力创造性地应用张量数学。²⁴

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尽管爱因斯坦正埋头苦干于他的新引力理论，他总能挤出时间给他新来的博士后助理奥托·斯特恩（Otto Stern）——我们在量子自旋的发现那件事上遇到过他。斯特恩头一回去跟爱因斯坦工作时，惊讶地发现“一个没打领带的家伙坐在桌子后面”，看上去更像一个“修路工”，而不是他原本预期的那位名人。但他说，爱因斯坦“好得不得了”。²⁵

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爱因斯坦也仍然为好朋友们挤出时间，比如 1913 年 6 月来访苏黎世的贝索。而这来得正好，因为这次访问结果颇有收获。爱因斯坦已经想出了一种检验《纲要》理论的办法：看它能否解释水星近日点进动中缺失的那 43 角秒——而贝索加入了他的行列，一同完成这些计算。遗憾的是，他们只找到 18 角秒，而不是 43。不过我们后面会看到，爱因斯坦后来成功地使用了他和贝索设计的那种方法——这也许就是为什么在 2022 年，他们那份原始的计算稿，也就是所谓的“爱因斯坦–贝索手稿”（Einstein-Besso Manuscript），在拍卖会上以超过 1500 万美元的价格售出。

贝索比爱因斯坦更早看出了《纲要》理论的一些问题——而且不只是它没能给出水星的正确预言这一件事。但爱因斯坦还有别的问题要应付：1914 年，他接受了马克斯·普朗克提供的柏林一个教授职位——考虑到那个年代远距离通信的种种困难，这一变动终结了他与格罗斯曼的紧密合作——而他与米列娃·马里奇（Mileva Marić）的婚姻也终于在怨怼中破裂。部分原因在于爱因斯坦的工作。“你要知道，有了这样的名声，留给妻子的时间就不多了，”马里奇早在几年前写信给一位朋友时这样说。她接着说，她意识到自己“摆出一副高傲而优越的姿态”，但她不知道那是因为害羞还是因为骄傲。她确切知道的是：“我非常渴望爱。”爱因斯坦并没有试图去穿透她那勇敢而沉默的外壳，若在更幸福的时日里，他或许会那样做。相反，他与表姐埃尔莎（Elsa）亲近了起来——后者恰好住在柏林；他们将于 1919 年结婚。²⁶

当然，还有从 1914 年持续到 1918 年的第一次世界大战。身为和平主义者，爱因斯坦对它敬而远之；尽管他此时身在柏林，他却拒绝在德皇那份《告文明世界书》（“Declaration to the Cultural World”）上签字——那份宣言否认德国对这场战争负有责任。马克斯·普朗克和费利克斯·克莱因都在众多签署了这份宣言的、受人尊敬的德国科学家之列，但大卫·希尔伯特（David Hilbert）也拒绝签署。他是闵可夫斯基的多年老友，也是克莱因的学生，如今是哥廷根（Göttingen）的教授——他曾帮助哥廷根成为一个著名的、充满活力的思想中心。希尔伯特是一位热爱跳舞的数学天才，却也是个肆无忌惮的调情者——颇有几分像爱因斯坦。但他们两人都坚守自己的反战原则；而克莱因——他爱国到了连文件都没读就签了字的地步——后来为如此草率行事而后悔。²⁷

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战争也打乱了爱因斯坦检验他的理论的另一项计划。1911 年，他已经预言了光经过太阳附近时会被弯折的角度，并接洽过天文学家，看这种弯折能否在一次日食期间被探测到。那些从地球上看去显得靠近太阳的遥远恒星，在日全食期间会变得可见，人们可以拍下它们的位置，再与几个月之后——当地球到这些特定恒星的视线不再经过太阳附近时——同一批恒星的位置作比较。（这些恒星本身极其遥远，因此在那几个月里，它们相对于地球的实际位置实际上保持不变。）几支计划好的日食考察队被放弃，或者被战争彻底搅乱。具有讽刺意味的是，这对爱因斯坦来说倒是运气：就像他头一次对水星的预言一样，他 1911 年关于光的预言后来被证明是偏小的。

图利奥·列维-奇维塔与大卫·希尔伯特登场¶

1914 年 11 月，爱因斯坦发表了一篇论文，进一步发展并打磨他与格罗斯曼所做的工作——他立刻给他可敬的对手马克斯·亚伯拉罕寄去了一份。亚伯拉罕随即写信给他的朋友列维-奇维塔，告诉他自己看不懂爱因斯坦的推理，并建议两人聚一聚讨论一下。这两个人在帕多瓦会面，而列维-奇维塔被他们的讨论弄得兴奋不已，于是在 1915 年初，他第一次主动联系了爱因斯坦。他想要澄清爱因斯坦在使用张量时的一些错误，而爱因斯坦满怀感激地回复道：“如此仔细地审视我的论文，你是在帮我的大忙。你可以想象，能有人独立而批判地深入钻研这个课题，是多么罕见。”²⁸

在接下来的两个月里，他们各自发出了十几封信，而爱因斯坦则在奋力寻找正确的引力场张量。当意大利参战、与德国为敌时，帕多瓦与柏林之间的通信变得困难，书信往来也就渐渐中断了。²⁹ 尽管如此，1915 年夏天，当爱因斯坦应希尔伯特之邀前往哥廷根发表关于引力的六次系列演讲时，他感到信心十足。到这个时候，他对张量的掌握已经胜过大多数数学家，因为里奇的工作仍然被冷落在阴影里。

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爱因斯坦的信心并没有放错地方。三十六岁的他，欣喜于自己的想法受到了克莱因和希尔伯特这两位数学界元老的接纳——克莱因此时已将近七十岁，希尔伯特五十三岁。两人都是不变量理论（invariant theory）的专家，而希尔伯特还开创了几何学的公理化进路（就像朱塞佩·佩亚诺（Giuseppe Peano）对代数所做的那样）。看来，对爱因斯坦那种几何的（度规张量的）引力进路印象特别深刻的希尔伯特，鼓励他不要放弃最初对协变的引力场方程的追寻。

