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第 4 章　理解空间（与存储）

哈密顿把他的“三元组（triplet）”代数反复琢磨了好些年，到 1843 年秋天，连他的孩子们都在追这个连载故事了。尽管他们年纪很小，哈密顿还是试着向八岁的阿奇博尔德（Archibald）和九岁的威廉·埃德温（William Edwin）解释过他的基本想法；而现在每天早餐时他们都会问：“那么，爸爸，你会乘三元组了吗？”而每天早晨哈密顿都难过地摇摇头说：“不会，我只能把它们加起来、减掉。”¹

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哈密顿的好几封信里都有动人的段落，提到他给“我的孩子们”讲解数学；而就三元组而言，起初看上去答案简直会是儿戏——至少对哈密顿这样的神童来说是这样。毕竟，用一个由实数组成的复数“二元组（couple）”(x, y) 去做乘法，等价于在二维平面中旋转有向线段 OP = x + iy，就像图 3.6–3.8 那样——那么在三维空间中，你当然会有“三元组”(x, y, z)，而你只要旋转 OP = x + iy + jz 就行了。当然，你得发明出 j，另一个像 i 那样的虚数，但这看起来够直截了当：如果你把阿尔冈平面（Argand plane）推广到三维，让 j 指向第三条轴的方向，你就会得到一个新的虚数，它因为方向不同而区别于 i。而如果你通过与 i 类比来定义乘上 j 的运算——也就是把它定义为 x-z 平面中的一个旋转——你就会得到 j² = −1。（事实上，今天的工程师用 j 表示 \(\sqrt{-1}\)，因为他们用 i 表示电流。）可是这样一来，这个新数 j 与原先的 i 之间的代数区别又是什么呢？

图 4.1　威廉·罗恩·哈密顿爵士与他的一个儿子（约 1845 年）；经皇家爱尔兰学院许可使用 © RIA。在那个年代，拍照需要很长的曝光时间，这大概解释了为什么照片上的哈密顿从来不笑；不过大家都说，他极富幽默感。

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哈密顿做的第一件事，是去核对代数的定律——德摩根（Augustus De Morgan）和皮科克（George Peacock）已经开始把这些定律形式化了。在把 x + iy + jz 与 a + ib + jc 这样的数相加时，相加的次序显然无关紧要；你也可以相当确信结合律同样成立。（我在尾注里重温了这两条定律。²）

然后是代数“封闭性（closure）”这个概念，用现代数学家的说法。两个整数相加，得到的还是整数；两个实数相加，得到的还是实数；两个复数相加，得到的还是复数。显然，两个“三元组”相加时封闭性也成立。所以这一切都轻松愉快。真正棘手的将是乘法。

哈密顿当初只是把 (x + iy)(a + ib) 展开，就找到了他的二元组乘法规则。但如果你把 (x + iy + jz) 与 (a + ib + jc) 逐项乘开，你会发现不仅需要 i² = j² = −1，还必须弄清 ij 和 ji 是什么意思。表面上看，这些多余的项提示三元组的乘法不是封闭的——而对一个纯粹数学家来说，这意味着三元组并不构成一个一致的乘法代数。（如果你永远不知道一个乘积会得到什么类型的数，你就不可能设计出对你初始集合中所有可能的数都成立的一致代数规则——而没有规则，你就无法解方程。）

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本着良好的数学研究作风，哈密顿首先试着把事情简化，假定 ij = 0。那当然能让乘法封闭，但这太牵强了——在普通的算术和代数里，你不能把两个非零的量相乘而得到零。（如果其中一个或两个矩阵的行列式为零，你是能从两个非零矩阵的乘积得到零的，比如矩阵方程 AX = 0 的情形——但矩阵代数出现在四元数之后。）另外还有别的定律要检验——哈密顿尤其担心他称之为“模律（law of moduli）”的那一条，我在尾注里做了解释。³ 然而，为了让模律对三元组成立，哈密顿发现 ij 不能等于 0。正如他告诉约翰·格雷夫斯（John Graves）的那样——格雷夫斯是他大学时代的老朋友，也在思考如何把复平面加以推广，他的弟弟罗伯特（Robert Graves）后来还写过一部充满同情之理解的哈密顿传记——他于是在绝望中试着令 ij = −ji，尽管这与普通算术的抵触程度不亚于 ij = 0。他甚至试过 ij = j 和 ji = i。可是，尽管所有这些古怪的可能性确实简化了乘法的某些方面，他的新数仍然不满足模律。⁴

哈密顿一定曾极其想放弃。也许这真的不可能，就像他的朋友德摩根所说的那样。

一段数学友谊、两桩婚姻，以及一场终于得偿的追寻

德摩根是个有意思的人物，撇开他在抽象代数基础方面开创性的工作不谈。他活泼开朗、思想自由，始终没有接受体制化的宗教——还在上学时，他就宁可在长椅上刻方程，也不愿听布道。他自认为是一个“无门无派”的基督徒，并且对宗教自由与思想自由充满激情——激情到这样一种地步：尽管他求学于牛顿（Isaac Newton）的母校三一学院（Trinity），他却拒绝立下剑桥与牛津的研究员职位所要求的安立甘宗（Anglican）宣誓。牛顿同样拒绝过这个宣誓，倒不是因为他赞成宗教宽容——远非如此——而是因为他是一个秘密的阿里乌派（Arian）信徒，这意味着他不相信耶稣具有神性。但牛顿才华过于出众，国王给了他特许，他照样拿到了剑桥的研究员职位。德摩根不久之后发表了几篇关于牛顿的敏锐文章。他极为钦佩牛顿的天才，也钦佩他本质上的为人正直。但他自己的正义感又迫使他直言这位伟大数学家的缺陷，尤其是在与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）的优先权之争一事上。这是极少有人敢做的事，因为牛顿的心智看起来如此神明一般，而他又已经被崇拜了两个世纪。⁵

