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第 1 章　代数的解放

每年 10 月 16 日，有心于数学的都柏林人会结伴步行，从邓辛克天文台（Dunsink Observatory）穿过田野，一路下行到皇家运河。运河上有许多座桥，但他们要去的只是其中的一座：布鲁姆桥（Broome Bridge）。他们在庆祝“哈密顿日”——说的是威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton），爱尔兰最伟大的数学家——并且重演数学史上最著名的散步之一。他们纪念的是 1843 年 10 月 16 日那一天，当时哈密顿——爱尔兰的皇家天文学家——正走在路上，要去主持皇家爱尔兰学院（Royal Irish Academy）的一次会议。

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哈密顿的妻子海伦陪他一同散步，可尽管周遭景色宜人，尽管他本人也深受浪漫主义吸引，这却不是这个词任何传统意义上的一次浪漫散步：他心里装着太多别的事。多年来他一直与一个看似无从下手的问题角力，而那个问题就是不肯放过他：如何在三维空间中以代数的方式表示旋转之类的几何操作——就是操纵机器人、生成逼真的计算机图像、或者控制航天器所需要的那种旋转；不过哈密顿当时并没有在想这些高科技的可能性。他感兴趣的仅仅是求解三维旋转这个数学问题，所以他要做的仍是去发明那种最终会让这些应用成为可能的数学。然后，就在他经过布鲁姆桥的时候，答案击中了他。要做三维旋转，只能用四维数学。¹

这个洞见已经足够引人入胜，但还有更精彩的。为了让他的四维数学行得通，哈密顿不得不改变乘法的基本规则。你再也不能理所当然地假定交换律 a × b = b × a 了——而这条定律在你做普通数字的乘法时是那样显而易见。你也许还记得为向量乘法的“右手定则”头疼过，不过我们要到第 4 章才正式认识它，因为它给出了一个巧妙的办法，用以说明向量积是不可交换的。然而，中小学和大学里的向量分析都是事后之明。回到 1843 年，打破所谓的交换律是惊人地大胆的，甚至是僭越的：究竟在哪个宇宙里，说 2 × 3 的某个类似物不等于 3 × 2 会是有意义的呢？也许是在刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）的仙境里，在那里疯帽匠告诉爱丽丝，“说出你心里想的”与“心里想着你说出口的”并不是一回事，因为“你完全可以说‘我看见我吃的东西’跟‘我吃我看见的东西’是一回事！”² 但在数学家们几千年来一直栖居其中的那个直觉心智世界里，它当然说不通。哈密顿激动万分，他掏出小刀，当场就在石桥上刻下了他那神奇的公式。

这段传奇的数学涂鸦所在的地点，就是如今哈密顿日那些步行者的目的地。原来的刻痕早已被风雨销蚀，但我们从哈密顿的书信中知道它确实存在过——而且在过去半个世纪里，有一块铭牌标示着他获得灵感的那处地点；他后来回忆说，那灵感降临的感觉，就像电路接通、火花迸发。2019 年，桥边人行道上的一件纪念性艺术作品正是建立在这个电的比喻之上，用电光照亮了那段著名涂鸦的内容：

i² = j² = k² = ijk = −1.

要是哈密顿能亲眼看到该多好！³

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你大概已经看出，哈密顿公式里的 i、j 和 k 是“虚”数，因为任何“实”数的平方都不可能等于一个负数。（对一个实数取平方时，你总是在把两个同号的数相乘，所以得到的平方总是正的。这意味着，如果你得到的是一个负的平方——比如 i² = −1——那么这样的数 i 就不是实数；更确切地说，它是一个所谓的虚数。）

我后面会探讨哈密顿那组方程的含义，但此刻我想强调的是，为什么世界各地的朝圣者至今仍络绎不绝地造访布鲁姆桥。这行看似简单的方程里，藏着一种新型四维构造的钥匙；它开启了一整套崭新的数学语言，而这套语言如今已在各种各样的领域中变得不可或缺。哈密顿给他的四维造物起了个名字，叫“四元数（quaternion）”；它们包含两个部分：一个一维的实数，他称之为“标量（scalar）”；以及一个具有模与方向的三维（三个分量的）量，他称之为“向量（vector）”。如果你熟悉现代的向量，那么出于实用目的，你完全可以把哈密顿的向量就当成同样的东西。（我们后面会看到二者之间微妙的概念差异。它将在我们的故事里扮演一个有争议的角色。）

在那次传奇散步二十年后，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）创立了他的电磁学向量场理论。而更为复杂的四元数，则要再等将近 150 年，才找到我前面开始列举的那些现实应用——机器人学、计算机生成图像（CGI）、分子动力学、我们手机屏幕的旋转、航天器控制，以及其他许许多多。就拿登月的尼尔·阿姆斯特朗（Neil Armstrong）来说，他就很清楚四元数如今在飞机与航天器导航中所扮演的角色。他既是宇航员，也是航空工程师；在生命行将走到尽头时，他借一次访问都柏林的机会，向哈密顿表达了自己个人的敬意。⁴

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在我们仔细考察哈密顿是如何完成他的追寻——以及用四元数和向量能做什么——之前，我想先告诉你，他何以能够设想出虚数和高维数学这样的东西。在序言里，我对从三维到四维乃至更多维的转变只是一带而过，但这种思想上的过渡远非直截了当。这是因为几千年来，本质上只存在过两种数学：算术与几何。算术处理的是对具体数量的计数，比如钱、重量和距离——而几何同样是以一种可触可感的方式被想象的，借助的是你可以在二维纸面上画出、或在三维空间中表示出来的点、线、面和形状。如果我们想为我们凭借对物理实在的日常经验就能轻易想象的那类事物建立物理模型，三维就是我们能走到的极限。