爱因斯坦放弃广义协变性这个想法的原因之一是：它意味着度规的形式应当在任何坐标变换下都不变；但这种一般性会把那些与相对运动毫无关系的变换也包含进来——比如从笛卡尔坐标变换到极坐标，这时度规的形式并不是不变的。这可以类比于分别用笛卡尔坐标和极坐标来表达一个圆的方程：x² + y² = a² 与 r = a。那是同一个圆，但表面上看，这两个方程毫无相似之处。爱因斯坦最终会认识到，即便有这类变换，也仍然可以找到广义协变的方程——前提是这些变换是齐次的。（这意味着：在一个参照系中为零的张量，在所有参照系中也都为零；而爱因斯坦意识到，这给出了一种书写不变张量方程的办法。）³⁰

回到柏林后，爱因斯坦坚持不懈地继续钻研他的方程。正如我前面提到的，他在设法把能量–动量张量 T_μν 与一个由 g_μν 及其二阶导数构成的合适的张量表达式联系起来——类比于牛顿的方程 ∇²V = 4πGρ。在绞尽脑汁几个月、试图找到正确的 g_μν 表达式之后，爱因斯坦突然意识到，《纲要》理论走错了路。他当初抛开黎曼张量和里奇张量时，误解了这个理论的牛顿极限；但现在，他重新审视了三年前他和格罗斯曼丢弃的那些工作。因为黎曼张量和里奇张量正是由他所需要的那些 g_μν 的导数构成的。然而，正当他沿着新思路推进时，他从索末菲那里得到了一个不受欢迎的消息：希尔伯特正在侵入他的猎场。至少，爱因斯坦是这样看的。

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在爱因斯坦访问哥廷根之前，希尔伯特一直对古斯塔夫·米（Gustav Mie）1912 年的电磁物质理论感兴趣。米是德国东北部格赖夫斯瓦尔德大学（University of Greifswald）的物理学教授，他 1908 年关于球形粒子对电磁辐射的散射的理论至今仍被大量引用。他后来寻找物质与电磁辐射统一理论的尝试则不然；但在当时，希尔伯特对它十分着迷。爱因斯坦对米的理论中的引力分析并不以为然，于是希尔伯特在哥廷根听过爱因斯坦的演讲之后，决定设法把米的电磁学进路与爱因斯坦的几何引力进路啮合起来。他追随米，相信物质在起源上是电磁性的；而既然物质产生引力，希尔伯特认为他可以改进米统一电磁与引力的尝试。

在相对论上辛苦工作了十年之后，爱因斯坦已经精疲力竭；但也许正是“希尔伯特正在接手他的引力思想”这个念头鞭策着他。如果在过去十年里铺好了全部地基之后，希尔伯特却抢在他前面冲过终点线，那会令人心碎。无论如何，他在 1915 年 11 月里拼命地工作，一路上与希尔伯特交换进展——也许是因为他想确立自己的优先权，但也是为了分享想法、传达令人兴奋的进展。（仿佛这还不够累人似的，与此同时他还在给他的前妻和十一岁的儿子汉斯·阿尔伯特（Hans Albert）写信——他的小儿子爱德华（Eduard）只有五岁，还不到能写信的年纪，但爱因斯坦希望能与他们所有人都建立起更好的关系。）³¹

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特别地，他告诉希尔伯特，他将在 11 月 18 日向普鲁士科学院（Prussian Academy of Sciences）提交一篇论文，在文中他把自己最新的方程应用到了水星的近日点上。这一次，那缺失的 43 角秒他全都找了回来——这个结果让他“好几天欣喜若狂、不能自已”，正如他后来告诉一位朋友的那样。他当然立刻把这个消息发给了贝索——正是贝索帮助他设计出了他用来得到这个辉煌结果的方法：“近日点的运动得到了定量的解释”，他得意地写道。³² 事实上，整个 11 月里，爱因斯坦在四个星期内写了四篇论文，每一篇都离最终那个完全协变的广义相对论更近一步；而他带着巨大的兴奋与如释重负，于 11 月 25 日提交了它。

你也许听说过接下来发生了什么，所以在看爱因斯坦那些著名的方程之前，让我们先把优先权的问题处理掉。在爱因斯坦 11 月最后那篇论文的五天前，希尔伯特向哥廷根科学院（Göttingen Academy of Sciences）提交了他自己的论文《物理学的基础（第一份通报）》（“Foundations of Physics (first note)”）——这篇论文看来同样包含了正确的引力场方程。而从 1920 年代以来，某些圈子里一直存在困惑：爱因斯坦方程究竟应当被称为希尔伯特方程，还是爱因斯坦–希尔伯特方程。这份困惑在 1990 年代后期变成了争论：当时特拉维夫大学（Tel Aviv University）的科学史家利奥·科里（Leo Corry）发现，希尔伯特 11 月 20 日那篇论文的原始校样上盖着印刷厂 12 月 6 日的日期戳——那是晚于爱因斯坦 11 月 25 日的论文发表的 12 月 2 日。而且，这些校样看上去根本没有包含爱因斯坦方程——尽管它们确实包含一个隐含地等价的表述，只不过限于米式电磁学这种情形。然而与爱因斯坦的不同，希尔伯特校样中那个底层理论并不是完全协变的。这一点，再加上一个事实——明确的场方程确实出现在希尔伯特 11 月 20 日论文后来发表的版本中，并且其中致谢了爱因斯坦 11 月的四篇论文——使得若干专家得出结论：希尔伯特是从爱因斯坦那里才得知这些方程的明确形式的。³³

另一方面，校样中缺了一页的一部分，而那上面可能正包含着那些具体的方程。这简直是阴谋论的绝佳素材——那一页是谁撕掉的？——而争论双方都有人出言不逊。不过，就我所知，这些学者中的大多数相信：从缺失那一段的上下文来看，希尔伯特几乎可以肯定没有抢在爱因斯坦之前得到“爱因斯坦方程”。况且，所有人都同意，广义相对论是爱因斯坦的；而且，如果没有爱因斯坦打下的坚实基础可供依凭，也就根本不会有什么“希尔伯特方程”。³⁴