和哈密顿一样，德摩根初次就任教授职位时还不满二十二岁——他任教的是英格兰第一所无宗派大学，即新成立的伦敦大学（London University），不久后改名为伦敦大学学院（University College, London）。两人出生也只相差不到一年，尽管德摩根在婴儿时期就一只眼睛失明了。他上学时曾因视力残疾而受欺负，但就像莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）那样，他并没有让它妨碍自己成为一流的数学家。

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德摩根很幸运地在妻子身上找到了一个志趣相投的灵魂，她就是受过良好教育的社会活动家、论辩家与唯灵论者索菲娅·弗伦德（Sophia Frend）。两人都如此热烈地献身于自由，以至于他们采取了在婚姻登记处结婚这一不寻常的做法，以此宣告自己的宗教独立。相比之下，用哈密顿的一位追随者的话说，哈密顿具有“一种极为虔诚敬畏的天性”，他是一位虔诚的安立甘宗信徒，而据说他的妻子海伦尤其笃信宗教。⁶

哈密顿也是个感情丰富的人，海伦不在身边他就难以安心工作。但有时候——尤其是在她怀孕或哺乳期间——她会在邓辛克天文台（Dunsink Observatory）那黑暗而偏远的院落里感到不安；那里距都柏林五英里，自哈密顿被任命为爱尔兰的皇家天文学家之后，他就一直住在那儿。她开始离家住到附近的亲戚家去，而哈密顿也常去那里陪她。然而到了 1841 年——也就是他们的女儿海伦·伊莱扎（Helen Eliza）出生一年左右之后——她离开丈夫和孩子，去英格兰和她的姐姐同住。她离开了大约一年，于是各式各样的流言开始满天飞，说什么他们的婚姻糟糕透顶，说哈密顿显然染上了酒瘾。有两件事火上浇油：一是他失去初恋凯瑟琳·迪斯尼（Catherine Disney）这件事人所共知，原因正是当时严格的浪漫礼仪所滋生的那类误解，而简·奥斯汀（Jane Austen）仅仅在一二十年前就在她的小说里凸显过这种礼仪；二是随着禁酒运动（temperance movement）声势渐起，1830 年代与 1840 年代社会对饮酒的态度急剧收紧。于是，随着时间推移，这些故事被传得越来越离谱，不公正地损害了哈密顿生前、乃至一直到今天的声誉。⁷

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尽管近来的学术研究提示，哈密顿夫妇的婚姻远比流言所说的幸福，德摩根夫妇的家庭生活看来却是美满如意。索菲娅的父母是那位诗人的分居妻子拜伦夫人（Lady Byron）的朋友；而在 1840 年至 1842 年之间的几年里——当时哈密顿夫妇正在应对海伦的焦虑与疾病的折磨——德摩根在给拜伦家那位非凡的女儿阿达·洛芙莱斯（Ada Lovelace）做家教。（她的第一位数学引路人是玛丽·萨默维尔（Mary Somerville），后者那时已经为了更宜人的气候移居意大利。）一年之后，洛芙莱斯写出了她对查尔斯·巴贝奇（Charles Babbage）所设计的一台先进计算机器的数学发挥——而她的评注里包含了通常被认为是最早的计算机程序。它发表的时间，恰好就是哈密顿发现四元数（quaternion）的那个月——事后看来，这是一个有预兆性的时间巧合，因为我们很快就会看到，正是计算机编程揭示出了四元数真正的计算经济性。⁸

与此同时，哈密顿仍在追寻四元数的苦战中挣扎；而当德摩根宣称三维复数代数不可能存在时，哈密顿把那当作了一个严肃的挑战。毕竟，他和德摩根都在寻找让代数变得有意义的方式——给它一个逻辑基础，就像几何学自两千年前欧几里得（Euclid）的时代起就拥有的那样。正是这种欧几里得式的严格，使得牛顿用几何方式为《自然哲学的数学原理》（Principia）中的定理辩护，而不是借助更紧凑、但在方法论上仍站不住脚的代数微积分。至于更根本的代数问题，我已经说过，正是因为缺乏对负数与虚数的具体解释，早先的数学家才把它们打发掉——但德摩根在这个语境下挖苦地指出：“要让心灵得到一个安逸的枕头，没有什么比把一切可能惹麻烦的东西统统拒之门外更省事的了。”⁹

