第 3 章　向量的构想¶

数学家并不以涂鸦闻名，所以威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton）在布鲁姆桥（Broome Bridge）上刻下的那些划痕，引来了无数目光。然而，那道闪电般的灵感——它催生了这场带着狂喜的轻微破坏行为——很少能在没有长期而深入的创造性思考的情况下降临。就向量而言，为了让全部观念各就各位、终于使哈密顿能够把自己深刻的结论刻进石头，花去了数百年的时间，也花去了许多数学思想者的心力。那么，就让我从重新拜访那位了不起的牛顿（Isaac Newton）开始这一章的故事吧。

如今他给人的印象并不总是很好，但不久前有人问我，愿不愿意请他来吃顿饭。我已经说过我钦佩他的天才，但我也喜欢他身上那些小小的人情味——比如说把书页折角，比如说一头扎进工作里连饭都忘了吃。还有一件事：那棵传奇的苹果树至今仍生长在他家老宅的花园里，并在世界各地都有它的后代——包括我自己的那所大学。不过，说正经的，我把这次与牛顿“同席”的邀请当作一个机会，好让我重新埋头读一读《自然哲学的数学原理》（Principia）；而我第一次受到震撼的，不仅是它的宏大视野和它对微积分的开创性应用，还有它对“向量性”量的本性所做的清晰阐述。

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我以前从来没留意过这一点——我只是把向量当成理所当然的东西，所以没有意识到牛顿的处理有多么重要。我没有意识到这件事有多么意味深长：他在为关于自然的、以证据为基础且可检验的物理理论绘制蓝图时，竟看出有必要把力、速度、动量这些基本的物理量定义成同时具有方向和模。今天的中学生学会用一个箭头来表达这种双重本性，正如我们已经看到的那样。可向量本身却出人意料地姗姗来迟，就连牛顿也没有得到完整的概念。

他在这方面的关键洞见，是用力对物体的作用效果来定义力。他在著名的运动第二定律中说，有效力与由此产生的“运动的改变”成正比，而这种“改变”与力同向。牛顿此前已经用文字形式的方程仔细定义了“运动的量”（在第二定律里他干脆只叫它“运动”），即“物质的量”（质量）乘以速度——所以用符号表示，运动的量就是 mv，我们称之为“动量”。那么用现代语言说，牛顿的“运动的改变”就是物体动量的变化率；而用向量微积分的语言，第二定律就是：

$$F=\frac{d\left(mv\right)}{dt}$$.

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如果物体的质量在运动过程中没有可测量的变化——除非它相对测量者运动得极快，否则确实不会——那么这就等同于 $F=m\frac{dv}{dt}$，也就是质量乘以加速度，F = ma。我把 F, a 和 v* 写成粗体，以表明它们是向量，但这是事后之明。尽管牛顿的力和动量显然既有模又有方向，它们还不是完整的数学向量，因为当时还没有关于如何对它们做加法或乘法的一般性概念。你也许会觉得，既然向量最明显的特征是它能同时表示模与方向，那么在加法和乘法上较真就是一种玄虚的讲究。然而我们后面会看到，向量的乘法开启了一整个全新的物理应用范围。而且，正是把向量当作数学量、而不只是当作物理类比来处理的向量代数*，才使向量不仅适用于理论物理学，也适用于数值建模、数据分析、工程、人工智能和机器人学这样的领域。

与此同时，在牛顿的时代确实存在一种实用的、朴素的加法概念：两个向量性的量通过图 3.1 所示的“平行四边形法则（parallelogram rule）”以几何方式相加。其实，在向量正式发展起来之前，这里用“加法”一词大概是不合时代的——“合成（composition）”是更准确的说法。牛顿在他运动定律的前两条推论中清晰地解释了这条法则，并且明确展示了它如何使一个沿对角线方向的力由另外两个“分量”力合成（反过来说，它也可以被“分解”成它的各个分量）。当然，平行四边形法则同样适用于速度，而牛顿后来在他的行星运动理论和日常运动理论中，对它也做了极为精彩的运用。

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“运动”看起来是个再简单不过的概念，但正如芝诺（Zeno）所表明的，要给出一个有用的定义并不容易——尤其是那种能让你事先预言一个物体在各种力的作用下会如何运动的定义。牛顿的对手戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）在他 1695 年的《动力学随笔》（Essay on Dynamics）里，用了许多页啰嗦的文字试图把它弄明白——可他压根没提《Principia》。牛顿后来投桃报李，在《Principia》第三版中删去了他对莱布尼茨微积分的致谢——那场不幸的微积分优先权之争正闹得不可开交。不过，莱布尼茨在他的《随笔》里对牛顿的忽略，并不只是无礼而已：它说明理解新思想可以有多困难。莱布尼茨或许是他那一代最伟大的哲学家，也是一位富有创新精神的科学思想者，然而就连他似乎也没意识到，牛顿用由此产生的动量变化来定义力，已经在运动的分析上迈出了巨大的一步。（当然，后来的物理学家确实认可了这一成就，并最终把力的 SI 单位¹命名为“牛顿（newton）”。）

然而，意识到就连牛顿也没有发展出向量代数的想法、更不用说向量微积分，是颇有意思的。这凸显出提出新的数学概念有多么困难——也提示我们，向量表面上的简单是具有欺骗性的。

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事实上，当牛顿写作《Principia》的时候，光是要走到平行四边形法则这一步，就已经是一条漫漫长路，沿途站着世界上最出色的一些思想者。像牛顿和莱布尼茨一样，这些思想者一直在设法弄清事物如何运动、力如何起作用。你可以想象一下，若要你从零开始定义“力”，你会从何下手，由此就能体会他们所面临的困难。《牛津英语词典》（Oxford English Dictionary）给出的日常定义是“力量；施加出的力气或冲力；强烈的努力”。这给了你一个大概的意思，可它帮不了你去发射一颗通信卫星，或者设计一台风力涡轮机。那类应用需要的是一个定量的、用向量微积分给出的定义。

当然，显而易见的是，如果你用两倍的力气推一个物体，它就会移动两倍远——这是古代哲学家早就迈出的量化的一步。不过在这种情况里，两次推的方向都与所产生的运动方向相同，所以方向也应当成为力本身定义的一部分，这一点并不明显。然而古人确实瞥见过这样一个想法：把一条轨迹由两个不同方向上的不同“分量”合成出来——比如在克劳狄乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy）的行星运动机械模型中，行星绕转着，仿佛是由齿轮驱动的，而这些齿轮同时还沿着各自的轨道缓慢滚动。

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用平行四边形法则把不同的运动结合起来的最早迹象，似乎出现在《Questiones Mechanicae》（《力学问题》）之中；那显然是公元前 4 世纪末亚里士多德（Aristotle）学派某位成员的著作，比托勒密早了将近五百年。它是那些失传已久、直到文艺复兴时期才在欧洲重新被发现的手稿之一，是中世纪那场伟大的阿拉伯翻译运动之后的余波——而它对力学的处理，对尼科洛·塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia）和伽利略（Galileo Galilei）这样的近代早期物理学家产生了启发。他们当时正试图弄明白，如何把运动物体的路径由各个分运动合成出来，比如当你把一只网球高高抛向空中时，那个斜向上的运动与重力的向下作用相结合。²