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我在尾注中引用了其中许多学术文献，³⁵ 但无论怎么说，当事人之间似乎并没有就“谁找到了广义相对论的最终方程”发生过真正的争执——是其他人，包括克莱因，在若干年之后才引起人们注意：他们两人的发现在时间上如此相近。³⁶ 可以肯定的是，希尔伯特从未声称自己是广义相对论的共同作者，尽管如果不是爱因斯坦抢先发表了，他也许会那样做。³⁷ 事实是，当他的论文最终发表时，他不仅引用了爱因斯坦 11 月的那些论文，还常常赞誉爱因斯坦。“哥廷根街上的每一个男孩，对四维几何的理解都比爱因斯坦多，”他曾宣称；“然而，尽管如此，做出这项工作的还是爱因斯坦，而不是数学家们。”而在最初那种“希尔伯特偷走了他的思想”的苦涩感觉之后，到 1915 年底，爱因斯坦已经重新以友谊向他伸出了手。³⁸

这个故事真正表明的是：即便是最伟大的天才，也需要从彼此那里获得灵感——爱因斯坦，在世的最伟大的物理学家，无疑受益于希尔伯特的数学严谨；希尔伯特，在世的最优秀的数学家，则无疑受益于爱因斯坦的物理洞见。然而，独自一人奠定广义相对论基础的，是爱因斯坦；而正是他，在格罗斯曼最初的帮助下，让张量分析真正为人所知。那么，让我来向你展示，他最终是怎样做到的。

爱因斯坦的广义相对论，终于¶

前面不久我们看到，索末菲追随闵可夫斯基，创造出了单个张量 T_μν，它包含了关于一个电磁场所携带的能量与动量的全部本质信息。结果发现，T_μν 的散度具有一种非常特殊的性质。时空中的“散度”是类比于我们在图 7.1 中见过的普通向量微积分运算来定义的：在那里，向量 \(V=X\boldsymbol{i}+Y\boldsymbol{j}+Z\boldsymbol{k}\) 的散度是 \(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\)。它是一个标量，因此是不变的——对任何坐标都成立。所以，如果我们采用里奇的记号 x ≡ x¹、X ≡ V¹ 等等——再加上表示偏导数的逗号记号、哈密顿的纳布拉算子，以及爱因斯坦求和约定（重复的上下指标表示求和）——那么普通的向量微积分散度就可以这样来表示：

\[\nabla\cdot V=V^{1}_{,1}+V^{^{2}}_{,2}+V^{3}_{,3}\equiv V^{\nu}_{,\nu}.\]

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把它推广到闵可夫斯基时空，我们可以使用同样的表示法 V ^ν_,ν，其中的指标现在从 1 取到 4（或者，如果时间坐标用 0 表示，就从 0 取到 3）。³⁹ 这是闵可夫斯基时空中散度的一个定义，是类比于欧几里得向量的定义——那么现在，把这个类比推广到这个平直的、闵可夫斯基式时空中的张量上，把能量–动量张量的散度定义为 T^μν_,ν。（正如我已经提到的，有了度规你就可以上升或下降一个张量的指标，所以 T_μν 和 T^μν 是书写同一信息的不同方式。）不过，无论你想把这个散度表达式叫作什么，结果是：对于电磁学、以及许多其他物理情形，当你真的去做那些计算时，你总会得到这样一个方程：

T^μν_,ν = 0.

结果还发现，当你考察这四个方程各自的含义时——之所以是四个，是因为 μ 在时空中取四个值——当 μ = 4（或者 0，随你用哪个指标表示时间分量）时，你得到的是能量守恒定律；而另外三个空间分量的方程，则构成通常的动量守恒定律。换句话说，借由能量–动量张量 T_μν，能量守恒定律与动量守恒定律被卷进了一个看上去美妙简洁的方程里。这是张量表示信息那种极为经济的方式的又一个例证。

自 1907 年以来，爱因斯坦一直在与引力能量的守恒问题搏斗。问题并不在于该往 T_μν 里放些什么，因为那会由所考虑的物质与能量分布的种种特征来定义——就像索末菲把一个电磁场的已知特征放进他的 T_μν 那样。问题出在守恒定律上。所以现在，是时候回答爱因斯坦在与格罗斯曼合作之初就提出的那个问题了：如何把物理定律从狭义理论转移到广义理论中去。

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张量形式的守恒方程 T^μν_,ν =0 是一个在狭义相对论中成立的物理定律的例子，这意味着它对所有作恒定相对运动的观测者都保持相同的形式。换句话说，它在洛伦兹变换下是形式不变的（协变的）。结果发现，要把一个洛伦兹协变的张量方程改成广义协变的，你所需要做的全部事情，就是把偏导数换成协变导数（我在第 11 章末尾附近定义过它）。在一个展示符号体系威力的绝妙例子中，这个定义意味着：你只消把上述方程中所有的逗号改成分号即可（我们前面看到的、用张量 F^μν 写出的麦克斯韦方程组中的那些逗号也同样处理）。⁴⁰ 于是，在广义相对论中，（局域的）能量–动量守恒定律方程就是 T^μν_;ν = 0。

实际上，爱因斯坦并不知道这条规则，也没有使用这套分号记号——张量分析的许多精巧之处是后来才有的；但撇开记号不谈，他还是得到了 T^μν_;ν =0 这个结果。（你可以在下面的知识框里看到他书写这个方程的方式。）

把爱因斯坦书写守恒方程的记号翻译成现代形式

在他 1916 年的综述《广义相对论的基础》（The Foundation of the Theory of General Relativity）中，爱因斯坦在他的方程 (57a) 里把能量–动量守恒方程写成了一个等价的形式：

\[\frac{\delta T_{\sigma}^{\boldsymbol{\alpha}}}{\delta x_{a}}=-\Gamma_{\alpha\sigma}^{\boldsymbol{\beta}}T_{\beta}^{\boldsymbol{\alpha}}.\]

他用 α 而不是我的 ν 来表示那些求和，但那是任意的选择；他用 σ、而我用 μ 来标记 T 也同样是任意的：正如我在第 11 章提到的，任意的向量与张量分量上的那些标记本身就是任意的，就像我们自古以来用 x 表示代数中的未知数一样。不过，我们下面会看到，爱因斯坦在他最终的方程中使用的是 T_μν，这正是我选用 μ 和 ν 作标记的原因。

这个方程右边的那一项，正是里奇加到普通偏导数上、用以定义协变导数的那个曲率部分。（Γ 这个符号是埃尔温·克里斯托费尔符号（Christoffel symbol）。）于是，把这一项加到两边，并用分号记号来定义协变导数，爱因斯坦在这里的方程就变成：

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T^α_σ;α = 0.