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哈密顿绝不是会使用安逸枕头的人。所以他锲而不舍地一路磨下去，试了这个再试那个，从不放弃这样一个想法：既然你能用实数 (x, y) 写出普通的二维复数的代数，那你就应该能把它推广到 (x, y, z)——甚至，正如他在 1841 年告诉德摩根的那样，推广到任意多个维度，写成 a = (a₁, a₂, … , a_n)，其中 a₁, a₂, … , a_n 都是实数。他颇有先见之明地说，单个符号 a “指示着一个（复合的）思想”。他进而用他关于时间的数学哲学来展开这一点，向德摩根提示：这 n 个数——你可以根据问题任意选取 n 的值——代表着事件的一种时间顺序，因而也就代表着一种“因果观念”。不过，虽然哈密顿最终会从他对时间的迷恋中走出来，他在这里已经瞥见了一件重要的东西：一个单独的符号可以编码许多条信息，或者说是“一个复合的思想”。正如我说过的，这正是向量（vector）与张量（tensor）的威力的一部分，它也将有助于解释四元数的计算经济性。¹⁰

哈密顿在这场追寻中如此拼命，他的书房乱七八糟地堆满了纸张，散落在书桌上、在地板上堆得老高，他还常常不吃饭，靠别人送到房间里的零食撑着。但后来有一天，他的坚持得到了回报，他突然冒出一个惊人的想法。正如他向约翰·格雷夫斯解释的那样：“我心里渐渐浮现出这样一个念头：我们必须在某种意义上承认空间的一个第四维。”他的意思是，如果他引入第三个虚数 k——它立刻提示存在一个新的“四维”复数 a + ib + jc + kd——并且把 k 定义为 ij，那么三元组的模律终于就能成立了。你可以在下面的尾注里看到为什么；但正是这个奇妙的洞见击中了他，仿佛“一个电路接通*了，一道火花迸射而出”，就在 1843 年那个都柏林的秋日，他和海伦正沿着布鲁姆桥（Broome Bridge）散步的时候。¹¹

到了给他的新四维数命名的时候，我不太明白他为什么没有顺着他的“二元组”和“三元组”叫成“四元组”或“四元数组”——不过“四元数”确实听起来响亮，而哈密顿对诗歌颇有鉴赏力。正如德摩根后来回忆的：“哈密顿自己说过，‘我靠数学谋生，但我是一位诗人’。这样一句格言也许会让我们的读者感到意外，但他们应当记住，数学发明的推动力不是推理，而是想象。”然而哈密顿的朋友威廉·华兹华斯（William Wordsworth）却觉得，哈密顿的想象用在数学上比用在诗上更合适。而他确实有着惊人的创造力，他既开创了向量分析，又——按照量子先驱埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）这样一位权威的说法——开创了量子力学核心的数学。¹²

哈密顿在那次电光火石般的顿悟之后兴奋不已，当场就在那座石桥上刻下了一行简短的式子，

i² = j² = k² = ijk = −1.

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它包含了他“用几何来计算”所需要的全部东西——用他的话说——包括计算三维空间中的旋转。因为这行简单的方程，正是写下他那三个虚数之间必需的代数关系的一种紧凑方式：

ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik.

（如果你在代数上把玩它一番，就能看出这是如何从那行涂鸦推出的：比如，k² = ijk ⇔ k = ij。）¹³ 利用这些定义，如果你有耐心完成像

(a + ib + jc + kd)(w + ix + jy + kz),

这样的四维乘法，你就会看到四元数不仅满足模律，而且满足普通实数与复数乘法的所有定律——除了交换律。也就是说，

(a + ib + jc + kd)(w + ix + jy + kz) ≠ (w + ix + jy + kz)(a + ib + jc + kd).

正是最后这个结论带来了启示，而你不必做那些繁琐的乘法也能猜到它，因为那些虚数乘积本身——ij 之类——就是不可交换的。对哈密顿来说，这是勉为其难的一步：他多年来一直努力想让三元组、继而是四元数合乎通常的算术定律，所以他值得称道，因为他有勇气迈出这一步——并且认识到自己撞见了一种全新的代数。

整体向量与四元数的非凡代数

哈密顿指出，像 P = w + ix + jy + kz 这样的四元数有两部分。他把那个孤零零立着的实数——这里用 w 表示——称为“标量（scalar）”，并把虚部 ix + jy + kz 命名为“向量”。“vector”一词来自拉丁语中表示“携带者”的那个词，而“半径向量（radius vector）”这个术语在天文学中一直被用来指那条“把”一个点“带到”另一个点的可动视线——比如说，从眼睛到一颗恒星或行星。但正如哈密顿后来（在他的《四元数讲义》（Lectures on Quaternions）中）会指出的那样，“半径向量”是一个标量，一个只表示模的数，而他的术语“向量”表示的则是模与方向。

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哈密顿的虚数向量 ix + jy + kz 看上去非常像你可能认得的那个向量 xi + y**j + zk，其中 i, j, k** 用粗体排印，是因为它们不再是基础的虚数——毋宁说，它们是实的“单位向量（unit vector）”，即模（或者说长度）为“单位”（也就是 1）的向量。所以你已经在这里看到了今日向量的雏形，不过在这个故事里，我们还要再走一段路，才能看到这一切是如何发生的。

四元数符号 P 编码着四条信息——标量 w 以及向量的三个分量 x, y, z——所以你可以把 P 想成代表着“一个复合的思想”，正如哈密顿早在 1841 年写给德摩根的那封焦虑的信中所预见的那样。

如果我们从未来借来粗体字，以区分哈密顿的向量与他的标量，那么就可以把这个四元数 P 连同它的虚数“基”i, j, k 写作

P = w + p，其中 p = ix + jy + kz.