那么，哈密顿的四维数学又当如何呢？你怎么去做这样的数学——它又怎么能表示像“一个物体在普通空间中旋转”这么具体的东西？这话说起来可就长了，因为数学家学会抽象地思考——学会把想象力从有形之物中解放出来——花了非常长的时间。而要做到这一点，他们首先得学会符号化地思考——从具体的算术与几何，走进抽象的代数符号的世界。所以，如果你曾经被代数折磨过，那就振作起来吧：这段漫长的历史表明，一代又一代的著名数学家也都曾如此。

学会符号化地思考

自从将近四千年前开始有记载以来，代数就一直是数学的一部分，但它并非一直采用我们今天所学的那种符号形式。事实上，在那四千年中的大部分时间里，它是完全用文字和数字书写的——尽管像欧几里得（Euclid）那部著名的、成书于公元前 300 年的教科书《几何原本》（Elements）这样的著作也包含几何图形，用来帮助证明毕达哥拉斯定理之类的事情，并展示如何展开我们今天写作 (a + b)² 的那种平方。所以，“代数”是借助笨拙的文字题、或者越来越复杂的图形来传达的——不过几何确实有它的长处。比如说，它是证明毕达哥拉斯定理最容易的办法。在图 1.1 中，我给出了这样一个证明的代数改写；而古人只是重新排布图形，直观地显示出阴影部分的面积等于三角形两条邻边上正方形面积之和——相当聪明的做法！⁵

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代数从算术与几何中脱颖而出、成为一门独立学科，花了很长时间。它甚至直到中世纪才有了自己的名字，而这要归功于九世纪的波斯数学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米（Mohammed ibn-Mūsā al-Khwārizmī）。（阿拉伯语的前缀 al- 并不是花拉子米这个波斯名字的一部分，但由于他在巴格达工作，al-Khwārizmī 成了他为人所知的名字。）他求学于哈里发麦蒙（Caliph al-Ma'mūn）在巴格达创办的那所开创性的大学，即“智慧宫（House of Wisdom）”；当时伟大的阿拉伯翻译运动正处于鼎盛时期：希腊、印度以及其他古代的手稿正从迅速扩张的伊斯兰帝国各个角落被收集起来，翻译成阿拉伯语。帝国主义很少是合乎道义的，而且常常伴随着暴力，但它最终可能导致文化上的杂交共生；而在这个例子里，那场富有远见的翻译运动如此重要，以至于到了十二世纪，欧洲人开始学习阿拉伯语，以便把这些手稿译成拉丁语——其中包括托勒密的《天文学大成》（Almagest）和欧几里得的《几何原本》，以及像花拉子米著作那样的新的阿拉伯语作品。“代数”这个名称，众所周知来自他那本书《Al-Jabr wa’l muqābalah》标题中的第一个词——这个标题的意思大致是“一部关于用补全与配平来计算的简明之书”。⁶

图 1.1　图 1.1　证明毕达哥拉斯定理。所需的直角三角形复制四份，拼成大正方形的四个角。三角形的斜边为 c，因此你从大正方形（其边长为 a + b）的面积中减去四个三角形的总面积（即 4 倍的 \(\frac{ab}{2}\)），就得到阴影正方形的面积 c²：\(c^{2}=\left(a+b\right)^{2}-\frac{4ab}{2}=a^{2}+b^{2}\)

从花拉子米收入书中的那些问题来判断，他所谓“补全”的一个例子就是“配方（completing the square）”，也就是你可能在学校里学过的解二次方程的方法。这类方程在哈密顿虚数的故事中占有一席之地。例如，考虑 x² + 1 = 0。今天的学生可以立刻写出解答：x = ±i，其中 i 代表“虚”数 \(\sqrt{-1}\)。⁷ 法国人勒内·笛卡尔（René Descartes）在十七世纪把“虚的”这个说法引入了数学。他指出，“对我们所能设想的任何方程”都有可能找到解，然而，“在许多情形下，并不存在与人们所设想者相对应的量”。换句话说，他的意思是，你可以“设想”带有负数平方根的解，但它们并不真的存在——至少，不是传统意义上的数。⁸

既然笛卡尔都认为这样的数并不存在，那么在八百年前的花拉子米时代，−1 的平方根被视为“不可能”、而引出它的那些方程被判定为不可解，也就不足为奇了。所以，像大多数古人一样，花拉子米只关注具有正解的二次方程，因为就连负数似乎也没有什么实际意义。（七世纪的印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）远远走在他那个时代的前面，因为正解与负解他都考虑到了。）

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花拉子米也没有用我们今天使用的符号形式来书写方程。事实上，在现代人眼里，他的书与其说是代数的，不如说是算术的；而它在欧洲被译成拉丁语之后产生的重要影响之一，是推广了印度-阿拉伯的十进制记数法，这套记数法最终演变成了我们现代的那套。然而花拉子米常被称作“代数之父”。他用的也许是词语而非符号，他收入的那些问题也许很简单——他告诉我们，他的目的是教学生如何求解“在继承、遗赠、分割、诉讼与贸易的种种情形中，在他们彼此之间的各种往来中，或者在涉及丈量土地、开挖沟渠、几何计算以及其他各色各样的事务时”出现的基本问题。但他系统地列出了文字形式的一次与二次方程，并给出求解它们的算法方法——也就是求出那些“未知的数”，即我们现代的 x 和 y。事实上，英语单词“算法（algorithm）”——意为进行某项计算或其他运算的一套规则——就来自“algorismi”，这是对花拉子米之名的一次早期拉丁化的尝试。⁹