再借用第 11 章的最后一课：你可以在这里用度规张量来上升和下降指标——g ^σγT^α_σ;α = T^αγ_;α ——而这个张量在它的指标上是对称的，所以爱因斯坦所写的，就完全等价于现代的表示法：

\[T^{\alpha\gamma}_{;\alpha}=T^{\gamma\alpha}_{;\alpha}=0\equiv T^{\mu v}_{;v}=0,\]

其中的等价符号 ≡ 来自对指标的重新标记。

然而由于种种复杂的原因，这条守恒定律似乎与他的场方程合不来——正如我们前面通过类比牛顿引力定律所看到的，那些场方程把左边一个使用 g_μν 二阶导数的表达式，与右边的 T_μν 联系起来。1915 年 11 月，当爱因斯坦最终回到里奇张量、把它放在左边时，他发现仅仅写下 R_μν = kT_μν（其中 k 是比例常量）是不够的。这是因为，当他对两边取散度时，最终得到的方程会给引力场加上一些在物理上不现实的约束。关于这一点，我们会在下一章看到更多。

终于，到 1915 年 11 月 25 日，爱因斯坦发现了正确的引力场方程，他把它写成这样的形式

\[R_{\mu v}=k\left(T_{\mu v}-\frac{1}{2}g_{\mu v}T\right),\]

其中 \(T=T_{\mu}^{\mu}\)，它是一个标量——因为上下指标相同，意味着各分量被求和，正如我们在第 11 章看到的那样给出了一个标量——而且通常选取单位使得 k = 8π。⁴¹ 今天，爱因斯坦方程常被写成与之等价⁴² 的形式：

\[R_{\mu v}-\frac{1}{2}g_{\mu v}R=kT_{_{\mu v}}.\]

这正是希尔伯特在他 11 月 20 日那篇通讯的发表版本中所使用的形式。⁴³

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我在本书中给出过许多美妙的方程，但广义相对论的方程是其中的佼佼者。我说“方程”，是因为这一个“方程”代表着十个方程（因为 R_μν 和 T_μν 都是对称的，所以有十个独立分量，正如我们在 g_μν 那里看到的那样）。然而，这寥寥几个优雅的符号，正是打开了宇宙如此多奥秘的钥匙——从水星近日点的进动，到大爆炸奇点（Big Bang singularity）。从光线的弯折——它最终在 1919 年和 1922 年的日食考察中得到确认，又由 2019 年那张壮观的、首张黑洞阴影的直接成像所确认——到 2015 年首次探测到的引力波。从引力对时钟和 GPS 的影响，到更为深奥的“引力磁性（gravitomagnetism）”“参考系拖曳（frame-dragging）”、黑洞和引力透镜（gravitational lens）——而到目前为止，在每一项检验中，这些方程都屹立不倒。⁴⁴ 在我写完这本书之前，这种情况也许会改变——观测技术一直在进步！而且众所周知，我们还没有一个完整的量子引力理论，所以一套新理论终将演化出来。但它必定要与广义相对论在当前的精度水平上相啮合，就像爱因斯坦的理论与牛顿的理论那样。

爱因斯坦没能活着看到他的理论得到这些壮观的验证中的大多数，但他知道自己找到了某种特别的东西——他那些成功的水星近日点与光线弯折计算就是证明。多年之后回望，他辛酸地回忆起为此付出的巨大努力：

在已经获得的知识的光芒照耀下，这项幸福的成就看上去几乎是理所当然的，任何聪明的学生都不难掌握它。然而那些在黑暗中摸索的岁月，带着它们强烈的渴望，带着信心与疲惫的交替，以及最终向光明的涌现——只有亲身经历过的人才能理解。⁴⁵

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在他 1916 年那篇关于自己的新理论的综述的第一页上，爱因斯坦向那些使广义相对论成为可能的数学家致意：闵可夫斯基，因为他提出了时空的观念；里奇和列维-奇维塔，因为张量微积分；高斯、黎曼和埃尔温·克里斯托费尔，因为他们在非欧几何方面的工作，而那正是里奇所推广的；当然还有忠诚的格罗斯曼，他不仅追查并解读了相关的论文，而且“在我寻找引力场方程的过程中也帮助了我”。⁴⁶

广义相对论让爱因斯坦成了超级明星——在他的光线弯折预言于 1919 年的日食考察中得到确认之后，因为当考察的结果公布时，世界各地的头条都在大肆宣扬它们。“科学革命，宇宙的新理论：牛顿的观念被推翻”，1919 年 11 月 7 日的《伦敦时报》（London Times）宣称。而在 11 月 10 日，诗意地影射“来自恒星的弯曲光路会移动它们在天空中的视位置”这一事实，《纽约时报》（New York Times）以“天上群光皆歪斜，科学界人士对日食观测结果多少有些愕然。爱因斯坦的理论获胜”为标题刊发了报道。

爱因斯坦的成功也悄然让里奇不朽——至少在数学物理学界是这样。像欧金尼奥·贝尔特拉米（Beltrami）这样的批评者曾抱怨说，与既有的方法相比，张量分析并没有实际的好处，但爱因斯坦和格罗斯曼改变了一切。正如里奇的挚友列维-奇维塔所说，张量在广义相对论中的本质作用“对里奇而言也成了‘那公正的荣耀分配者’”，而他的“伟大贡献”终于得到了正式的承认。⁴⁷