（哈密顿有时也像我们对向量所做的那样，把虚数放在实数分量之后，所以 ix, jy, kz 中虚数与实数的次序无关紧要——如果你愿意，可以把它想成 xi, yj, zk。）所谓“基（basis）”，本质上只是一组相互独立的单位量，每个轴上有一个。更专业地说，这些基量据说张成（span）了进行计算的向量空间（vector space）；不过这些概念当时还没有被恰当地表述出来；这里的要点是，如果你把单位虚数基 (i, j, k) 换成单位向量基 (i, j, k)，并写成 p = xi + y**j + zk，你同样可以很好地写出向量 p* = ix + jy + kz 中的信息。这是因为关键在于，两种情形下分量都具有相同的数值 (x, y, z*)——因为无论哪种方式，你使用的都是笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system）。而当你用向量做计算时，需要的正是这些分量。

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换句话说，你可以把一个向量看作一种存储数据的装置——数据存在分量的数值里——而基就是这个装置的硬件。不同的装置有不同的设计——在这里是一个实的基 i, j, k 或一个虚的基 i, j, k——但它们存储的是相同的信息。不过这是事后之明：从哈密顿的向量到现代向量之间那场出人意料地充满火药味的过渡，是第 8 章的故事；我在这里提到它，是写给熟悉现代向量的读者看的。

如果你确实熟悉向量，哈密顿的四元数也许会显得奇怪：又是一桩苹果与橘子混为一谈的事，因为把向量加到标量上，可不是我们在本科向量分析里会做的事。但在故事的这个阶段，我们需要像哈密顿那样，简单地把一个向量看作一个四维复数的虚部——一个遵循他刻在布鲁姆桥上那些虚数规则的代数表达式。

记住这一点，现在取第二个四元数，

Q = a + ib + jc + kd（或 a + bi + cj + dk）= a + q.

哈密顿发现，当你把 P 与 Q 的乘积逐分量地乘开，并把所得各项按标量或向量归类时，你会得到两种新的乘法，这里用现代的“点”与“叉”来表示：

PQ = wa − p ∙ q + wq + a**p + p × q.

这是一个惊人紧凑的表达式，考虑到它实际上包含着二十二次乘法和十一次加法或减法。这种非凡的经济性，是四元数与整体向量（whole vector）——即用这里粗体字这类专门记号表示的向量，而不是靠列出分量来表示的——的威力之一。除了那个负号，在计算上哈密顿的“标量积”与“向量积”——分别是 p ∙ q 与 p × q——与现代的完全一样；所以，为了看出四元数（以及整体向量）乘法的紧凑性，我在尾注里给出了这两种乘积的现代分量形式，尽管你大概在数学课上已经熟悉它们了。¹⁴ 但你可能不知道，今天常用于表示向量的粗体字，要归功于那位特立独行的英国人奥利弗·亥维赛（Oliver Heaviside）。我们后面会正式认识他，同时也会认识那位温文尔雅的美国人约西亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）；正是后者给了我们表示标量积（现在也叫“点积（dot product）”）的点号，以及表示向量积（或称叉积（cross product））的叉号。

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图 4.2　图 4.1　叉积的右手定则。如果你把右手的手指顺着从 p 到 q 的箭头所示方向弯曲——在本例中是逆时针方向——你就能从拇指的方向得到 p × q 的方向：它将指向朝上、即 z 的正方向。要找出 q × p 的方向，你必须把右手翻转过来，让手指顺时针弯曲，此时你的拇指将朝下，指向 z 的负方向。本例中 p 与 q 都在 x-y（水平）平面内，但无论它们位于哪个平面，它们的向量积都会垂直于该平面。

哈密顿本人并没有把这两种新的乘积指定为向量的乘积；毋宁说，他把它们称为四元数乘积的“标量部分”与“向量部分”。尽管如此，对于他的两个四元数 P 和 Q，哈密顿把标量 w 与 a 设为零，然后就像我们今天所做的那样把向量分量乘开——只不过他没有使用粗体字母和点号或叉号，而是把 S. PQ 写成“标量部分”（也就是我们的标量积），把 V. PQ 写成“向量部分”（也就是我们的向量积）。标量积是可交换的，而向量积不可交换，这一点被编码在那个叫作“右手定则（right-hand rule）”的记忆装置里（图 4.1）。这条定则的意思是：当你把手指顺着从向量 p 到向量 q 的方向弯曲时，你的拇指指向乘积向量 p × q 的方向。但如果你把乘法的次序颠倒过来，你的拇指就指向相反的方向。这意味着 p × q = −q × p。而由于向量积不可交换，整个四元数乘积 PQ 也就不可交换。

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正如你在图中（以及上一条尾注中）所看到的，向量积或叉积的关键之处在于：它们把两个向量相乘，得到另一个向量；标量积或点积则把两个向量相乘，得到一个标量。（这也正是那个数学笑话的由头：“把一个登山者和一只蚊子叉起来，你会得到什么？”答案是：“什么也不是：你不能把一个 scaler 和一个向量叉起来”——因为叉积只能作用于两个向量，而不能作用于一个标量和一个向量。这也顺带点出了“vector”一词的生物学定义，即一种把病原体从一个动物或植物“携带”到另一个的有机体。原文此处用的是 scaler，意为“攀登者”，与 scalar（标量）谐音双关。——译者注）