其实，与其说塔尔塔利亚和伽利略对网球感兴趣，不如说他们关心的是箭矢和炮弹；那个时代就是这样，宗教战争与帝国战争似乎没完没了。枪炮与火炮正变得越来越精密——比如新的铸铁工艺让炮弹变得更轻却更有威力——而且人们越来越清楚，事先知道一枚弹丸的弹道，就能让这些新式武器得到更高效的运用。炮手手册也在不断问世，记录下各种射击所观测到的射程与角度；数学家则开始利用这些数据，试图用数学来描述抛射体的路径。

作为第一步，在 1530 年代初——比他因三次方程与吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）激烈争吵早几年——塔尔塔利亚设法算出了这一点：如果你想让炮弹飞得尽可能远，火炮应当以与地面成 45° 的角度瞄准。如果你只是把它笔直地朝向远处的目标，重力很可能会让你半途落空。而如果你把炮口抬高、然后听天由命——这一直是通行的做法——那你往往会打偏目标，反而毁掉别的东西。但塔尔塔利亚陷入了良心危机，因为他知道自己是在拿人命当儿戏，从事着战争武器的研究。于是他烧掉了自己的论文，唯恐因为从事这种“谩骂而残忍的”工作而招致上帝的震怒。³

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然而，那是一个令人恐惧的时代。塔尔塔利亚在意大利北部长大，童年时曾被一名法国士兵的军刀重创。当时他十二三岁，法军攻入他们所在的城镇时，他正和母亲、妹妹躲在一座教堂里，可那柄挥砍的剑还是划过了小尼科洛的嘴和颌。这道伤口的遗产一直活在他的名字里——他真正的姓氏似乎是丰塔纳（Fontana），但在上颚受伤之后，他得了个“塔尔塔利亚”的绰号，意思是“口吃者”。尽管如此，也尽管他没受过什么教育，他还是成了十六世纪初最出色的数学家之一。至于他在弹道学上的工作，他很快就认定，作为一个虔诚的基督徒，他最好还是向自己的赞助人谈一谈这件事，因为伊斯兰的奥斯曼帝国正向基督教的欧洲不断深入扩张。它已经覆盖了希腊和土耳其的大部分地区，向北一直延伸到贝尔格莱德和索菲亚；而到了 1530 年代，苏莱曼大帝（Emperor Süleyman）的军队已经入侵匈牙利，并正在与奥地利发生小规模冲突。奥地利的哈布斯堡家族也在扩张自己的势力，于是法国人与奥斯曼人结成同盟来对抗他们——事情就这样一环扣一环：战争似乎无处不在。

于是塔尔塔利亚继续研究这个课题。继提出把火炮仰角设为 45° 的建议之后，他又设计出一种用来测量这类角度的象限仪。他还试图合成出一条理论上的弹道。凭直觉就清楚，如果你忽略空气阻力——对炮弹来说这是足够现实的假设，对羽毛则不然——这样一条路径就是由两个不同的分量构成的：一个沿发射方向，一个沿重力方向。但塔尔塔利亚的尝试并不成功。首先，他的分量并不是被明确定义的力或速度，而只是直觉上的“运动”——毕竟，他写作的时间比牛顿那些细致而开创性的运动定律早了一百五十年。更何况，塔尔塔利亚从来没有以向量的方式把这些“运动”相加（或者说“合成”）。在他为那部重见天日的《Questiones Mechanicae》所作的评注里，他干脆忽略了平行四边形法则——和他大多数同时代人一样，他不理解它的意义。⁴

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其次，他没有独立分量的概念，也就是每个分量都表现得仿佛另一个并不在场。这是平行四边形法则的关键，正如你在图 3.1 中所看到的。这意味着什么呢？举个例子：假如你在这个分析中把重力去掉，于是只有一个分量在起作用——即沿火炮发射方向的那个——你就应当推出，炮弹会沿那个初始方向以同样的速度一直运动下去。这正是牛顿的运动第一定律，尽管伽利略和托马斯·哈里奥特（Thomas Harriot）等其他人在他之前就已经凭直觉领悟到了。

然而，塔尔塔利亚——和亚里士多德以来几乎所有的人一样——相信一个物体不可能同时具有两个独立的运动分量。所以他没有想到要用平行四边形法则把两个分量结合起来，以给出所观测到的合成运动。正如你在图 3.2 中看到的，他把轨迹合成成了一个初始的斜向分量，然后接着一个向下的分量。他没有想到两者从一开始就同时在起作用，因此炮弹的路径实际上一开始就是弯曲的、而不是直的，因为重力已经在把它往下拉。相反，在他的轨迹中段有一截弯曲的部分，代表当重力“突然”压过最初那股向外的力时炮弹改变的方向，随后炮弹就笔直地落了下去。

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塔尔塔利亚的尝试是弹道学研究上第一次重要的进军，但他分析中的缺陷提示我们，当时并没有人真正知道重力是如何起作用的，更不用说理解向量了。半个世纪之后，伽利略登场了，还有哈里奥特。战火仍在肆虐，但此时新教徒与天主教徒之间的紧张正在带来新的动荡。然而，“战争的艺术”也带来了智识上与审美上的迷恋。对哈里奥特的第二位赞助人诺森伯兰伯爵（Earl of Northumberland）这类人来说，兵棋推演是一种消遣娱乐；他曾在军中短暂服役，对军事战略着迷到这种地步：他花了无数个小时玩一种精巧的棋盘游戏，棋盘上有 140 名黄铜士兵，每人手持一根金属丝做的长矛，还有 320 名铅制士兵，扛着小小的火枪。战争也是艺术的主题：欧洲大陆的文艺复兴艺术家，比如乔治·瓦萨里（Georgio Vasari）和阿尔布雷希特·阿尔特多费尔（Albrecht Altdorfer），一直在画鸟瞰式的战争场景；而在此时的英格兰，威廉·莎士比亚（William Shakespeare）与克里斯托弗·马洛（Christopher Marlowe）正通过有力的语言和巧妙的舞台调度，在《亨利五世》（Henry V）和《帖木儿》（Tamburlaine）这样的戏剧里唤起宏大的战争场面。《帖木儿》搬演的是十四世纪鞑靼武士帖木儿（Tamerlane）那些令人恐惧的征服。这或许是对苏莱曼更晚近的战功的一种提醒，尽管马洛是在一种更为迫近的危险——1588 年进攻英格兰的西班牙无敌舰队（Spanish Armada）——的阴影下写作此剧的，而那次进攻有着种种长期酝酿的宗教、地缘政治与经济原因。有若干证据表明马洛认识哈里奥特——也有人推测他们讨论过“战争的艺术”：马洛作为诗人和剧作家，哈里奥特作为研究弹道学的数学家。⁵