G. Ricci and T. Levi-Civita, “Méthodes de calcul différential absolu et leurs applications,” Mathematische Annalen 54 (1900): 125–201。 ↩
R. H. Dicke（“The Eötvös Experiment,” Scientific American 205, no. 6（December 1961）: 84–95）提出，爱因斯坦早期思考引力时是否知道厄特沃什（Eötvös）的结果并不清楚，但如果实验表明伽利略定律是错的，爱因斯坦肯定会听说。关于 2022 年的检验：Pierre Touboul et al., “MICROSCOPE Mission: Final Results of the Test of the Equivalence Principle,” Physical Review Letters 129 (2022): 121102.1–121102.8。 ↩
Urbain LeVerrier 是第一个算出这一差异的人；用更新后的测量数据，他的方法给出约 43 角秒。 ↩
转引自 Abraham Pais, Subtle Is the Lord（Oxford: Oxford University Press, 1982）, 178。有人把“happiest”译为“最幸运的”。 ↩
由于下落观测者越接近地心，地球引力就越强，下落观测者与匀加速观测者之间存在可测量的差异。同样，海洋潮汐之所以产生，是因为地球朝向月亮的一面离月亮更近、感受到的拉力更强。 ↩
爱因斯坦在布拉格的职位：Banesh Hoffmann, Einstein（Frogmore: Paladin, 1975）, 94。1882 年，在捷克民族主义与民族纠纷之后，布拉格大学（即查理大学）分裂为捷克部分和德国部分：https://cuni.cz/UKEN-298.html。 ↩
牛顿引力的势形式，由牛顿定律导出 \(F=ma=\frac{GmM}{r^{2}}\Rightarrow a=\frac{GM}{r^{2}}\)。在笛卡儿坐标中，把引力加速度 a 的分量记作 X, Y, Z，并注意向量 a 与两个质量之间的距离 r 同方向。把一个质量 m 放在原点，那么 r 就是第二个质量 M 的位置向量，M 位于点 (x, y, z)。a 的水平分量由 \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{i}=a\cos\theta=\frac{ax}{r}=\frac{GMx}{r^{3}},\) 给出，其余分量同理。对这些分量求导（用 \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) 和链式法则）并相加，得到 \(\frac{\partial V}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}=0.\) 由于加速度与（保守）力成正比，我们可以用一个势 \(V:X=\frac{\partial V}{\partial x},Y=\frac{\partial V}{\partial y},Z=\frac{\partial V}{\partial z},\) 来写出它的分量，于是上式变成拉普拉斯方程 \(\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=0.\) 如果存在密度为 ρ 的连续物质分布，那么成立的则是泊松方程，右端为 4πGρ。 ↩
电荷与质量密度的注意事项：在电磁学中，需要区分电荷密度与点电荷。就引力而言，无论是牛顿的还是爱因斯坦的，区别在于物质的平均分布（遍布太阳系，或在星云、星系中）与点源（如单颗恒星或行星）。（牛顿证明了球体作用起来如同其全部质量集中在一点，即球心。）这意味着方程在一点上是奇异的——也就是说，它们在那里失效——但在这个点源之外它们没问题，在那里它们被称为“真空方程”。对于密度为 ρ 的物质平均分布，它们同样没问题。更多内容见 Peter Gabriel Bergmann, Introduction to the Theory of Relativity（New York: Dover, 1976）, 175–77。 ↩
爱因斯坦致贝索，转引自 Hanoch Gutfreund and Jürgen Renn, The Road to Relativity: The History and Meaning of Einstein’s “The Foundation of General Relativity”（Princeton, NJ: Princeton University Press, 2015）, 9。“严重的错误” 转引自 Judith Goodstein, Einstein’s Italian Mathematicians（Providence, RI: American Mathematical Society, 2018）, 102–3。 ↩
转引自 Goodstein, Einstein’s Italian Mathematicians, 104。我对亚伯拉罕与爱因斯坦关系的概述也要归功于 Goodstein。 ↩
爱因斯坦的恳求由他在 ETH 的同学、后来的教授 Louis Kollros 回忆；转引自 N. Straumann, “Einstein’s ‘Zürich Notebook’ and His Journey to General Relativity,” Annals of Physics（Berlin）523, no. 6（2011）: 488–500, esp. 490。 ↩
爱因斯坦在他 1916 年的论文（The Foundation of the General Theory of Relativity, 1916，英译见 H. A. Lorentz et al., The Principle of Relativity [New York: Dover, 1952], 113）中这样定义广义相对性原理：“物理学定律必须具有这样的性质：它们适用于作任何种类运动的参照系。”换句话说，这些定律必须对所有观测者（所有参照系）保持相同的形式，而这意味着它们必须用张量形式来表述。 ↩
Albert Einstein, Ideas and Opinions（1954; New York: Three Rivers Press, 1982）, 309。 ↩
任何坐标变换都可以吗？ 有许多令人困惑之处是爱因斯坦不得不设法理清的。例如，那些不改变点的位置的变换，比如从笛卡儿坐标到极坐标，该怎么看？爱因斯坦意识到了这个问题，这正是他为广义协变性的想法而苦苦挣扎的原因，我们将会看到。见 John D. Norton, “General Covariance and the Foundations of General Relativity: Eight Decades of Dispute,” Reports on Progress in Physics 56 (1993): 791–858, esp. 833–34。此外，在流形上，这些变换是针对点求出的，而不是针对整个空间。关于这一微妙之处的分析，见 Norton, “General Covariance,” 804；以及 John Earman and Clark Glymour, “Lost in the Tensors: Einstein’s Struggle with Covariance Principles 1912–1916,” Studies in History and Philosophy of Science 9 (1978): 4, 251–78, esp. 254。 ↩
Einstein, Ideas and Opinions, 288。 ↩
我用了“极小化”一词，但严格来说我的意思是把这个积分“取极值”，因为路径在类时测地线（time-like geodesic）上是最长的（由于时间膨胀，而不是空间收缩）；不过这里我们无需为此操心。 ↩
“燃起来了”：爱因斯坦的回忆，转引自 Straumann, “Einstein’s ‘Zürich Notebook,’” 490。 ↩