“代数之父”这样的称号让我想问一句：那么有没有一位“母亲”呢？花拉子米并非凭空出现——就连牛顿、麦克斯韦或爱因斯坦也不是。花拉子米的大多数前辈都已湮没在历史之中，但也许在这一脉络的某个环节上有女性参与。就目前所知，神秘的希帕提娅（Hypatia）也许是我们最接近一位已知“母亲”的人选，尽管她的原创性究竟有多大并不为人所知，因为她的著作只留下了片断。不过那个时代的书信表明，她确实为“代数之父”称号的另一位竞争者写过博学的注释，那就是三世纪讲希腊语的亚历山大港人丢番图（Diophantus）；他在发展符号的过程中迈出了重要的一步——在列代数文字题时使用了词语的缩写。

当然，在现代，我们也有过一些出色的女性代数学家，包括西澳大学的荣休教授谢丽尔·普雷格（Cheryl Praeger），她是当代许多年轻女性的数学榜样。把时间再往前挪一点，还有开创性的埃米·诺特（Emmy Noether），爱因斯坦的一位同事。她被称作“现代代数之母”，因为她关于现代代数概念的工作，远远超出了我在这里所谈的那种中学水平的代数。再往前半个世纪——姑且只再举一位女性数学先驱——1872 年，玛丽·萨默维尔（Mary Somerville）在去世前一天还在研读哈密顿的四元数，享年将近九十二岁。她曾是数学天文学最新进展方面的著名专家，同时代的人称她为“科学女王”。近世以来她再度享有盛名，其中包括——经由公众投票、且击败了同为苏格兰人的麦克斯韦而获此殊荣——成为苏格兰皇家银行（Royal Bank of Scotland）2017 年发行的聚合物十英镑纸币上的头像。

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至于更遥远的过去，我最中意的“代数之父”是那位谜一般的伊丽莎白时代数学家托马斯·哈里奥特（Thomas Harriot）。我可不是孤例：在 1883 年写给阿瑟·凯莱（Arthur Cayley，哈密顿四元数的一位早期仰慕者）的一封信中，英国代数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）称哈里奥特为“当代代数之父”。哈里奥特同样受惠于更早的数学家，但他身后出版的《Artis Analyticae Praxis》（《实用分析术》）是第一本方程完全用符号书写的代数教科书，所用的符号基本上就是现代的符号。它出版于 1631 年，比花拉子米晚了大约八个世纪，比丢番图晚了十四个世纪。这正说明，数学家学会符号化地思考用了多么长的时间。

哈里奥特本人没有发表过他的任何数学与实验工作：他的第一位赞助人是有趣而颇具争议的沃尔特·雷利爵士（Sir Walter Ralegh），而他忙于远航公海、躲避那些追捕异端的人，并且——首要的是——发展新的数学应用，以助雷利的航海事业一臂之力。（在伊丽莎白时代，拼写尚未固定下来，而那座以沃尔特爵士命名的美国小镇拼写为 Raleigh。爵士本人也用过这种拼法，但他最常用的是 Ralegh，所以今天的许多学者偏好这一种拼法。）

尽管哈里奥特始终没能抽出时间发表他的发现，他却留下了数千页手写的计算与观测——那是他在大量收集来的数据与方程中搜寻隐藏的模式与一般性时，思想逐步推进的痕迹。而这，确实正是代数的一个要点：模式与一般性。符号方程的美妙之处在于，当你一眼就能看清一个问题时，看出这些普遍模式就容易得多了。比较一下这个：

取未知数的平方，然后把未知数与它自身相加，再从平方中减去这个和；现在令所得的总数等于八。

和这个：

x² – 2x = 8.

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还不止于此：最早的数学家是每个方程分别求解的，但如果你能看出，凡是对方程 x² – 2x = 8 有效的方法，对任何同形的方程 x² – ax = b 也都有效，那就容易多了。古代数学家最终确实开始认识到这一点，但进展相对缓慢，因为他们必须把所有这些模式记在脑子里，或者写在冗长而绕口的句子里，一不小心就会跟丢。

最早以清晰可辨的现代符号形式发表任何方程的，是 1631 年哈里奥特的遗嘱执行人，然后是 1637 年笛卡尔在其《谈谈方法》（Discourse on Method）附录中的工作。¹⁰（此前也有过几次尝试，但那些符号——更恰当的说法是缩写——都生硬乖僻、各随己意。）¹¹ 就连我们视为理所当然的 +、−、= 和 × 这些记号，也是到十七世纪才广泛使用的。这意味着，我们所知道的那些较早的代数学家——古代的美索不达米亚人、埃及人、中国人和希腊人，中世纪的印度人、波斯人和阿拉伯人，以及近代早期的欧洲人——都主要是用词语、或者图形化的词语意象来表达他们的方程。

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正如这段漫长历史所示，符号化地思考是一项非凡的技能。就拿我上面给出的那道文字题来说：它是算法式思维的一个例子。但符号化思维不止是算法式的，还要更多——因为它的符号有时会包含一种新创造力的种子，一种影响深远而又极其经济的新型思想。