没有证据表明伽利略与哈里奥特彼此相识，但他们共享着那个时代最前沿的科学兴趣——不仅在弹道学上，也在一切受重力影响的运动上。结果是，他们各自独立地共同发现了自由落体的普遍定律：在日常情形中，如果你把空气阻力去掉，一切物体无论重量与大小如何，都以同样的速率下落。然而对塔尔塔利亚来说，炮弹比网球落得更快，因此它们各自会有形状不同的抛射轨迹。但哈里奥特和伽利略证明，在真空中，一切抛射体描出的路径形状相同：一条抛物线。你只要把一根喷着水流的软管倾斜过来，就能很容易看到这个形状，因为每一滴水珠一个接一个地描出了抛射体的形状。而要证明它是一条抛物线，并写出 y = −ax² + bx + c 这种形式那个特有的方程，则是另一回事。不过，如果你在中学或大学学过数学或物理（或者你先偷看一眼图 8.1），你就会知道，利用牛顿定律、向量和微积分法则，十几行就能做出来。没有这些工具，伽利略和哈里奥特为找到吻合其数据的那个正确方程，花去了许多页纸和许多个艰辛的月份。

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相比之下，你可以在图 3.2 中看到，塔尔塔利亚估算的那条轨迹绝对不是一条抛物线！伽利略和哈里奥特之所以成功，是因为他们认识到各个分运动确实是独立起作用的——这也正是他们得以凭直觉领悟牛顿第一定律的途径。⁶ 伽利略关于抛射体的工作影响了牛顿，后者在《Principia》中引用了它。但伽利略始终没有完全走到平行四边形法则那一步。他用它来计算他的合力的大小，却不计算方向——而大多数其他同时代的先驱也是如此。勒内·笛卡尔（René Descartes）确实用这条法则计算了大小和方向，但他把它们看作彼此分离的量，而不是速度或力这样同一个量的不同方面。所以你就能明白，向量的内涵比我们这些带着事后之明和习惯的人所意识到的还要多！⁷

不过，哈里奥特在他 1619 年对碰撞力学的分析中已经相当接近这个想法了。除了战争和兵棋，台球运动也正流行开来——至少对哈里奥特的赞助人诺森伯兰这样的富有贵族来说是这样。不幸的是，这位伯爵很快就进了伦敦塔，成为詹姆斯一世（King James I）的囚徒——1605 年火药阴谋（Gunpowder Plot）被挫败时，他和哈里奥特都被捕了，因为就在前一天，他们毫不知情地与其中一名阴谋参与者共进了晚餐。（那些阴谋者是不满的天主教徒，他们在新教国王及其议会的统治下感到压抑，而其中一人恰好是诺森伯兰的表亲。）哈里奥特在熬过令人恐惧的几个星期之后获释，但那位无辜的伯爵就没那么走运了：他在狱中度过此后的十六年。他想办法消磨了一些时间——玩兵棋，还让人在伦敦塔的院子里修了一条滚木球道。但他也把时间花在思考科学上；而为了进一步发展自己对滚木球和台球的兴趣，他请哈里奥特讲解碰撞的力学。

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哈里奥特的论文是对这一课题的第一份详细分析——也是牛顿之前最为精密的向量性分析之一。我在图 3.3 中复制了哈里奥特的向量图。球 a 与 A 的质量由他所画圆圈的大小来表示，它们从左侧相向运动，在中间（在 b 与 B 处）相撞，然后反弹到由虚线圆 c 与 C 标示的位置。我在尾注里解释了他的计算⁸，但你只要看一眼哈里奥特的图就能发现，他用平行四边形来分析这里画出的两类碰撞。而且，尽管他的术语是老式的——他讲的是运动和冲力（impetus），而不是速度和力——他已经具备了现代平行四边形法则的实质：大小与方向都得到了明确规定，并且他有独立的分量，每个都表现得“仿佛”另一个并不在场，它们合起来给出合成的运动或力。唯一的麻烦是，他没有把它发表出来。⁹

不过他的同胞约翰·沃利斯（John Wallis）也许见过它——他肯定见过哈里奥特的一部分手稿，以及他身后出版的代数教科书《Praxis》。正如我提到过的，沃利斯尤其受到哈里奥特那套完全符号化的代数记号的启发，但他也处理过碰撞这一课题——牛顿称他在这方面的研究是对《Principia》的另一重要影响。沃利斯在 1671 年一篇关于力学的论文中清楚地陈述了平行四边形法则；而在 1687 年《Principia》出版之前的几十年里，还有几位也这样做过——包括那位才能异常多样的费马（Fermat）。（和哈里奥特在代数上的前辈弗朗索瓦·韦达（François Viète）一样，费马的本职工作是在法律界，而不是数学。）¹⁰

你也许会以为，既然平行四边形法则在《Principia》中走向成熟，又有牛顿对力、加速度和速度所做的向量性定义，那么引发人们去寻求一套完整的、数学的向量分析的，就该是他——但并不是，至少不是直接由他引发的。他的工作后来确实作出了贡献，那是因为它展示出向量在物理学中会有多么有用；但那已经是在最初的向量代数从一个出人意料、且完全不同的方向上出现之后的事了。

故事中一个出人意料的转折¶

从哈密顿的涂鸦里，你也许能猜到这个出人意料的方向。它含有虚数 i，而当你试图求解 x² + 1 = 0 这样的方程时，i 就会出现。更复杂的方程会给出一个更加奇怪的量，即实数与虚数的混合，比如拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）的 $2+11\sqrt{-1}$——我们在第 1 章也遇到过它。我还提到过，是笛卡尔在邦贝利之后大约一个世纪造出了“虚数（imaginary number）”这个说法；然后，在笛卡尔之后又一个多世纪的 1777 年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）创造了现代符号 i 来表示 $\sqrt{-1}$。

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欧拉还给了我们表示指数（或欧拉）数的符号 e——我在下面给出了它的定义——并且他让威廉·琼斯（William Jones）的符号 π 普及开来。但正如琼斯的 π 一样，欧拉的 i 直到几十年后另一位杰出的数学家——德国人卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）——使用它，才真正流行起来。高斯还造出了“复数（complex number）”这个术语，用以指称我们今天写作 a + ib 或 a + bi 的那种实数与虚数的混合——i 写在前面还是后面都无所谓。不过“复数”这个说法也没有立刻就流行起来。所有这些都说明，创新思想的演化是多么缓慢——也说明如果你想要得到哪怕迟来的承认，发表是多么关键！

顺便说一句，高斯还是自学成才的女性先驱索菲·热尔曼（Sophie Germain）那位不知不觉中的导师。和他那个时代的大多数男人一样，高斯认为女性没有能力从事高等数学；热尔曼谨慎起见，用一个化名“勒布朗先生（Monsieur Le Blanc）”给他写信，谈的是证明费马大定理的一个想法。当她最终透露自己是女性时，他大吃一惊，并且十分钦佩。

可是 i 与向量有什么关系呢？这取决于如何表示信息这个问题——以及与之相关的问题：什么样的数的构造，通过服从明确的数学规则，才有资格成为数学研究的对象。

就 i 而言，如果数学家打算认真对待这个数，他们该怎么去想它呢？把数轴向零的左边延长以表示负数，已经花了足够长的时间——这看似简单的一步，使得人们有可能把负数仅仅看作正数的对应物，同样真实。迈出这重要一步的是沃利斯——尽管他还认为负数必定比无穷大还要大，这说明即便是最出色的数学家，要把握负数（更不用说无穷）也有多困难。首先尝试为复数做类似事情的也是沃利斯，但他没有成功。¹¹

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这个表示问题还要再过一个世纪才得到解决，并无意中为向量的发现打开了通路。与此同时，数学家需要更多地弄清复数的数学本性。没错，它们是作为二次和三次方程的解而出现的，但它们在数学中是否还扮演着更广泛的角色——一种会使得人们必须想办法把它们纳入一个扩展了的数系的角色？