这种不可交换的向量乘法，在抽象代数的世界里是一件大事，用哈密顿的话说，是一次“古怪的、近乎狂野的”启示。因为这是有记载的四千年数学史中，头一次有人发现一个自洽的代数系统，其中 XY 并不等于 YX。而这意味着有一整个全新的代数世界等待探索，谁知道那里会有多少潜在的应用。这就是为什么哈密顿常被称作“代数的解放者”。

打破规则，开启新世界

哈密顿自己起初也为这样一个事实感到困惑和担忧：他的四元数竟引导他去打破一条如此古老而受人尊崇的规则。但在我们看他如何用他的新数学来表示空间中的旋转之前，让我先给你看一些其他非凡的新代数与应用——正是他所发现的不可交换乘法为它们打开了大门。

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比如说今天，不可交换代数支撑着量子力学与广义相对论。在量子力学中，维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）著名的不确定性原理说的是，你不能精确地同时测量一个量子粒子的位置 X 与动量 P。但你可以先精确测量其中一个属性，比如说位置，然后再精确测量另一个。麻烦在于，等你做完这第二次测量，你先前所做的那个位置测量就已经不再那么准确了，因为亚原子粒子始终在运动或振动——所以如果你再测一次，就会得到一个不同的答案。这就是不可交换性在起作用，而它有一个专门的方程（海森堡的原理正是从它推出的，而 X 与 P 实际上是矩阵）：

\[XP-PX=i\frac{h}{2\pi}.\]

其中的 h 是普朗克常数（Planck's constant）；它代表着测量的根本极限，而且它极其微小：以 kg m²/秒（或焦耳·秒）为单位，其值为 6.6260693 × 10⁻³⁴。微小归微小，h 并不等于零，而这一点才是关键——因为如果测量可观测的位置与动量的先后次序无关紧要，你就会有 XP − PX = 0。这当然等同于 XP = PX，那不是别的，正是交换律。

在广义相对论中，不可交换性给出了时空曲率的一种度量，所以我们讲到张量时会再回到这一点。同时，你也许已经在想：除了向量，普通的矩阵提供了一个更熟悉的不可交换乘法的例子。

矩阵再现（以及一则关于当时技术的适时附注）

矩阵，或者说阵列，是简洁地表示大量数据的好办法——所以它们也与向量和张量有关。事实上，数学家把信息排成阵列和表格已有数千年之久——但在阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）讲明白如何去做之前，他们并没有把这些阵列本身当作代数的实体来加、来乘；而凯莱这么做，是在哈密顿宣布他的四元数代数十五年之后。

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凯莱比哈密顿小十五岁，生命中的头八年是在俄国度过的（当时他经商的父亲常驻圣彼得堡）。他以全班第一的成绩毕业于剑桥三一学院（Trinity College, Cambridge），并在那里凭借一个临时研究员职位（fellowship）教了几年书。正式的研究员职位需要立下安立甘宗的誓愿，所以尽管他是一位虔诚的安立甘宗信徒，接受圣职（Holy Orders）还是走得太远了一步；1846 年，他开始接受律师培训。他的多产几乎不下于欧拉：在他做房产律师的十四年里，他利用业余时间写了近三百篇数学论文，此后又写了数百篇。他最早期的论文之一——写于他离开剑桥去学法律之前——是关于四元数的；凯莱是公开接过哈密顿这个想法的第一人。这篇论文发表于 1845 年，距离哈密顿 1843 年 11 月 13 日在皇家爱尔兰学院宣读的一篇论文中首次宣布他的发现，仅仅一年多一点。而当哈密顿 1848 年在都柏林大学做了四场关于四元数的系列讲座时，凯莱就在听众之中。¹⁵

和一切事物一样，凯莱关于矩阵的工作也不是凭空出现的；此前在卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）以及不那么知名的费迪南德·艾森斯坦（Ferdinand Eisenstein）的工作中已有先声——后者是在遇见哈密顿之后受到鼓舞而投身数学的，却因肺结核在仅仅二十九岁时悲惨地早逝。凯莱自己关于行列式（determinant）的工作也是其先声——行列式是在矩阵之前发展出来的，尽管今天我们是把它当作矩阵的性质来学习的。即便在古代世界，中国数学家在列出并求解联立一次方程（simultaneous linear equation）时——用的是阵列和今天所谓高斯消元法（Gaussian elimination）的一种形式——就已经瞥见了矩阵的思想。（“一次（linear）”方程只含 x、y 等等，就像你在直线方程中所得到的那样——它们不包含未知数的乘积或幂，比如抛物线或者圆的“二次（quadratic）”方程里的那个 x²。除了能描述直线之外，一次方程还有许多有用的应用，比如优化（optimisation）——例如优化一个机器学习模型的准确度，或者优化企业的成本。它们在描述如何以特定方式从一个坐标系变换到另一个坐标系时也至关重要——比如当你想实实在在地旋转或平移你的笛卡尔坐标系、或者其中的向量时，我们后面会在图 4.2 中看到。随着这个故事推进，这类“线性变换方程（linear transformation equation）”将扮演越来越重要的角色。）