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一个经典的例子是阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）的 E = mc²。爱因斯坦着手研究时，并不是要寻找能量与物质之间的联系。确切地说，他只是想按照自己新的相对论，计算一个运动电子的动能，以便他的理论预言能够接受实验检验。然而几个月之后，二十六岁的爱因斯坦开始意识到他那方程的意义。他把这一结果写成了 1905 年的第五篇开创性论文——那一年正是他的“奇迹年（annus mirabilis）”，但他又花了两年时间，才梳理出这一符号关系全部的、戏剧性的意涵。他认识到，这并不仅仅是一次关于某种特定形式的能量和某种特定类型的物质的计算，它是普遍的：如果一个物体获得（或失去）能量，它也就获得（或失去）质量。这个怪异的想法与我们全部的常识经验格格不入——可它就在那里，藏在他方程的符号之中。实验物理学家花了几十年时间，才用实验证实了这一惊人的数学预言。¹²

一个更简单也更早的例子是幂的序列 x、x²、x³，如此等等。第一个“幂”是 1，所以 x 其实就是 x¹，而那个 1 传统上与一条一维的线在几何上相连。接下来的两个，x² 和 x³，类比于正方形的面积和立方体的体积，被读作“x 平方”和“x 立方”。这些名字凸显出早期数学家是以几何方式而非代数方式思考的，那是因为几何具有有形的性质。相比之下，符号代数是抽象的：你必须赋予它意义，哪怕那意义只是展示一个有趣的模式，比如 x、x²、x³、x⁴……但这种灵活性正是代数的巨大长处。你可以随心写下任意多（有限的）更高次幂，而不必把它们想象成物理对象。

这在今天听起来也许显而易见，但数学家从解二次方程——“二次的”一词源自拉丁语中表示“正方形”的那个词，所以二次方程就是最高次幂为 x² 的方程（用古人的说法，即未知数与它自身相乘）——走到解“三次”及更高次方程，花了三千五百年。这些更高次的方程当然困难得多；但解答之所以迟迟不来，部分原因正是代数在如此漫长的岁月里一直被绑在词语和具体图像上。

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比如，我提到过花拉子米为解二次方程而用的“配方”。它其实是一个有四千年历史的问题，（就历史记载所及）可以上溯到与花拉子米一样生活在今伊拉克一带的数学家所制作的楔形泥板。这些古代的美索不达米亚人是靠实实在在地补全一个正方形来解二次方程的。这里有一道当时的典型教学题：“把我的边长的 20 倍加到我正方形的面积上，[得到] 21。我的正方形有多方？”¹³ 这类问题、以及求解它的算法，与今天所教的相似——只不过在四千年前，这套方法是完全用几何方式推演出来的。首先，画一个边长为任意长 x 的正方形（用现代记号）；然后给它加上一个尺寸为 20 × x 的长方形。接着把这个外加的长方形分成两个相等的小长方形，把它们摆在原正方形的旁边和下方。最后，补全这个新的、更大的正方形，如图 1.2 所示。

图 1.2　图 1.2　用现代代数符号表示，这道古代题目就是方程 x² + 20x = 21 的文字形式。与它古代的几何对应物一样，配方的代数算法需要记住这样一步：在两边同时加上“（x 的系数的一半）的平方”，于是方程变成 (x + 10)² = 121。这样，所求的原正方形边长就是 \(x=\sqrt{121}-10=1\)。

美索不达米亚人发展这套方法时，心里装的是实际问题——至少起初是这样。他们生活在一个水极为宝贵的地方，他们的泥板上有许多与沟渠和水库的开挖、蓄水池的容量、堤坝与河堤的修筑，以及与这些任务相关的行政账目有关的问题——而要解答这些问题，这些古代数学家就必须求解与面积和体积有关的方程。¹⁴ 差不多三千年之后，花拉子米关注的也是类似的实际问题，他用的也是类似的几何配方方法——而且其他数学家一直到十七世纪都还在这么做。

伊斯兰数学家沙拉夫丁·图西（Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī）是最早在寻找三次方程解法上取得进展的人之一，那大约是公元 1200 年；但第一位发表正确的通用三次算法的是意大利数学家吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano），见他 1545 年的著作《Ars Magna》（《大衍术》）。¹⁵ 像他之前的每一个人一样，他仍然是用词语（或词语的缩写）而非符号来书写他的解法的，而且他仍然是用几何方式设计出他的方法——实实在在地补全一个立方体，堪称一次惊人的可视化壮举。

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一场数学决斗、一道恼人的方程与一个虚数

卡尔达诺除了是一位有才华的数学家，还是医生、占星师、赌徒、有几分哲学家气质的人，以及一位神秘主义者——他相信自己的最佳念头来自一位夜间来访的精灵。然而，就三次方程而言，他的灵感来自他的同胞尼科洛·塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia），而不是那位忠实的缥缈顾问。卡尔达诺听说塔尔塔利亚已经破解了这个问题，好奇心大起，便缠着他要他披露方法——他甚至提出利用自己的人脉，把囊中羞涩的塔尔塔利亚介绍给那些有影响力的人，这些人也许会为他在弹道学之类有用课题上的工作付钱。塔尔塔利亚终于松了口，条件是卡尔达诺要对这个方法保密——塔尔塔利亚自然想自己发表它，或者更好的是，把它献给未来某位赞助人。