F^μν 是张量吗：是的，因为（参见第 11 章）它这样变换： \(F^{\mu'v'}=A_{\sigma}^{\mu'}A_{\lambda}^{v'}F^{\sigma\lambda},\) 其中在闵可夫斯基时空中，变换矩阵 A 表示洛伦兹变换（LT）。但在洛伦兹变换下，由于时间与空间坐标交织在一起，那些分量是空间和时间的函数的向量（例如速度，或电场向量与磁场向量），其变换并不像我们在第 11 章看到的那么简单。 ↩
不同作者偏爱其中一个名字，不过公道还是有的，因为在微分几何中有一个对偶张量，如方框中那样用星号表示，所以两个名字都用得上。 ↩
这种对称性在物理上由考虑物质的一个元素来保证，在数学上则由考虑降指标时的情形来保证：\(g_{\mu\nu}T_{\sigma}^{\mu}=T_{v\sigma}\)，而 \(g_{\mu\nu}T_{\sigma}^{\mu}=T_{\sigma v}\)。但这两个方程的左端相同，因为 g_μν = g_νμ，这意味着 T_νσ = T_σν。 ↩
局域定律：爱因斯坦的质能守恒定律是 T ^μν_;ν = 0，但这是一条局域守恒定律。整体引力能量守恒的概念至今仍格外棘手，而即便是引力场能量密度这样的局域概念，也难以在物理上定义。这是因为 T ^μν_;ν = 0 是一个数学类比；我们将在下一章看到更多。在地球上，“局域”区域必须小到测不出表面的曲率——否则引力的平方反比定律表明引力处处不同，我在图 12.1 中使用的伽利略常量重力加速度 32 英尺/秒/秒就不再适用。在太阳系中，“局域”区域可以很大，只要来自太阳和行星的引力场大致恒定。在更远的地方，“局域”可以覆盖广袤的区域——也许是两颗恒星之间距离的一半。（这些估计我要归功于伯特兰·罗素精彩的 The ABC of Relativity，初版于 1925 年，节录于 The World Treasury of Physics and Mathematics, ed. Timothy Ferris [Boston: Little, Brown, 1991], 194–202。）关于爱因斯坦在能量守恒与协变性上的挣扎的详细讨论，见 Straumann, “Einstein’s ‘Zürich Notebook’”；Earman and Glymour, “Lost in the Tensors”；以及 Galina Weinstein, “Why Did Einstein Reject the November Tensor in 1912–1913, Only to Come Back to It in November 1915?,” Studies in History and Philosophy of Modern Physics 62 (2018): 98–122。“十一月张量”就是里奇张量。关于爱因斯坦试图解释《纲要》（Entwurf）缺乏广义协变性、以及这一问题直至今日的哲学意义的详细讨论，见 John D. Norton, “The Hole Argument,” Stanford Encyclopedia of Philosophy, online, updated 2019；https://plato.stanford.edu/entries/spacetime-holearg/。 ↩
格罗斯曼谈张量带来的麻烦：转引自 Earman and Glymour, “Lost in the Tensors,” 258–59。爱因斯坦的“沉重心情”：转引自 Straumann, “Einstein’s ‘Zürich Notebook,’” 489。 ↩
爱因斯坦致埃伦费斯特，document 173, in Collected Papers of Albert Einstein, vol. 8, ed. Robert Schulman, A, J. Knox, Michel Janssen, and Jósef Illy；English translation by Ann M. Hentschel（Princeton, NJ: Princeton University Press, 1998）；承蒙该出版社与爱因斯坦文献项目提供在线版本，https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol8-trans/195。爱因斯坦致贝索，转引自 Goodstein, Einstein’s Italian Mathematicians, 105–6。关于爱因斯坦的同事为何否定《纲要》（Entwurf），另见 Earman and Glymour, “Lost in the Tensors,” 264ff.。 ↩
转引自 Earman and Glymour, “Lost in the Tensors,” 260。 ↩
斯特恩转引自 Hanoch Gutfreund, “Otto Stern—with Einstein in Prague and in Zürich,” Springer Link, June 20, 2021, open access, https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-63963-1_6?error=cookies_not_supported&code=bb7fb68a-a41c-4c71-ace0-33a64d5f7756。 ↩
米列娃的伤心信：转引自 Roger Highfield and Paul Carter, The Private Lives of Albert Einstein（London: Faber and Faber, 1993）, 128。爱因斯坦对米列娃尖刻的要求，在 1914 年 7 月的信件中有令人痛心的罗列，例如 document 22, Collected Papers of Albert Einstein, vol. 8, https://einstein papers.press.princeton.edu/vol8-trans/60。 ↩
告文明世界书：Constance Reid, Hilbert（Berlin: Springer-Verlag, 1970）, 137–38。 ↩
爱因斯坦致列维-奇维塔，document 60, Collected Papers of Albert Einstein, vol. 8, https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol8-trans/99。 ↩
David E. Rowe, “Einstein Meets Hilbert: At the Crossroads of Physics and Mathematics,” Physics in Perspective 3 (2001): 379–424, esp. 393–96。 ↩
正如我们在第 11 章看到的，齐次坐标变换使诸如 a ∙ b = 0 这样的方程保持不变。同样地，爱因斯坦在他 1916 年的综述中说（The Foundation of the General Theory of Relativity, 1916，英译见 H. A. Lorentz et al., The Principle of Relativity [New York: Dover, 1952], 121）：“如果一条自然定律是把一个张量的全部分量都等于零来表达的，那么它就是广义协变的。”相关讨论见 Norton, “General Covariance,” 833–34。Norton 指出（834），度规的协变性比张量分析的通常变换更具限制性。 ↩
爱因斯坦 1915 年 11 月写给家人的信见 Collected Papers of Albert Einstein, vol. 8（周围都是写给希尔伯特的信！），例如 documents 142–43, https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol8-trans/174, document 150, https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol8-trans/177。1915 年 11 月 5 日，马里奇表示她本人愿意让爱因斯坦多见见他们的孩子们，document 135, https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol8-trans/169。爱因斯坦始终未能与小儿子爱德华建立良好的关系，爱德华才华横溢却极为敏感，后来患上精神分裂症。爱因斯坦负担了他的照料费用，但情感上的重担落在马里奇身上。 ↩