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中国古代那套“高斯消元法”保存在有着两千年历史的《九章算术》（Jiuzhang Suanshu，或《Nine Chapters on the Mathematical Art》）之中，它远远超前于自己的时代。中世纪的印度数学家做过类似的事情——而在七世纪，婆罗摩笈多（Brahmagupta）甚至用阵列来解二次方程。所有这些早期的方法都是纯算法式的——对计算机来说是理想的！所以它们是专门计算性的——对每个问题都隐含着一个“先做这个、再做那个”的计划——而不像符号矩阵代数那样是代数的、一般的（也确实不像牛顿与莱布尼茨的符号微积分算法）。因为高斯消元法并不使用矩阵的乘法或加法。¹⁶ 凯莱所使用的，与《九章算术》那位佚名作者所想到的，是同一种方便的联立方程表示法——但因为他拥有符号代数这一有利条件，这最终把他引向了矩阵理论。不过一开始，他只是在试着解方程，就像他那些古代的先辈一样——只不过他研究的是他的朋友詹姆斯·西尔维斯特（James Sylvester）不久之后会称之为“不变量（invariant）”的东西。¹⁷ 关于不变量，后面还会再说，因为它们是张量概念的基础，而且在相对论中尤其重要。它们也用到了我刚刚提到的线性变换方程这一思想。

1840 年代初，凯莱开始就变换与不变量的课题与乔治·布尔（George Boole）通信。今天我们想到布尔，是因为他发展了支撑计算机的“布尔（Boolean）”代数逻辑，但那要稍晚一些，是在哈密顿的四元数开启了全新的符号代数的可能性之后。这又是一个例子，说明四元数的发现不仅自身重要，也有助于激发一整批新的代数发现，从矩阵到符号逻辑。总之，凯莱当时还是剑桥一位年轻的数学教授，而自学成才的布尔正在林肯（Lincoln）经营一所学校，尽管他很快就会在科克（Cork）获得一个教授职位。两人就各自的研究通信往来，凯莱开始盼望他们能当面会晤——可是，他感叹道，两座城镇之间还没有铁路相通。¹⁸

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凯莱的感叹是对那个时代技术的一则有意思的评语——它提醒我们，最早使用蒸汽机车同时运送旅客与货物的公共铁路建成不过十年多一点，而且它们仍在扩建之中。然而它们已经在为纺织品之类的工业制品创造新的市场，而这些新市场反过来又会推动新的科学与技术革新。工业革命正进行得如火如荼——蒸汽机的发明就是其中的一部分——而铁路工程本身正在引发新科学发现的新应用，比如用电磁电报这一崭新发明来协调列车运行。电磁现象本身二十年前才被发现，所以这一应用凸显了经济与创业精神同科学、数学与技术之间那条古老的、双向的联系。

不幸的是，这种联结常常忽视技术对环境的影响。至少在当时还有一个借口——如果无知也算借口的话：还要再过十年，美国气候科学的先驱尤妮斯·牛顿·富特（Eunice Newton Foote）——艾萨克爵士的一位远亲——才会发表她那篇关于大气二氧化碳增热效应的里程碑论文；而这项激动人心的十九世纪新技术，正在大量喷吐着二氧化碳。倒不是说富特和其他早期的气候科学家在多么认真地思考未来的气候变化；他们关注的是地球过去的气候是什么样子，以及如何推断它现在的温度。¹⁹ 不过，有些人对这类“进步”感到不安——其中最著名的也许是美国作家亨利·戴维·梭罗（Henry David Thoreau）；他于 1845 年退隐到马萨诸塞州康科德（Concord, Massachusetts）瓦尔登湖（Walden Pond）畔的树林里，为的是更贴近自然。和他的诗人朋友拉尔夫·沃尔多·爱默生（Ralph Waldo Emerson）一样，他受到超验主义（transcendentalism）的启发——那是新英格兰一场哲学与文学上的回归自然运动，大致平行于哈密顿所交往的那些英国浪漫主义诗人。

凯莱并没有在思考科学与工业之间的这种联结——他从事数学是出于对它的热爱。所以，他很快就意识到矩阵不只是表示方程的便利方法——它们本身就是独立的代数结构，带有属于自己的代数规则，也就不足为奇了。

例如，利用代数符号，你可以把下面这组联立一次方程

2x + y = 7 x − 3y = 1

写成这样的矩阵形式：

\[\left(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix}\right)\]

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（顺便说一句，\(\left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right)\) 和 \(\left(\begin{matrix} 7 \\ 1 \end{matrix}\right)\) 是“列向量（column vector）”的例子——信息写成一列，而不是像我迄今一直在用的 (x, y) 那样写成行。无论哪种写法，信息都是一样的。）把这两个方程写成这样，是把“行乘列”的矩阵乘法当作理所当然的；但凯莱最初想到要把任意两个相容的矩阵相乘——而不只是一个矩阵与一个向量相乘——是在他想找出一种整洁省力的方式来表示多重的线性变换时。例如，如果你想旋转一个坐标架，然后平移各条轴，你就需要变换方程，以便从 x-y 坐标旋转到 x′-y′ 坐标（我们很快就会在图 4.2 中看到）。然后你还需要从 x′-y′ 变换到 x″-y″，以便平移各条轴。结果是，当把这些变换合并起来、用 x″-y″ 表示 x-y 时，最终矩阵里的各个元素正好给出了行乘列的定义。而这个定义恰好又是乘法不总是可交换的另一种情形。

换句话说，一组常规一次方程中的信息可以用矩阵形式来表示，正如古代中国数学家已经看到的那样；但在凯莱手里，这引出了这样一个想法：矩阵本身也可以相乘，不管它们代表着什么。于是，他推断它们也可以相加：要把两个（同样大小的）矩阵相加，你只需把对应位置上的两个数相加，就像这样：

\[\left(\begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} 1 & 5 \\ -2 & 6 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 4 & 4 \\ 0 & 6 \end{matrix}\right)\]