最早为这个问题找到答案的人之一是欧拉。他是史上最多产的数学家之一，记忆力惊人、献身精神非同寻常，以至于连失明都没能让他停下。1735 年，年仅二十八岁的他先失去了右眼的视力，五十九岁又几乎全盲；但在一位秘书以及他的子孙们的帮助下，他一直研究到七十六岁突然去世。他曾师从那位令人生畏的约翰（或让）·伯努利（Johann/Jean Bernoulli）——莱布尼茨的激烈捍卫者、牛顿的劲敌——并且是最早明确地用符号微积分改写牛顿定律的人之一。1727 年，他开始与伯努利一起研究复数，但他在这个课题上的工作真正开始成形，是在 1740 年代：当时他把 i 与 sin θ 和 cos θ 这两个“圆”函数联系了起来。（这里请忍耐一下，因为圆与旋转有关，而把握住旋转的代数，正是将引导哈密顿创造出向量的东西。不过，他首先得理解旋转与 i 之间的联系。）

如果你像图 3.4 那样，在半径为 1 的圆上表示 sinθ 与 cosθ，那么利用毕达哥拉斯定理，你就会得到这个有用的恒等式

(cos θ)² + (sin θ)² = 1.

欧拉意识到，你可以把这个方程因式分解为：

(cos θ + i sin θ)(cos θ − i sin θ) = 1.

由此出发，利用 e 的一个尚处于雏形的定义（你可以在尾注里看到¹²），他得出了今天被称为欧拉公式的式子：

eⁱ^θ = cos θ + i sin θ.

（如果你像欧拉那样知道 sinθ、cos θ 和 e^θ 的泰勒级数，它很容易就得出来了，不过这些细节对我们的故事并不重要。）

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用欧拉这个非凡的公式，你可以做很多事情。它让你能做一些纯粹数学的事，比如求第 1 章提到过的复数的平方根、立方根以及更高次的根。而且它在实用应用中也被证明极其有用，比如为电路和其他类波现象建模——包括在量子力学中，比如在薛定谔方程里（它支配着“波函数（wave function）”，而波函数表示电子这样运动着的亚原子粒子的可能状态）。这是因为，从数学上说，波就是周期性的循环，就像你把 θ 转过整整一个圆时从 cosθ 与 sin θ 所得到的那样（如图 3.5）。

绕圆的旋转，也将成为理解实数与虚数之间关系的关键。事实上，既然 π 在圆的周长与面积公式中扮演着如此重要的角色，那么你只要在欧拉公式中取 θ = π，就已经能看出圆与虚数之间存在某种联系了。你得到的，是常被票选为数学中最美方程的那个式子：

eⁱ^π + 1 = 0.

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它之所以美，是因为它优雅地简单，却又深刻。它只有七个符号，而这些符号以一种完全出人意料的方式彼此相连：除了 + 和 = 这两个基本运算符号之外，有 e，自然对数的底；有 π，一切圆的核心处那个神秘的数；有 0 和 1，最重要的两个整数；还有虚数 i。谁会想到所有这些不同类型的数竟然彼此相关呢？这是一个奇妙的方程，尽管欧拉本人其实并没有把它写下来。但既然它是从欧拉公式出发如此显而易见的一步，既然又没有记载表明是谁先迈出了这一步，那么今天把它称作欧拉恒等式也是理所当然的。¹³

不过，欧拉对复数的本性仍然感到困惑，而且在把复数表示到某种“数轴”上这件事上，他也没有取得任何进展。所以，没有人真正知道所有这些数究竟是怎样联系在一起的。

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尽管如此，欧拉确实继续以代数的方式使用了复数，而且用在了初看起来或许令人意外的地方：试图证明费马大定理。或者我应该说，试图证明它的一个特例——除了 0 和 1 之外，不存在整数 x, y, z 使得 x³ + y³ = z³。由于这是一个三次方程，可以尝试用卡尔达诺的算法去“解”它，而那套算法有个习惯，总会冒出复数来。思路是这样的：当你找到一个解，你就证明它与问题本身固有的假设相矛盾——比如说 x, y, z 必须是整数这一事实！这个过程叫作反证法（proof by contradiction），它在纯数学中威力极大。欧拉采取的办法与邦贝利相似，即探索形如 $a+b\sqrt{-3}$（也就是 $a+ib\sqrt{3}$）的数的立方与立方根。

人人都被费马大定理（Fermat's last theorem）迷住了，它说的是：如果 n 是大于 2 的整数，那么不存在非平凡的 x, y, z 使得 xⁿ + yⁿ = zⁿ。它之所以迷人，是因为要找出 x² + y² = z² 的解毫无困难——古老的普林顿 322 号泥板上就有一整串这样的解。在 1630 年代，费马曾著名地潦草写下一条笔记，宣称他已经找到了关于自己猜想的一个真正绝妙的一般性证明——但如果他真的找到了，至今没有人能找出来。他确实给出了 n = 4 时的证明，而欧拉对 n = 3 的证明则是下一步，尽管是在一个世纪之后。¹⁴

又过了两个多世纪，许多数学家——包括热尔曼——贡献了各种特例的证明，直到安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在 1990 年代借助新的思想和庞大的计算机能力证明了整个定理。但欧拉是通往证明之路上的引路人，而这意味着，他对 a + ib 这种形式的代数数的使用也得到了关注，尽管其他人此前已经做过类似的事情——包括法国人让·勒朗·达朗贝尔（Jean Le Rond d’Alembert），他就因为欧拉没有致谢他而颇为恼火。欧拉极善于发展别人那些尚在雏形的思想，并把它整理成最终的形式，就像他对牛顿定律所做的那样——但他在致谢来源这件事上相当粗心。也许他读得太广，又把那些思想带到了如此深远的领地，以至于他干脆记不清自己是在哪里读到了什么。¹⁵

欧拉在复数上没有再往前走，但他在这两项工作中取得的成就是重大的——把 i 与圆函数联系起来，并把 a + ib 当作一个代数量来处理：只要你把实部和虚部分别相加、相减，它的行为就像一个普通的数。但恰恰是这最后一点，半个世纪之后让威廉·罗恩·哈密顿感到棘手，因为他觉得这就像是把苹果和橘子加在一起。¹⁶

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当然，自欧拉的时代以来发生了很多事。特别是，数学家终于找到了一种办法，把这些奇怪的复数表示在某种数轴上——或者毋宁说，如结果所表明的，表示在一个平面上。它是几何的而非代数的，但它有着极为出色的直观性，并且大大有助于数学家在把这些混血的怪物当作数来处理时感到安心。在沃利斯那次尝试之后一个多世纪，这是一个时机已经成熟的解答，因为有若干位数学家各自独立地提出了与图 3.6 中现代表示法类似的想法。其中最值得注意的是：1799 年的挪威测量员卡斯帕·韦塞尔（Caspar Wessel），尽管他那开创性的工作在接下来的一个世纪里基本上被埋没了；大约同一时期的高斯，尽管他直到 1831 年才发表；1806 年的阿尔冈（Argand，其生平不详，但很可能就是那位出生在瑞士的巴黎书店经理让-罗贝尔·阿尔冈（Jean Robert Argand））——且不管他究竟是谁，我们常常为了纪念他而把图 3.6 中的“复平面（complex plane）”称作“阿尔冈平面”——以及 1828 年的英国人约翰·沃伦（John Warren）。