几年之后，当塔尔塔利亚仍紧守着他的秘密时，卡尔达诺发现希皮奥内·德尔·费罗（Scipione del Ferro）在塔尔塔利亚之前也已经找到了这个解法。于是卡尔达诺觉得自己可以违背诺言、把方法发表出来——他一向盯着出风头的机会。不过他充分承认了这两个人的功劳，而且他超越了他们，解决了范围更广、更一般的方程。即便如此，塔尔塔利亚仍然怒不可遏——他愤怒到向卡尔达诺提出公开决斗，不是用剑，而是用一场解题竞赛。卡尔达诺谨慎地拒绝了：在这些竞争激烈的文艺复兴式公开表演中，声誉（和职位）轻易就能赢得，也轻易就会失去。况且，塔尔塔利亚此前已经对阵过德尔·费罗的学生安东尼奥·菲奥尔（Antonio Fior）——后者知道老师的三次方程解法——而塔尔塔利亚赢了那一场。

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在书中，卡尔达诺用一页巧妙的几何类比解释了他的通用算法，然后给出了具体的示例。下面就是他对求解 x³ = 6x + 40 的方法的说明（这里使用现代记号，我也会用它来让卡尔达诺的算法稍微好懂一些；哪怕你只是粗粗扫过，也请忍耐一下，因为最后一行那个表达式的形式，与虚数和向量的故事有着出人意料的关联）：“把 x 的系数的三分之一即 2 取立方，得 8；从常数的二分之一即 20 的平方 400 中减去它，得 392；把这个数的平方根加到 20 上，得 \(20+\sqrt{392}\)，从 20 中减去，得 \(20-\sqrt{392}\)；而这两者的立方根之和 \(\sqrt[3]{20+\sqrt{392}}+\sqrt[3]{20-\sqrt{392}}\)，就是 x 的值。”呼！你不得不佩服他竟有耐心想出如此曲折的东西。¹⁶

从向量故事的角度——以及从一般意义上数学发展的角度——来看，有趣的事情是：当这样一个解中根号底下的数是负的时，会发生什么。也就是说，当你得到一个像 \(\sqrt{-121}\) 这样的虚数时，会发生什么。

美索不达米亚人之所以忽略二次方程的负数解和虚数解，是因为这些解与他们要解决的那些实际问题毫无关系——田地和沟渠的尺寸不可能是负的，也不可能是虚的。希腊人如此，一路下来到花拉子米和图西也是如此，一直到卡尔达诺被迫与这些“不可能的”数角力为止。他研究方程的数学纯粹是为了它本身，为了其中的智识挑战——而有一件事让他大惑不解：如果他把用于 x³ = 6x + 40 的同一套方法用到 x³ = 15x + 4 上，那么 x 的值就成了

$\(\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}\)$.

卡尔达诺的结论是，这样一个解是“诡辩的”，而且“既精妙又无用”——因为除了那个不受欢迎的 \(\sqrt{-121}\) 之外，他早已知道事实上 x = 4。他之所以知道这一点，是因为他一定是从猜测解入手来理解这个问题的——而这是数学家一直在做的事。当不存在已知的求解算法时，这种做法尤其有用，所以古代代数正是这样起步的。对于卡尔达诺的方程 x³ = 15x + 4，你可以试着取一个简单的可能值，比如 x = 3，来领会这个思路；比较两边你会发现它太小了，于是再试 x = 4。在这个例子中它一试就中，但有时你必须去试中间的值。这仍然是数学家“数值地”求解难题的方式，尽管他们如今有算法（还有计算机）来高效而穷尽地挑选他们的猜测。

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十五年之后，大约在 1560 年，又一位出色的近代早期意大利代数学家拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）重新审视了卡尔达诺的难题。问题是：既然解是 x = 4，那么 \(x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}\) 与它到底有什么关系？经过大量思考，邦贝利突然有了个他称为“一个狂野念头”的想法：要是你能像这样把 \(\sqrt{-121}\) 分解因式：\(\sqrt{121}\times\sqrt{-1}\)，从而得到 \(11\sqrt{-1?}\)，那会怎样？然后，你能不能找到如今所谓的“复”数——实数与虚数的混合——使其立方等于 \(2+11\sqrt{-1}?\) 令人惊奇的是，靠着试错和极大的耐心，他发现 \(2+\sqrt{-1}\) 是 \(\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}\) 的一个解，只要你把 \(\left(2+\sqrt{-1}\right)^{3}\) 乘开就能看出。同样地，他发现 \(2-\sqrt{-1}\) 是 \(\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}\) 的一个解。像卡尔达诺的解那样把这两者相加，你就得到

$\(x=2+\sqrt{-1}+2-\sqrt{-1}\)$,

它看似神奇地给出了 x = 4。谜团解开了！

不过，这只是针对这个特例才解出来的，而且是在邦贝利事先已经知道 x = 4 的情况下——他关于操纵虚数有了一个出色的洞见，但他并没有通用的算法。他也没有用我在这里给出的那种清晰的现代符号形式来书写方程——而且和卡尔达诺一样，他贬低 \(\sqrt{-1}\)，说它是“诡辩的”。但当他的著作《代数》（Algebra）在 1570 年代出版时，他确实把这个奇怪的数更牢靠地放上了数学的雷达。当时他和其他任何人都几乎想不到，它日后会变得多么有用——在哈密顿的四元数与向量中，在工程、计算和量子理论之类的领域中。¹⁷