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凯莱的密友兼同事西尔维斯特——又一位有数学天赋的律师——在 1850 年造出了“矩阵（matrix）”这个词；巧的是，也正是在那一年，第一条国际电报电缆铺成了，连接多佛（Dover）与加来（Calais）。你可以想象当时人们兴奋地谈论着通过电报把世界连成一体——那种创业炒作与真诚兴奋的混合，我们近来在互联网的连接力上也见证过。（遗憾的是，多佛电缆失败了——但很快就有了别的。）西尔维斯特和凯莱一样在剑桥求学，但作为一名犹太人，他无权毕业，这得归因于那些宗派性的规定——正是这些规定使得德摩根拒绝到那里任教。于是，西尔维斯特和凯莱是以律师的身份相识的——但两人都在业余时间研究不变量理论与矩阵，而且最终都追随内心的召唤，当上了数学教授。

虽然凯莱一般被认为是矩阵代数的奠基人，其他数学家很快发展出了更精密的矩阵理论。例如在美国，本杰明·皮尔斯（Benjamin Peirce）与查尔斯·皮尔斯（Charles Peirce）这对数学家父子，就是矩阵以及许多其他新的、后四元数代数的先驱——因为哈密顿已经打开了代数的大门。不过，耐人寻味的是，凯莱当初寻找矩阵代数规则，只不过是为了更高效地进行计算：就像在古代一样，大量新数学是为解决实际问题、或者为便利计算而创造出来的。但一旦你能在某个情境中把矩阵相乘，它们就像向量一样，可以被应用到范围惊人的其他实际计算中去。

图像压缩、搜索引擎、机器学习、机器人学：矩阵与向量乘法的应用

一旦你知道怎样把矩阵相乘，有时你就能把它们“分解因式”（或者说“分解（decompose）”）。其中一种分解叫作“奇异值分解（singular value decomposition，SVD）”，它的现代用途之一是数字图像压缩。你想传输的那幅图像中的信息——比如每个像素的位置与颜色——被表示为一个有数百乃至数千行与列的矩阵。然后这个图像矩阵被分解成三个矩阵，其中一个因子（即“奇异”的那个）包含着图像中较为无趣的部分——比如天空或其他背景。非常粗略地说，这些较为无趣的细节随后就可以被“因式分解掉”——这也要借助向量——于是需要传输的信息就大大减少了。

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说到海量信息，在给搜索引擎编程时，大型数据阵列可以通过矩阵与向量代数来紧凑地处理。最早的搜索引擎方法之一，是用布尔代数、借由布尔的 AND、OR 与 NOT 运算，给出与用户查询的精确匹配。但正如康奈尔（Cornell）计算机科学教授格里·索尔顿（Gerry Salton）在 1960 年代认识到的那样，矩阵与向量允许对用户的查询进行部分匹配，并按相关度排序。（后来人们在布尔搜索引擎中也引入了模糊布尔逻辑来做这件事，而每种方法各有优劣。）在向量方法中，信息被存储为一个矩阵，比方说用各行代表关键字，用各列代表包含这些关键字的不同文档。为了把事情简化，我假设这个数据库只有三个关键字，分别称为 A、B、C。比如说，文档 1 可能完全没有提到关键字 A 和 B，却提到 C 三次，那么它就会被表示为向量 \(\left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}\right)\)，也就是矩阵的第一列。文档 2 可能提到 A 一次、B 三次、C 两次，那么它就会被表示为 \(\left(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}\right)\)，如此等等。现在假设用户想搜索与 B 有关的信息，那么“查询向量（query vector）”就可以写成 \(\left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right)\)。（你不想要的关键字就用 0 表示，而你确实想要的 B 则用 1 表示。）既然每个文档都由一个向量表示，它与查询向量的相关度就可以通过其向量与查询向量之间的夹角、借助标量积（其几何定义见下一条尾注）计算出来；夹角越小，匹配就越接近。²⁰

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另一种做法是谷歌的 PageRank 算法——由斯坦福大学的研究生拉里·佩奇（Larry Page）与谢尔盖·布林（Sergey Brin）在 1990 年代后期开发——一个网站按照链接到它的其他网站的数量与等级来分类。表示从网站 A 指向其他各个网站的链接比例数的那个向量，是一个矩阵（我称之为 M）的第一列，其他网站依此类推。为了求出每个网站自身的等级，合理的做法是先给它们全都赋予相同的等级。然后，用这个初始等级向量乘以链接偏好的矩阵，对它进行更新。这个过程不断重复，每次都乘以 M，于是到第 n 步时，初始等级向量已经被乘上了 Mⁿ。这个过程一直迭代下去，直到等级向量不再有显著变化。在这个“平衡（equilibrium）”点上，网站的 PageRank 向量就被定义出来了。随着更多网站链接加入进来，这个过程会不断更新，正如你在搜索某个东西、注意到哪些网站排在前面时所看到的那样。但如果没有矩阵乘法的定义，这一切都不可能实现。²¹