终于，我一直在谈论的那些彼此不相干的想法开始汇聚到一起：分量、圆、虚数，以及惊鸿一瞥的向量。

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首先，如果你取图 3.4 中单位圆的想法，把它叠加到图 3.6 的复平面上，你就得到图 3.7——一个以实数轴与虚数轴的原点为圆心的单位圆。数 +1 对应于 θ = 0；i 对应于 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 弧度，即 90°；−1 对应于 θ = π，即 180°；−i 对应于 $\theta=\frac{3\pi}{2}$，即 270°。（或者你可以按顺时针方向走，于是 −i 对应于 $\theta=-\frac{\pi}{2}$，即 −90°，如此等等。）不过，真正迷人的地方在这里。如果你在心里沿着圆从点 1 移动到点 i，你已经旋转过了 90°。换句话说，一次 90° 的旋转把数 1 带到了数 i 上——正如你写下 1 × i = i 时那样。这就好像：把实数 1 旋转 90° 这个动作，等价于把它乘以 i。现在再把位于 i 的那个点旋转 90°：你得到 −1，正如你说 i² = −1 时一样。乘以一个虚数，看来确实不过是简单的旋转而已！所以，复平面美妙的地方在于，它展示出虚数究竟是如何与实数相关联的：通过几何的旋转。

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而且，一个由实部和虚部构成、表示为 a + ib（或 a + bi，随你喜欢）的复数，可以在这个复平面里几何地表示为一个点 (a, b)（如图 3.6）。而如果你带着事后之明，想象一支从原点指向这一点的箭头，你就会看到它有一个实分量和一个虚分量。它显然也有一个方向，还有一个由各分量通过毕达哥拉斯定理算出的大小。（其实，复数有的是“模（modulus）”而不是“大小”：复数 a + bi 的模被定义为 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，类似于向量的模，只不过后者是后来才有的概念。）所以你可以看出，这种表示复数的几何方法的发明者——阿尔冈、高斯、韦塞尔和沃伦——已经在逼近向量的想法，正如牛顿曾经做过的那样。牛顿是从物理学的角度切入这个问题的，强调力这类物理量的大小与方向；而这几位十九世纪初的数学家则是从数论的观点出发的。要等到哈密顿来明确地定义向量，并把这两条进路汇合到一起。

哈密顿登场¶

必须说，在 1830 年代，哈密顿还有相当长的一段路要走。起初，他只知道沃伦关于复平面的工作，并不知道高斯或其他人的。但沃伦的做法启发了哈密顿去设想一种思考复数及其几何旋转的方式，使它们可以被代数地处理——就像你想解方程时处理普通数字那样——而且不必公然地把苹果和橘子混在一起。

他用一个相当聪明的办法绕开了这个困难。你先取这些混血数中的任意两个，把它们当作普通的二项式那样相加和相乘，只不过 i² = −1，你就得到：

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).

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今天我们在数学课上一直这样做，欧拉、高斯等人也已经这样做了，尽管在当时这似乎仍多多少少像是在糊弄，因为还没有人对这种算术——或者我应该说，对这种数——感到自在。正如高斯对天文学家彼得·汉森（Peter Hansen）所说的：“$\sqrt{-1}$ 的真实意义在我的灵魂面前生动地显现出来，但要用言辞把它表达出来却非常困难，言辞只能给出一个悬在空中的影像。”而哈密顿的朋友奥古斯都·德摩根（Augustus De Morgan）则声称已经“证明符号 $\sqrt{-1}$ 毫无意义，或者毋宁说是自相矛盾且荒谬的”。¹⁷

于是哈密顿说，为什么不干脆在定义复数时去掉那个让人分心的 i——苹果堆里那只走错门的橘子——同时又保留同样的加法与乘法规则呢？为什么不干脆完全用实数的“数偶（couple）”（也就是现代数学家所说的“有序对（ordered pair）”）——(a, b)、(c, d) 等等——来思考复数，然后定义加法和乘法，使它们遵循同样的模式：

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc).

更早的数学家，尤其是高斯，已经相当接近这个想法，但哈密顿把它清楚地说了出来。这倒不是说它一开始就大获成功。几千年来，乘法一直只是一个数乘以另一个数，所以哈密顿这种数偶的乘法——把乘法、加法和减法乱七八糟地混在一起——是非常不一样的东西。

但它的时代临近了，因为他的英国同行德摩根和乔治·皮科克（George Peacock）已经开始探索一种彻底符号化的代数的想法——从哈里奥特和沃利斯再往前走，走向一种不仅脱离几何、也脱离算术的代数观念。换句话说，代数是用符号来定义的，这些符号不必表示任何具体的东西，却必须服从明确确立的规则——正如哈密顿的“数偶”那样。皮科克和德摩根是从把普通代数的规则形式地表述出来开始的，尽管这些规则已经被直观地使用了几百年、说不定几千年。毕竟，你把三个苹果加到两个上，还是把两个苹果加到三个上，并没有什么区别，所以你会觉得它几乎不需要被表述成什么“加法交换律”。除非，你当然想让代数从数值的量推进到一门关于纯粹抽象符号与运算的科学，就像皮科克和他昔日的学生德摩根所做的那样。

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皮科克对符号体系的兴趣，最初是在微积分的语境中成形的。在第 2 章里，我提到过莱布尼茨那些富有暗示性的微分 dx, dy 等等比起牛顿的点记号所具有的力量；而皮科克属于一群年轻的剑桥学人——其中包括以原型计算机闻名的查尔斯·巴贝奇（Charles Babbage），以及约翰·赫歇尔（John Herschel），那位发现天王星的著名天文学家之子，本人也是一位重要的天文学家——他们曾为用莱布尼茨的微积分取代牛顿的微积分而推动课程改革。正如巴贝奇调皮地说的那样——他一语双关，既影射正式的宗教，也影射剑桥对昔日学生牛顿仍然怀有的敬畏——这些年轻的持异见者支持“纯粹 d-主义（d-ism）的原则，以反对这所大学的 dot-age”（点号时代；也暗含“老朽”之意——译者注）。¹⁸

至于纯粹符号化的代数，哈密顿本人起初是横跨两个阵营的。他同意，复平面上的几何表示只是说明性的，而不是根本性的数学。但他并不是一个纯粹的符号主义者，因为他觉得代数应当关乎比一套规则更可触知的某种东西。他甚至怀疑过，这两个阵营是否像空间与时间那样联系在一起。德国哲学家伊曼努尔·康德（Immanuel Kant）说过，我们的存在依赖于先在的空间与时间，而几何是空间表示的基本语言——于是哈密顿想，也许代数是关于时间的科学？毕竟，他说，我们标记时间与空间的方式，正是“思想借以变成事物、精神借以穿上肉体、心灵的活动与激情借以披上外在存在，我们由此得以从远处观看我们自己”的那种手段。¹⁹