至于三次方程，最早找到通用的、符号的代数解法的是哈里奥特，时间大约在 1600 年前后——而且他的证明完全不借助几何。约翰·沃利斯（John Wallis）——大概是哈里奥特时代与牛顿时代之间最出色的英国数学家——是为数不多认识到哈里奥特把代数从几何中解放出来这一成就的近世同代人之一；用沃利斯的话说，他“纯粹就代数本身、并从它自身的原理出发来处理代数，不依赖于几何，也不与几何有任何牵连”。¹⁸ 这为我后面要讲的哈密顿提供了一点数学上的背景，因为他也想找到一种办法，把一个几何操作纯粹以代数方式表示出来——在他那里，这个操作不是立方体，而是空间中的旋转；而正是这个问题的解决，将引导他发明出向量。

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用代数来设想几何，不仅拓展了代数，也拓展了几何；我们会看到，在向量与张量浮现的过程中，这两种数学携手并进，彼此影响。但第一步是像哈里奥特和沃利斯那样认识到：代数与几何一样，是一门独立的学科。

哈里奥特的先导是多才多艺的近代早期法国人弗朗索瓦·韦达（François Viète），后者已开始用大写字母表示未知数，而哈里奥特孜孜不倦地研读过他关于三次方程的论文。哈里奥特像我们今天一样使用小写字母，而且他把符号用得如此彻底，以至于成了符号化思维的大师。他的洞见之一是证明多项式方程可以由其因式相乘而生成——比如，两个一次因式生成一个二次方程，三个生成三次的，四个生成四次的，如此等等。这条“因式定理（factor theorem）”现在看来也许显而易见——你可能在高中代数课上学过——但在哈里奥特之前，没有人写下过像下面这样的符号方程：

\[(x-l)(x-m)(x-n)=0.\]

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实际上，哈里奥特并没有用分开的圆括号来表示乘积，而是把各因式上下排列，再用一个方括号把整组括起来。而且他倾向于用 a 而不是 x 表示未知数，用 aa 而不写 a²。我们使用 x、x²、x³、x⁴……这套记号要归功于笛卡尔，他在 1637 年发表了它，尽管他有时仍然像哈里奥特那样写 xx，甚至写 aa。不管怎样，这个方程所暗示的是：一个三次方程必定有三个解，x = l、x = m、x = n，无论它们是正的还是负的、实的还是虚的。相比之下，卡尔达诺的算法说的是“那个”解，好像只有一个似的——而如果你是在用一个物质性的立方体来想象它，那正是你会预期的。¹⁹

为了看出哈里奥特那套符号的好处——它与我在这里使用的现代版本差别不大，也同样清晰——不妨从邦贝利的起点出发，即已知 x = 4，来解那道恼人的卡尔达诺方程。哈里奥特的方法提示你：先是把 x³ = 15x + 4 写成 x³ − 15x − 4 = 0。这正是你在高中会做的事；接着你用 x − 4 去除 x³ − 15x − 4，得到 x³ − 15x − 4 = (x − 4)(x² + 4x + 1)。当 x = 4 或者 x² + 4x + 1 = 0 时，它等于零。你可以配方来解这个二次方程，找出另外两个解 \(x=-2+\sqrt{3}\) 与 \(x=-2-\sqrt{3}\)，总共得到三个解。在这个例子里，所有解最后都是实数，卡尔达诺那个复杂的表达式 \(x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}\) 根本用不上。或者说，看上去是这样。……然而，后来的数学家会把这些历史线索串起来，因为他们发现，事实上复数本身各有三个立方根。于是，卡尔达诺那道恼人方程的三个实数解，是可以从他的算法里找回来的！我在尾注中给出了具体做法。²⁰

符号化思维的力量

因式法在今天属于初等内容，但在四百年前却是一项巨大的突破。哈里奥特并非总用它，而且它那更充分、更一般的推论（代数基本定理，fundamental theorem of algebra）还要再过两个世纪才得到严格证明。所以，继韦达和卡尔达诺之后，他也设计出了一整套算法，用来求解各种类型的二次、三次和四次方程。但他对代数符号的价值有清醒的认识。“哪里还需要什么啰嗦的条规，”他说（因为连韦达都很啰嗦），“既然我们这种化简能直接展示出全部的根［也就是全部的解］，不仅对这一种方程如此，对你喜欢的任何其他情形也都如此。”²¹

他要说的是：用符号来做推广，比用词语容易得多。而当你能够推广——当你能够看出适用范围出人意料之广的共同模式——你就能在科学与技术、以及数学上取得非凡的进展。例如，麦克斯韦之所以能揭示光的电磁波本性，并预言无线电波的存在，是因为他对电磁学所做的数学分析，得出的正是同一类方程，也就是此前用来描述你拨动吉他弦或小提琴弦时所看到的那种波动模式的方程。而诺特则出色地推广了对称性的数学模式与能量、动量等物理量的守恒之间的关系。

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这些例子后面还会细说；同时，研究哈里奥特的学者缪丽尔·塞尔特曼（Muriel Seltman）对哈里奥特的重要性、以及代数符号的力量，精当地总结了：

符号体系与数学的思维过程之间存在着一种相互关系；哈里奥特的技巧与思想的清晰性，被表达在一种符号体系之中，这种符号体系在视觉上指引着你的操作，从而以一种全新的方式让数学变得可以亲近——其影响之重大，怎样高估都不过分。……这种可可视化性是显而易见的，却有着极为深远的重要性。如今，我们已经可以操作符号，就好像它就是那个不可可视化的概念本身——而符号不过是这个概念的具体化身而已。²²