爱因斯坦致友人埃伦费斯特，转引自 Banesh Hoffmann, Einstein（Frogmore: Paladin, 1975）, 125；爱因斯坦致希尔伯特，1915 年 11 月 18 日，Collected Papers of Albert Einstein, vol. 8, document 148, https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol8-trans/176；爱因斯坦致贝索，1915 年 11 月 17 日，in Collected Papers of Albert Einstein, vol. 8, document 147, https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol8-trans/176。注意，爱因斯坦此时还没有完整的场方程，但他已经有了正确的真空方程，而那正是他计算水星测地线路径所需要的；结果与牛顿椭圆有偏离，这给了他近日点运动的差异。推导见广义相对论教材，如 Ray d’Inverno, Introducing Einstein’s Relativity（Oxford: Clarendon Press, 1992）, 195–98（其中 198 页比较了近日点进动的观测值与用广义相对论算出的值）。 ↩
11 月 20 日论文中没有显式方程：Leo Corry 及其同事 Jürgen Renn（Max Planck Institute for the History of Science）和 John Stachel（Center for Einstein Studies, Boston University）在 “Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute,” Science 278 (1997): 1270–73 中比对了校样与发表的版本。更多文献列在下面。希尔伯特 11 月 20 日校样并非广义协变：见，例如，Vladimir P. Vizgin, “On the Discovery of the Gravitational Field Equations by Einstein and Hilbert: New Materials,” Physics-Uspekhi 44, no. 12 (2001): 1289；Gutfreund and Renn, Road to Relativity, 33；Jürgen Renn and John Stachel, “Hilbert’s Foundation of Physics: From a Theory of Everything to a Constituent of General Relativity,” in The Genesis of General Relativity, ed. Jürgen Renn（Dordrecht: Springer, 2007）, 4:858–59。 ↩
沿袭米的做法，希尔伯特采用了一条与爱因斯坦截然不同的路径——一种优雅的拉格朗日（变分）方法。但爱因斯坦此前也已尝试过这种方法，见他 1914 年的论文，希尔伯特读过该文。爱因斯坦在他 1916 年的综述论文中也列入了他用于讨论守恒律的变分方法，用的是哈密顿量而非拉格朗日量。关于这两种方法的讨论见 Rowe, “Einstein Meets Hilbert,” 414–15。 ↩
爱因斯坦与希尔伯特的优先权之争，以及两人不同的路径：Tilman Sauer, “Einstein Equations and Hilbert Action: What Is Missing on Page 8 of the Proofs for Hilbert’s First Communication on the Foundations of Physics?,” Archives for History of Exact Sciences 59 (2005): 577–90。Vizgin, “On the Discovery of the Gravitational Field Equations,” 1283–98。Leo Corry, Jürgen Renn, and John Stachel, “Belated Decision,” 1270–73。F. Winterberg, “On ‘Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute,’ Published by L. Corry, J. Renn and J. Stachel,” Z. Naturforsch 59a (2004): 715–19。John Earman and Clark Glymour, “Einstein and Hilbert: Two Months in the History of General Relativity,” Archives for History of Exact Sciences 19 (1978): 291–308。Renn and Stachel, “Hilbert’s Foundation of Physics,” 4:857–973（关于爱因斯坦对自己推导的说明，见，例如，他写给索末菲（document 153）和埃伦费斯特（document 185）的信，in Collected Papers of Albert Einstein, vol. 8）。David E. Rowe, “Einstein Meets Hilbert,” 379–424。Ivan T. Todorov, “Einstein and Hilbert: The Creation of General Relativity,” 预印本线上见 arXiv:physics/0504179v1, April 25, 2005。Galina Weinstein, “Did Einstein ‘Nostrify’ Hilbert’s Final Form of the Field Equations?,” 线上见 Physics ArXiv:1412.1816, December 11, 2014。还有更多！注意，网上关于优先权问题有大量错误信息。例如，V. A. Petrov（“Einstein, Hilbert and Equations of Gravitation,” 博客，https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0507136.pdf）声称，爱因斯坦不可能在他说过的那个时间点导出正确的水星近日点进动，因为他当时还没有最终的方程；他暗示爱因斯坦必定看过希尔伯特的工作（关于迹项），但近日点方程只需要真空解，那里没有迹项；Petrov 还暗示希尔伯特导出了比安基恒等式，而这掩盖了一个事实：希尔伯特并未充分理解这些恒等式在能量守恒中所起的作用（我将在下一章讨论）。Petrov 引用了 Winterberg（上文），后者又引用了 C. J. Bjerknes（Petrov 也引用了此人），但 Bjerknes 并不是一位可信的学者：见，例如，John Stachel, “Anti-Einstein Sentiment Surfaces Again,” Physics World 16, no. 4 (2003): 40。 ↩
Rowe 在 “Einstein Meets Hilbert,” 408 中对此有很好的讨论；他确实指出（418），希尔伯特本应更改发表论文的投稿日期，尽管这在当时是标准做法。我要补充的是，今天的论文发表时会同时标注原始投稿日期和修订日期。 ↩
Renn and Stachel, “Hilbert’s Foundation of Physics” 详细展示了希尔伯特在读过爱因斯坦的论文后对自己已发表的论文作了哪些修改，并指出他起初曾试图把爱因斯坦的一些关键贡献说成是自己的（见，例如，920–21）。 ↩