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撇开诗意不谈——哈密顿从少年时代起就一直在写诗——在我们今天听来，他那套时间的代数是奇怪的，因为我们已经如此习惯于代数地摆弄任意的 x 和 y、a 和 b，或者随便我们选用什么符号。他那几位符号主义的同行也不喜欢它。但正如莱布尼茨等人早已指出的，我们关于时间（以及空间）的观念是关系性的——这件事发生在那件事之前，这件事正发生在此刻，如此等等。爱因斯坦后来会把这个想法推到它的逻辑终点，并在这一过程中冒出一些古怪的新思想：时间会变慢，“此刻”本身也是相对的；而在那之前，哈密顿意识到，时间的各个瞬间之间的这些关系，可以用代数表达式来表述。他的关注点是纯数学而非物理学——否则他也许会抢在爱因斯坦之前；而事实上，他引用的是牛顿：后者在描述事物如何变化时，诉诸增长的“瞬（moments）”和时间的“流（flux）”，这是他关于我们今天所称的导数、而他自己称之为“流数（fluxion）”的那个概念。哈密顿把这个时间类比带进了更基础的领地：他提出，如果你把数本身设想为有向线段上各个“瞬间”之间的那些心智上的“步子”，你就可以把算术定律“解释”为一门关于时间的科学。

这些“步子”相当玄奥，尽管后来他从时间中的瞬间转向了空间中的点，并把他的“步子”认定为向量；不管怎样，你可以从一个例子里领会他的意思：两个负数相乘得到一个正数，这个令人困惑却似乎无从回避的事实——比如说 (−3) × (−1) 等于 3。正如哈密顿所说，在他的哲学里，你可以这样解释这个古怪的结果：“两次连续的反转恢复了步子的方向。”这里要带回家的一点是方向在他的向量概念中的重要性：把一支箭头的方向反转两次，你就回到了出发的地方。这类似于说“我不会不去”——连续两个“不”彼此抵消，正如两个负号彼此抵消，或者说把我们“恢复”到正的方向。当你把两个各自都小于零的数相乘、结果却得到一个正数时，这确实有助于把事情讲通！²⁰

哈密顿最终确实向那种纯粹符号化的进路靠得更近了；今天看来，这种进路在他对“数偶”算术的定义中是显而易见的。对德摩根来说，它也几乎是显而易见的。他“倾向于认为”，如果你把时间放在一边、只专注于实数，那么哈密顿“也许终于”提供了一种通过符号代数——而不只是直观的几何类比——来思考复数的办法。²¹

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今天，我们很容易纳闷：为什么会有人为负数和复数的古怪之处、为代数的规则而操心呢——我们已经如此习惯于径直做下去，需要用到这些东西时就拿来用，而不去操心底层的概念问题。但当然，正是因为有那么一些最伟大的数学头脑确实为这类事情操过心，我们才既有了现代数学，也有了我们的大部分技术。当哈密顿推出他那篇关于复数偶的论文、并于 1837 年发表时，他一上来就声明，他在这里的关注点纯粹是数学的。他哪里想得到，今天 NASA 会用他研究的最终成果来帮助驱动它的航天器！所以，即便他最初对时间的关注看上去走偏了，也正是一种跳出框框的思考——这种对数与算术最底层根基的关切——最终将引导哈密顿发明出向量与四元数，而它们今天有着如此之多的实际应用。

颇能说明问题的是，哈密顿的灵感来源不仅有数学家，也有康德这样的哲学家——还有作家和诗人：威廉·华兹华斯（William Wordsworth）是他的好友，著名小说家兼教育理论家玛丽亚·埃奇沃思（Maria Edgeworth）也是，浪漫派人物弗朗西斯·博福特·埃奇沃思（Francis Beaufort Edgeworth，玛丽亚同父异母的弟弟）与塞缪尔·泰勒·柯勒律治（Samuel Taylor Coleridge）同样如此。华兹华斯说，哈密顿和柯勒律治是他所见过的最奇妙、最有天赋的两个人。而当玛丽亚·埃奇沃思第一次见到哈密顿时——那时他只有十九岁——她认为他身上“兼具那种造就真正天才的质朴与坦诚”。²²

这样兼收并蓄的影响，在十九世纪并不像今天这样不寻常——如今数学和科学一样，已经变得如此精密而专门化。但即便在那时，哈密顿也绝非寻常之人。

一位耀眼的奇才¶

他出生在都柏林，时间是 1805 年 8 月 3 日转入 8 月 4 日的那个午夜。他的父亲阿奇博尔德（Archibald）是一位律师，母亲萨拉（Sarah）被认为天资聪颖。而威廉——五个存活下来的孩子中唯一的儿子——是如此有天赋，以至于父母把他的教育托付给了他那位受过大学教育的叔叔詹姆斯·哈密顿（James Hamilton）：一位安立甘宗（英国国教）牧师、古典学者、语言学家兼教区校长。从三岁起，威廉多半时间与叔叔同住；叔叔把他早慧的才能培育得如此之好，以至于据说到他十三岁时，他已经很好地掌握了希腊语、拉丁语、希伯来语、法语、德语和意大利语，并且正在学习梵语、波斯语和阿拉伯语。

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在威廉那同样惊人的计算才能面前，詹姆斯叔叔就不那么能干了，但他尽力为侄子找到了合适的教科书。小威廉于是得以借着自己的法语能力，从一本法语教科书自学微积分——因此他学的是莱布尼茨式的微积分，而不是牛顿的那种形式——十六岁时，他开始研读皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）的《天体力学》（Traité de Mécanique Celeste，即 Treatise on Celestial Mechanics）。这是对牛顿《Principia》的一次里程碑式的更新，纳入了其间一个世纪里数学天文学的全部进展。拉普拉斯是一位伟大的数学家，但十几岁的哈密顿却看出了他推理中的一个缺陷——凑巧的是，那个缺陷正出在力的合成的平行四边形法则上。显然，他已经走在了开创向量的路上了。

这是 1821 年的事。与此同时，一位自学成才的苏格兰女性也在私下研读《天体力学》；十年之后，她将以自己的教科书《天体机制》（Mechanism of the Heavens）震惊英国数学界。她就是玛丽·萨默维尔（Mary Somerville）——我们前面遇到过她，那时她已年过九旬，还在研读哈密顿的四元数——她的书是拉普拉斯那部五卷本巨著前两卷的英译扩充详注本，长达 610 页，另附一篇 70 页的“预备论文”，为非专业读者给出概览。玛丽亚·埃奇沃思读了那篇概览，为之着迷：她发现，她的朋友萨默维尔行文的质朴，极好地契合了“科学的崇高”。至于学界人士，乔治·皮科克就是那些对整本书印象深刻的剑桥数学家之一——印象之深，以至于他们把它用作高等天文学学生的教材。（诚然，它对莱布尼茨式微积分的使用也有助于推进皮科克的课程改革——但那本书实在太好，以至于在接下来一个世纪里一直是标准教材。）萨默维尔欣喜万分——尤其是当评论者谈及，一个自学成才的女性竟写出了一本没几个男人能读懂的书，这是何等非凡时。但她也愤怒不已，因为女性仍然得不到像样的教育——而在 1860 年代后期，她将是约翰·斯图尔特·密尔（John Stuart Mill）那份（最终未获成功的）女性选举权请愿书的第一个签名者。²³