这就把我带到了最终的去向。哈密顿的四维四元数并没有传统的、具体的几何对应物，而对我们大多数人来说，想象爱因斯坦的四维时空也是不可能的（更不用说十维弦理论这类东西了）；但描述它们的数学符号方程，却有着属于它自己的那种可触知性。你可以操作它们，就好像四维“真的”存在一样，因为从代数上说，x⁴ 与“平方” x² 和“立方” x³ 同样成立；而且——提前跳到坐标与向量——(a, b, c, d) 与 (a, b, c) 是同一类东西。

随着代数符号体系的兴起，一种新型的抽象思维出现了，它为微积分的发展开辟了道路——并最终通向向量与张量的微积分。这门奇妙的语言使数学家得以解决范围极广的、新的、更为复杂的问题——而这些问题的解，既给了我们新技术，也给了我们看待实在的新方式。那么，下一章就将带你快速游览微积分那非同寻常的故事。

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1. 哈密顿在他的 Lectures on Quaternions 序言中说，他之所以被引向四元数，是因为他想把“计算”与“几何”联系起来，并想把这些计算“从平面推向空间”。后文中他展示了如何做三维旋转；见 Lectures on Quaternions (Dublin: Hodges and Smith, London: Whittaker, and Cambridge: Macmillan, 1853), 269 (art. 282)。 ↩

2. Melanie Bayley（"Alice's Adventures in Algebra"）指出了这一点，以及其他一些在她看来表明卡罗尔在戏仿哈密顿的例子。但也有可能，卡罗尔只是想把逻辑的规则与哈密顿代数的规则区分开来。 ↩

3. 哈密顿的电学类比出自他写给儿子 Archibald 的信（转引自 Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis [Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press, 1967], 29–30）。他在 1858 年写给 P. G. Tait 的信中也给出了相似的描述：https://www.tcd.ie/library/manuscripts/blog/tag/moon-landing/。那件纪念性艺术装置由 Emma Ray 创作；见皇家爱尔兰学院的网站——该作品由它联合委托创作——尤其是记录准备与安装过程的 YouTube 视频，见 https://www.google.com/search?client=safari&rls=en&q=Commemorative+art+installation+Hamilton+Broombridge+Luas&ie=UTF-8&oe=UTF-8#fpstate=ive&vld=cid:a9bfbdde,vid:1nQct3p3184。 ↩

4. 在参观都柏林三一学院老图书馆时，阿姆斯特朗在哈密顿的大理石半身像旁驻足，向他的向导解释了四元数如何辅助航天器导航：Estelle Gittins，2019 年 7 月 19 日，https://www.tcd.ie/library/manuscripts/blog/tag/moon-landing/。 ↩

5. 我改编了一幅据认为可能出自毕达哥拉斯的图示，该图见 T. L. Heath, Translation of Euclid's Elements (Cambridge: Cambridge University Press, 1925)，又转载于 John Stillwell, Mathematics and Its History (New York: Springer-Verlag, 1989), 7。欧几里得更精妙的证明，见 Carl Boyer, A History of Mathematics, rev. Uta Merzbach (New York: John Wiley and Sons, 1991), 108。 ↩

6. 有不同版本流传，但可参见例如美国国会图书馆 https://www.loc.gov/item/2021666184/。 ↩

7. 现代数学家更倾向于把 i 定义为 x² + 1 = 0 的（主）解，而不是把它指定为 \(\sqrt{-1}\)；换句话说，i 通常是通过它的平方 i² = −1 来定义的，而不是作为某个平方根。这是因为后一种做法会导致如下这样的悖论： \(-1=i\times i=\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}\sqrt{\left(-1\right)\left(-1\right)}=\sqrt{1}=\pm 1,\) 而如果你取正根，就会得到 −1 = 1，这显然是错误的！ ↩

8. 笛卡尔论虚数：Brian E. Blank, "Book Review: An Imaginary Tale by Paul Nahin," Notices of the AMS（1999 年 11 月）: 1233。 ↩

9. 花拉子米的引文见 Boyer, History of Mathematics, 229；他用几何方法配方的说明见 231。Al-jabr …… 的译文及几何实例：Raymond Flood and Robin Wilson, The Great Mathematicians (London: Arcturus, 2011), 46–47。 ↩

10. 关于哈里奥特非凡的生平与工作，详见我的 Thomas Harriot: A Life in Science (New York: Oxford University Press, 2019) 及其中所引文献。请注意，他身后出版的 Praxis 是由他的朋友们整理而成的，但显然这些朋友的数学水平远不及他：他的手稿中包含比他们所出版的更为精深的工作，其中就包括对虚数的使用。 ↩

11. 关于代数符号演化的迷人历史，见 Joseph Mazur, Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2014)。 ↩

12. 1905 年，爱因斯坦除了发表狭义相对论和 E = mc2 的论文外，还发表了两篇关于布朗运动与分子大小的重要论文，以及一篇关于光的量子理论的开创性论文。入门概述见我的 Young Einstein and the Story of E = mc² (Sydney: Ligature, 2014)。 ↩