希尔伯特转引自 Reid, Hilbert, 142。爱因斯坦那封令人唏嘘的和解信见，例如，Vizgin, “On the Discovery of the Gravitational Field Equations,” 1289。 ↩
我们前面看到，在闵可夫斯基时空中，标量积（从而散度之和）对 t 分量有一个符号变化。但这里的要点在于，这些都是定义，所以只消盯住散度各项中指标的模式。 ↩
这是因为在一点上总可以找到一个局域惯性（“自由下落”）参照系，在其中狭义相对论成立（且协变导数中用到的埃尔温·克里斯托费尔符号为零）。按照张量分析的规则，张量方程的形式在任何参照系中都是不变的——只要你用（无挠的）协变导数而不是偏导数，以顾及时空的曲率。这条规则还假定我们把平直的闵可夫斯基度规换成了一般的弯曲度规。 ↩
不过，在“非相对论”单位下，k = 8πG/c⁴，其中 G 是牛顿引力定律中的比例常数；这凸显了一个事实：爱因斯坦是通过与牛顿理论类比而导出他的方程的，并确保了它们在地球这样的弱引力场中退化为牛顿理论。 ↩
这两个方程等价，因为对爱因斯坦原来的方程缩并指标，并注意到 \(g_{\mu}^{\mu}=4\)（由 g_μν 与 g^μν 互为逆矩阵的定义，正如我们在第 11 章所见），你会发现 \(R_{\mu}^{\mu}=-kT_{\mu}^{\mu}\equiv R=-kT.\)（注意，爱因斯坦在原来的方程中系数其实是 −k，但既然这是常数，我就把负号吸收进我对 k 的定义之中，以符合今天通常的写法。另外，爱因斯坦在最终方程里把左端（里奇张量）用埃尔温·克里斯托费尔符号完整写了出来，但他此前已把这个表达式定义为 Rμν。） ↩
爱因斯坦早先的方程 Rμν = kTμν 与这两个最终形式之间的差别，关键在于标量 T 或希尔伯特等价的标量 R。（这些标量称为“迹”。）究竟是爱因斯坦还是希尔伯特先认识到这一点，正是“优先权之争”的核心，因为它在希尔伯特 11 月 20 日的拉格朗日表述中只是隐含的。由于爱因斯坦与希尔伯特交换过论文，他们肯定相互影响过，但很可能各自独立地迈出了这最后一步，因为他们走的是不同的路。今天，希尔伯特的方法被广泛使用，与拉格朗日量相关的所谓爱因斯坦–希尔伯特作用量就是为了纪念他。 ↩
近期对爱因斯坦理论的检验：见，例如，Pierre Touboul et al., “MICROSCOPE Mission: Final Results of the Test of the Equivalence Principle,” Physical Review Letters 129, no. 21102（September 14, 2022）；Ignazio Ciufolini et al., “An Improved Test of the General Relativistic Effect of Frame-Dragging Using the LARES and LAGEOS Satellites,” European Physical Journal C 79, article no. 872 (2019)；Gemma Conroy, “Albert Einstein Was Right (Again): Astronomers Have Detected Light from Behind a Supermassive Black Hole,” ABC News, July 29, 2021, https://www.abc.net.au/news/science/2021-07-29/albert-einstein-astronomers-detect-light-behind-black-hole/100333436；Geraint Lewis, “Astronomers See Ancient Galaxies Flickering in Slow Motion Due to Expanding Space”（检验爱因斯坦关于时间变慢的预言）, The Conversation, July 4, 2023；Jet Propulsion Laboratory blog（August 24, 2022）, “NASA Scientists Help Probe Dark Energy by Testing Gravity”——他们发现爱因斯坦的方程依然站得住。（波恩大学的 Pavel Kroupa 不以为然，见 “Dark Matter Doesn’t Exist,” IAE News, July 12, 2022。但一项新研究用广义相对论对引力透镜的预言来绘制暗物质图：Robert Lea, “New Dark Matter Map Created with ‘Cosmic Fossil’ Shows Einstein Was Right (Again),” Space [April 18, 2023]。）关于黑洞的进动：Brandon Specktor, “One of the Most Extreme Black Hole Collisions in the Universe Just Proved Einstein Right,” LiveScience, October 13, 2022。关于参考系拖曳：见，例如，Charles Q. Choi, “Spacetime Is Swirling around a Dead Star, Proving Einstein Right Again,” Space.com, January 31, 2020。还有很多很多！关于日食考察（以及光在黑洞附近弯曲）的通俗概述，见我的文章 “A ‘Revolution in Science’ 100 Years Later,” Cosmos Magazine 83 (2019): 29–35。注意，早先用牛顿理论预言光线弯曲的是 Johann Soldner，他得到的结果只有广义相对论的一半。还要注意，1980 年曾出现对考察队领队有偏见的指控，但这些指控已被推翻，1919 年的结果得到了确认。关于引力磁性的简短概述，见我的文章 “The Amazing Concept of Gravito-electromagnetism,” Cosmos Magazine 84（September 2019）: 61–63。删节版见 https://cosmosmagazine.com/science/introducing-the-amazing-concept-of-gravito-electromagnetism/。我自己的研究针对的是正文中提到的第二个类比。见，例如，C. B. G. McIntosh, R. Arianrhod, S. T. Wade, and C. Hoenselaers, “Electric and Magnetic Weyl Tensors: Classification and Analysis,” Classical and Quantum Gravity 11 (1994): 1555–64；以及 R. Arianrhod, A. W-C. Lun, C. B. G. McIntosh, and Z. Perjés, “Magnetic Curvatures,” Classical and Quantum Gravity 11 (1994): 2331–35。在某些应用中，特别是暗能量，会在方程中加上爱因斯坦的引力常数。 ↩
Einstein, Ideas and Opinions, 289–90。 ↩
爱因斯坦那页封面在英译本中缺失，但最近被 Alicia Dickenstein 找到，她在 “About the Cover: A Hidden Praise of Mathematics,” Bulletin of the American Mathematical Society, n.s., 46, no. 1（January 2009）: 125–29 中给出了爱因斯坦完整的致谢。 ↩
列维-奇维塔转引自 Goodstein, Einstein’s Italian Mathematicians, 151, 155。 ↩

第 12 章 万物汇聚¶

最幸福的思想：爱因斯坦在发现张量之前对引力的思考¶

爱因斯坦为什么需要帮助¶

爱因斯坦与格罗斯曼拿起张量微积分¶

Entwurf：通往广义相对论的路上¶

图利奥·列维-奇维塔与大卫·希尔伯特登场¶

爱因斯坦的广义相对论，终于¶

第 12 章　万物汇聚¶