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相比之下，哈密顿确实上了大学——都柏林三一学院（Trinity College Dublin），那里的教学极好，无论是古典学还是数学。他的表现如此出色，以至于还不到二十二岁就被任命为天文学教授和爱尔兰皇家天文学家。几年之后，他因对锥形折射的数学预言而成名，正如我已经提到的。随后，仍在二十多岁的他提出了一种新的动力学解释，它在物理学的许多领域都变得举足轻重——比如在运动物体系统的力学中，以及在描述电子（量子）力学的薛定谔方程中。1833 年，他向皇家爱尔兰学院（Royal Irish Academy）提交自己关于复数“数偶”的最初想法时，还只有二十八岁；三十岁时，他因对数学的贡献而被封为爵士。

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1837 年年底，三十二岁的哈密顿当选皇家爱尔兰学院院长，而他做的头几件事之一，就是去征询刚满七十岁的玛丽亚·埃奇沃思的意见。学院的宗旨是促进科学与人文学科——埃奇沃思的父亲是创建者之一——但哈密顿觉得文学没有得到足够的关注。“举世皆知，”他写信对她说，“您不仅热爱文学，而且是它的成功追求者与有力推动者，因而在与此有关的任何一点上，您的意见都必定极为宝贵。”埃奇沃思的作品今天或许已大体被人遗忘——尽管在 2009 年，其中两部进了《卫报》（Guardian）“人人都该读的 1000 部小说”名单——但在十九世纪初，她是爱尔兰最著名的小说家，而且仰慕她的不只是哈密顿，还有沃尔特·斯科特（Walter Scott）和简·奥斯汀（Jane Austen）这样的人。她给了哈密顿一些中肯的建议——比如为论文竞赛设立奖章，把会费定在普通文学爱好者负担得起的水平——他心怀感激地在自己的就职演说中采纳了其中的大部分。遗憾的是，她还有一条建议是允许女性参加学院的特别讨论之夜，而他没有足够的勇气去处理。她长期倡导女性受教育的权利以及她们参与科学的权利，对他回信中那些托辞并不以为然。尽管如此，他还是在 1842 年主持了她当选学院名誉会员——第一位获此殊荣的爱尔兰本地女性。此前已有三位外国女性获此荣誉——包括玛丽·萨默维尔和卡罗琳·赫歇尔（Caroline Herschel，约翰·赫歇尔的姑母，和她的侄子以及她的哥哥威廉一样是天文学家）——不过她们住在国外，不太可能因为想参加会议而惹恼那些男性。直到 1949 年，学院才接纳第一批正式的女性会员。²⁴

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尽管令人失望的是，哈密顿在那个所谓女性问题上并不像他在数学上那样超越自己的时代，但对向量的故事而言，重要的是他接下来所做的事。首先，高斯等人看到的是一个复数可以被表示为复平面上的一个点，而哈密顿则把它看作一条“有向线段”——换句话说，一支箭头。²⁵ 韦塞尔也有过类似的想法，但无论是哈密顿还是主流中的任何其他人，都不知道这件事。阿尔冈也考虑过“有向线段”，不过真正为向量奠定基础的，是哈密顿的下一步。如果你把两个“数偶”——阿尔冈平面里的两支“箭头” (x, y) 和 (a, b)——相乘，你就得到二维平面中的一次旋转，如图 3.8。所以，复数的乘法是与旋转这个几何操作联系在一起的——正如乘以 i 时那样。于是哈密顿想：有没有可能通过“三元组（triple）”的乘法，来表示三维空间中的旋转呢？

1841 年，他开始认真研究这个问题：当时他读到一篇论文，他的朋友德摩根在其中得出结论说，用代数的方式表示三维几何似乎根本不可能。虚数 i 已经在二维中施展了它那旋转的魔法，但德摩根主张，再没有这样的符号可用了——没有能够把几何从二维的纸面推进到整个空间的新代数思想。