13. 这道题出自泥板 CBS 43，译文见 Eleanor Robson, "Mathematical Cuneiform Tablets in Philadelphia, Part I: Problems and Calculations," SCIAMVS 1 (2000): 11–48；为了便于说明，我把问题右端的数改成了 21——泥板上（见第 39 页）写的是 41，但正如 Robson 所说（第 42 页），泥板上的符号并不完全清晰，而且按现有释读也得不出当时惯用的那种整数解或两位（六十进制）解。我关于古巴比伦几何配方方法的图示改编自该书第 42 页。 ↩

14. 运河等：Robert Middeke-Conlin, "The Mathematics of Canal Construction in the Kingdoms of Larsa and Babyon," Water History 12 (2020): 105–28。 ↩

15. 需要注意的是，更早的数学家——包括传说中十二世纪初的波斯诗人欧玛尔·海亚姆，他同时也是一位数学家——已经找到了纯几何的方法来求解某些具有正根的三次方程，方法是求两条曲线的交点：Boyer, History of Mathematics, 241；Flood and Wilson, The Great Mathematicians, 49。关于图西，见 J. J. O'Connor 和 E. F. Robertson 为他撰写的 MacTutor 条目，https://mathsh istory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Tusi_Sharaf/。 ↩

16. 卡尔达诺的底层算法（基于塔尔塔利亚的）用于求解形如 x³ = cx + d 的方程，具体如下：选取新的变量 u, v，令 x = u + v, uv = c/3。把它们代入原方程，你会得到 u³ + v³ = d；消去 v，这就变成了一个关于 u³ 的二次方程，可用求根公式求解。把这个 u³ 的解代入 u³ + v³ = d，解出 v³。再对 u³ 和 v³ 开立方，求得 u, v，从而得到 x = u + v。这一方法极为巧妙，而且是在没有那种让思路更易于追踪的现代符号的情况下创造出来的。我所举的例子 x³ = 6x + 40，以及卡尔达诺求解它的算法——连同他对立方的几何补全——见他的 Ars Magna 第 12 章，重印于 R. Laubenbacher and D. Pengelley, "Algebra: The Search for an Elusive Formula," in Mathematical Expeditions, Undergraduate Texts in Mathematics (New York: Springer, 1999), 230; https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0523-4_5。 ↩

17. 例如，薛定谔方程描述光子、电子及其他亚原子粒子等基本粒子的动力学——而它含有 i。电磁波用复数形式处理起来也更方便，所以 i 是各种现代技术背后的功臣。 ↩

18. 沃利斯论哈里奥特：转引自 Jacqueline Stedall, "Rob'd of Glories: The Posthumous Misfortunes of Thomas Harriot and His Algebra," Archive for History of Exact Sciences 54, no. 6 (2000 年 6 月): 490。哈里奥特最先以代数（符号）方法解三次方程：这一看法最早由伟大的数学家拉格朗日提出；见 Seltman, "Harriot's Algebra: Reputation and Reality," in Thomas Harriot, vol. 1, An Elizabethan Man of Science, ed. Robert Fox (Aldershot: Ashgate, 2000), 185。 ↩

19. 类似地，二次方程有两个解，四次方程有四个解，以此类推。德国数学家 Peter Roth 大约在同一时期（在他 1608 年的 Arithmetica Philosphica 中）提出了这种次数与解的个数之间的联系，但他既没有用符号书写方程，也没有探讨复根。由哈里奥特的“因式”构造所暗示的“代数基本定理”的严格证明，要到两百年后才出现——哈里奥特本人并未宣称那么多。他用因式和符号求得复数解的一个例子，见例如 British Library Manuscript 6783, fols. 157, 156。 ↩

20. 仿照欧拉的做法（或第 3 章的图 3.4、图 3.6 及相关讨论），你可以把复数 a + ib 写成 r(cos θ + i sin θ) = re^iθ，其中 \(r=\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)}\)，θ 则由反余弦和反正弦相应地确定。由棣莫弗定理（或干脆由指数律），这个数的立方根是 \(\sqrt[3]{\left(re^{i\theta}\right)}=r^{1/3}e\frac{i\left(\theta+2k\pi\right)}{3}\)，其中 k = 0, 1, 2 给出三个不同的根。把它应用于 \(\sqrt[3]{\left(2+11i\right)}+\sqrt[3]{\left(2-11i\right)}=r^{1/3}e\frac{i\left(\theta+2k\pi\right)}{3}+r^{1/3}e\frac{i\left(-\theta-2k\pi\right)}{3}=2r^{1/3}\cos\frac{\left(\theta+2k\pi\right)}{3}\)，你就得到卡尔达诺方程的三个解 \(x=4,-2+\sqrt{3},-2-\sqrt{3}\)。过程略显烦琐，但所有步骤只用到高中高年级或大学一年级的数学。 ↩

21. 哈里奥特的引文：British Library Additional Manuscript 6783 fol. 186。另见 Jacqueline Stedall, "Notes Made by Thomas Harriot on the Treatises of François Viète," Archive for Exact Sciences 62, no. 2 (2008 年 3 月): 179–200。 ↩

22. Seltman 的引文见她的 "Harriot's Algebra," in Thomas Harriot, vol. 1, An Elizabethan Man of Science, ed. Robert Fox (Aldershot: Ashgate, 2000), 184，着重标记为我所加。关于哈里奥特对复数解和负数解的使用，Seltman 精辟地分析了哈里奥特的手稿优于其身后出版的 Artis Analyticae Praxis 之处——后者由他那几位才具不及的朋友依据他们从他手稿中所理解的内容拼凑而成，其中包括他们对哈里奥特使用虚数和负数的排斥。 ↩