这正是哈密顿所需要的挑战。

SI 单位：Système international d'unités——国际单位制——在国际上缩写为 SI。 ↩
关于 Questiones Mechanicae 及其影响：David Marshall Miller, "The Parallelogram Rule from Pseudo-Aristotle to Newton," Archive for History of Exact Sciences 71 (2017): 157–91，尤见 161–66。按现代标准，《力学问题》只包含一种原始的平行四边形法则，但即便如此，也很少有人领会到它的重要性。 ↩
塔尔塔利亚：他那 45° 的计算假定你是从地面发射，而不是从某一高度发射。“辱骂性的”著作：转引自 Michael Brooks, The Art of More (Melbourne: Scribe, 2021), 94。在此处以及下一段中，我受惠于 Brooks，也受惠于 J. J. O'Connor 和 E. F. Robertson 在圣安德鲁斯大学 MacTutor 上关于塔尔塔利亚的文章，https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Tartaglia/#:~:text=Quick%20Info&text=Tartaglia%20as%20an%20Italian%20mathematician,published%20in%20Cardan%27s%20Ars%20Magna。 ↩
Miller, "Parallelogram Rule," 164。 ↩
Joseph Jarrett——在 "Algebra and the Art of War: Marlowe's Military Mathematics in Marlowe's 'Tamburlaine I and II,'" Cahiers Élizabéthain 95, no. 1 (2018): 19–39 中——提出，马洛之所以能在小小的舞台上表现宏大的战争场面，是因为他运用了某种紧凑的表示法，类似于哈里奥特所开创的代数符号。Jarrett 也让我注意到了阿尔特多费尔的战争画。 ↩
伽利略和哈里奥特对下落运动与水平抛射的理解是正确的，但他们把抛射体的斜向运动当作单一的一种减速运动来处理，而不是用相互独立的分量来处理：Matthias Schemmel, "Thomas Harriot as an English Galileo: The Force of Shared Knowledge in Early Modern Mechanics," in Thomas Harriot, vol. 2, Mathematics, Exploration and Natural Philosophy in Early Modern England, ed. Robert Fox (Farnham, Surrey: Ashgate, 2012), 89–111，尤见 95, 97。 ↩
伽利略、斯蒂文、笛卡尔与平行四边形法则：Miller, "Parallelogram Rule," 166, 167, 170, 183, 186。 ↩
哈里奥特的计算（图 3.3）：在每幅图中，左侧的实心圆 a 和 A 表示两个球的起点。它们在中间相撞，并反弹到虚线圆所示的位置。图下方的计算考虑了两个球的速度和质量：哈里奥特考察的是在给定时间间隔 x 内发生的事情，因此速度是用两球之间连线的方向和长度来表达的，这与我们今天用向量的做法类似。哈里奥特仔细地解释了他对平行四边形法则的运用。例如，他说，如果没有发生碰撞，那么在第二个时间间隔 x 内，球 a 本会以同样的速度沿同一条直线 ab 继续运动——可见他已经直觉到了运动第一定律。不过，在发生碰撞时，这一运动被“平移”到了平行线 fc 上——他强调，这不是物理上的平移，而是为了“合成表观运动”。第二个球同理，运动 AB 被平移到了 FC。点 f 和 F 是由每个球在碰撞前后的运动合成得到的。例如，对于第一个球，bf 等于（我们会称之为）两个向量之和：（负的）小球初始运动的垂直分量 bd——也就是它仿佛只是从一个等质量的静止球上弹回时的运动——加上由大球的动量（按我们的说法）所传递的额外运动的垂直分量 df(=gb)。用动量守恒和动能守恒来做会更容易，但这些概念在哈里奥特的时代还没有。不过，他的图的对称性表明，他假定了“冲力”的守恒；而图下方的计算——其中他的 $\bar{b},\bar{B}$ 表示两个球的速度，b, B 表示它们的质量——本质上与我们的动量守恒计算相同。请注意是他对 $\left(\bar{b}+\bar{B}\right)\left(b+B\right)/B$ 的记法。（他在这一项上犯了一个小错误。） 哈里奥特的小错误（以及对他论文的分析）：Johannes Lohne, "Essays on Thomas Harriot," Archive for History of Exact Sciences 20, nos. 3/4 (1979): 189–312，以及 Jon V. Pepper, "Harriot's Manuscript on the Theory of Impacts," Annals of Science 33, no. 2 (1976): 131–51, DOI: 10.1080/00033797600200191。 ↩
“仿佛”是哈里奥特的原话，正如在 Miller, "Parallelogram Rule," 158 这样的现代记述中一样。哈里奥特的论文首次发表于 1970 年代：拉丁文原稿的英译见 Lohne, "Essays on Thomas Harriot"。 ↩
沃利斯与哈里奥特：Jacqueline Stedall, "Rob'd of Glories: The Posthumous Misfortunes of Thomas Harriot and His Algebra," Archive for History of Exact Sciences 54, no. 6 (2000 年 6 月): 483。沃利斯与费马：Miller, "Parallelogram Rule," 171–72, 186–87。 ↩
沃利斯试图找到一种思考形如 x² + 2bx + c² = 0 的二次方程复数解的方法——如果你还记得通过配方推出的求根公式，你就知道 $x=-b\pm\sqrt{\left(b^{2}-c^{2}\right)}$。当 b ≥ c 时，沃利斯找到了把两个解表示为实数直线上点的办法——于是他试着对 b < c 时得到的复数解做类似的处理。他通过考察 $x=-b\pm\sqrt{\left(c^{2}-b^{2}\right)}$ 来避免直接处理 i；而且他用的是三角形的烦琐作图来表示他的解，而不是像我们今天这样把它们表示为复平面上的点。John Stillwell 在图 13.3 中展示了沃利斯的尝试及其缺陷，见 Mathematics and Its History (New York: Springer-Verlag, 1989)。 ↩
欧拉对 e 的定义的现代版本是 $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$。这一思想最早出现在雅各布（或雅克）·伯努利（约翰／让的哥哥）对复利的研究中；更早，虽然是隐含地，出现在约翰·纳皮尔的对数以及哈里奥特未发表的关于连续复利和渐长纬度的计算中。但正是欧拉认识到这个数的威力，并使之得到了应有的关注。他还把它写成泰勒级数，这正是计算 e 的十进制近似值的方法，比如你计算器上显示的那个（我的是 2.718281828）。 ↩
论欧拉及其恒等式：Ed Sandifer, "How Euler Did It," MAA Online, 2007 年 8 月。另见 Carl Boyer, History of Mathematics, rev. Uta Merzbach (New York: John Wiley and Sons, 1991), 443–44（关于欧拉与大学数学，见 441–42）。棣莫弗与牛顿：Orlando Merlino, "A Short History of Complex Numbers," University of Rhode Island, 2006 年 1 月。 ↩
欧拉与费马大定理：后来的数学家发现，费马并没有证明他证明中的某一步，但那一步本身是正确的；这一点，以及欧拉在证明中对复数的使用，在 Harold M. Edwards, "Fermat's Last Theorem," Scientific American 239, no. 4 (1978 年 10 月): 104–23 中有很好的解释。 ↩
欧拉／达朗贝尔：Stillwell, Mathematics and Its History, 202。索菲·热尔曼没有发表她关于费马定理的工作，但勒让德在 n = 5 的证明中使用了她的一个结果，并把这一结果归功于她。 ↩
哈密顿的苹果与橘子：Karen Hunger Parshall, "The Development of Abstract Algebra," in The Princeton Companion to Mathematics, ed. Timothy Gowers et al. (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2010), 95–106，尤见 105。 ↩
高斯的话转引自 Christian Gérini, "Argand's Geometric Representation of Imaginary Numbers," University of Toulon, 2009 年 1 月，Helen Tomlinson 英译，2017 年 4 月，在线见 http://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/21-argand-analysis.pdf。阿尔冈的“有向直线”也见此文。德摩根的话转引自 Raymond Flood and Robin Wilson, The Great Mathematicians (London: Arcturus, 2011), 143。关于德摩根的更多背景：Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty (New York: Oxford University Press 1982), 155–56。 ↩
巴贝奇的话转引自 Dirk Struik, A Concise History of Mathematics (New York: Dover, 1967), 168。 ↩
哈密顿的话转引自 Janet Folina, "Newton and Hamilton: In Defense of Truth in Algebra," Southern Journal of Philosophy 50, no. 3 (2012): 515。 ↩
哈密顿的历程，从负数／时间的科学到复数二元组再到四元数，Teun Koetsier 在 "Explanation in the Historiography of Mathematics: The Case of Hamilton's Quaternions," Studies in History and Philosophy of Science Part A 26, no. 4 (1995): 593–616 中有详细阐述。哈密顿作为向量的“步”：见他的 Lectures on Quaternions (Dublin: Hodges and Smith; London: Whittaker; and Cambridge: Macmillan, 1853), 3ff。 哈密顿之于复数的重要性：Parshall, "Development of Abstract Algebra," 105；Boyer, History of Mathematics, 583。哈密顿援引牛顿论时间的代数：Folina, "Newton and Hamilton," 513。 ↩
德摩根论哈密顿的二元组：转引自 Diana Willment, "Complex Numbers from 1600 to 1840"（硕士论文，Middlesex University, 1985）, 102。哈密顿、符号体系、德摩根：Koetsier, "Explanation," 610。 ↩
文学界的朋友，包括华兹华斯，对哈密顿的仰慕：Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press, 1967), 22；以及 Daniel Brown, The Poetry of Victorian Scientists: Style, Science and Nonsense (Cambridge: Cambridge University Press, 2013), 1。玛丽亚·埃奇沃思论哈密顿："Miss Edgeworth Advises," Royal Irish Academy (RIA)（博客），2018 年 6 月 24 日，https://www.ria.ie/news/library-library-blog/miss-edgeworth-advises。 ↩
玛丽亚·埃奇沃思、皮科克与萨默维尔：见我的 Seduced by Logic: Émilie du Châtelet, Mary Somerville and the Newtonian Revolution (New York: Oxford University Press, 2012), 195, 197–98。 ↩
玛丽亚·埃奇沃思与皇家爱尔兰学院：RIA（博客），"Miss Edgeworth Advises"，以及 Clare O'Halloran, "'Better without the Ladies': The Royal Irish Academy and the Admission of Women Members," 18^th–19^th Century Social Perspectives (History Ireland) 19, no. 6 (2011 年 11 月／12 月): 42–46。 ↩
哈密顿论作为有向直线的向量：例如他的 Lectures on Quaternions, 35。 ↩

第 3 章 向量的构想¶

故事中一个出人意料的转折¶

哈密顿登场¶

一位耀眼的奇才¶

第 3 章　向量的构想¶