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在机器学习中，信息同样被存储在串与数组——向量和矩阵，乃至多维数组（它们其实就是张量的例子）之中。在现实世界里，通常只可能收集到关于某个主题的、所有可能数据中的一个样本。数据科学包含着从这一样本外推以做出预测的艺术——比如一个人在下一年心脏病发作的可能性，或者在给定时刻的电力负荷与价格的可能值——也包含着分类，比如一个肿瘤是恶性还是良性，一封邮件是正常还是垃圾邮件，或者更晚近也更有争议的，一张脸是不是你的。程序员的做法是把数据拟合到一个“模型（model）”——一个让数据变得有意义的算法或方程。但有时要设计出恰当准确的模型来拟合手头的数据，过于困难或者代价过高，而这正是机器学习的用武之地。其思路是给计算机编上一个算法，通过一个简单的初始模型“训练”它做出预测或分类；初步的“训练”数据被输入进去，连同初始模型和一个误差检验程序一起。程序员利用向量与矩阵代数，告诉计算机如何估计初始模型的准确度，并不断重新调整它，直到达到一个最优的准确度——这类似于 PageRank 算法中的矩阵乘法迭代。这样，模型就被“训练”好了，程序员现在可以用它从新数据中做出预测。

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机器学习的扩张如此迅速，如今它支撑着一系列令人眼花缭乱的日常事物——从聊天机器人和推荐算法，到语音与图像识别、欺诈检测、自动驾驶汽车、医疗诊断，以及许许多多——有好的一面，有时也有坏的一面。（“坏”的一面不仅包括压制性政府或网络犯罪分子对人工智能的滥用、以及我们生活与工作方式所遭受的颠覆性改变，也包括围绕着用于训练人工智能的数据所产生的伦理问题。这些问题包括未经数据创作者许可就使用数据，以及程序员——他们大多是白人男性——不知不觉地写进训练数据、搜索引擎和其他算法之中的种族、性与性别偏见。²²）

矩阵还以数不清的其他方式被使用着——包括密码学（cryptography），在那里，矩阵乘法（以及其他代数结构的）不可交换性正被作为一种附加的安全工具加以探索。这项研究的先驱之一，是十六岁的爱尔兰女学生萨拉·弗莱纳里（Sarah Flannery）。她极为钦佩凯莱，以至于用他的名字命名了自己的算法。²³

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不过话说回来，如果你上过线性代数（linear algebra）课，此刻你也许在想：矩阵乘法有一个更简单、更古老、也更熟悉的应用，那就是旋转——而你是对的！于是，我们开始逼近哈密顿魂牵梦萦的那个旋转问题了。

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例如在机器人学中，程序员需要知道怎样编写指令，好让计算机告诉机器人如何从一处移动到另一处。比如说，要让一条机械臂抬起和放下，它就必须绕着一个铰链旋转（就像肩关节或肘关节那样），如图 4.2 所示。在计算机图形学中同样如此，关键特征的位置向量可以借助旋转矩阵在空间中来回移动。

图 4.3　图 4.2　绕 x − y 平面的原点、用旋转矩阵把一条机械臂逆时针转过角 θ。当你把这个矩阵方程的左端乘开，所得的那组方程——它说明如何用 x 和 y 写出 x′ 与 y′——就代表一个线性变换。不过这里的细节并不那么重要：关键是变换方程这个想法。（图内标注为英文：robot arm＝机械臂；右侧句意为“机器人‘手’的新位置 (x′, y′) 由矩阵乘法求得”。）

三维旋转，终于！

对于三维空间中的旋转，矩阵乘法当然比图 4.2 中的情形稍微复杂一些。但正如四元数的情形一样，矩阵的不可交换乘法正好适合这项工作，因为三维空间中两次相继的旋转一般也是不可交换的。拿一本书试试：把它放在桌上，封面朝上，书脊朝向你。然后，保持它的中心不动，把这本书顺时针旋转 90°，使书脊转到你的左边（这是在桌面那个水平平面内的一个旋转，不妨说是 x-y 平面）。现在把这本书顺时针翻过来，旋转 180°，直到它正面朝下趴在桌上。这一次，你是在竖直的 x-z 平面内旋转，所以你用到了空间的全部三个维度——而等你做完，你会注意到书的书脊在你的右边。现在重来一遍，不过先把它翻过来，再朝你的方向旋转：书脊就会在你的左边！

顺便说一句，如果你拿一个没有任何特征的方盒子、或者一个没有记号的小球来做这个实验，你就看不出这种不可交换性。那是因为对于这样的旋转，球体和立方体由于绕自身中心的对称性，会保持自己的形状与朝向。换句话说，它们在这一串旋转之下是“不变的（invariant）”。这正是凯莱在想出矩阵代数时所研究的那一类不变量的几何类比。

比凯莱早将近一个世纪，欧拉利用古希腊人开创的球面三角学，已经对二维与三维旋转数学做了一次出色的几何研究。而矩阵代数这一边，则要归功于四元数及其不可交换的乘法——也正是四元数使哈密顿最终给出了关于空间中旋转的最早的、纯粹代数的计算。

首先，为了表示他想旋转的那个三维向量，他只取一个四元数的向量部分——例如，在 P = w + ix + jy + kz 中令 w = 0，这样他就只剩下向量 p = ix + jy + kz。

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图 4.4　图 4.3　旋转一个复数的“机械装置”（参看图 3.8）。把点 A 表示为复数 x + iy = r cos θ + ir sin θ = rei^θ。要把 OA 绕原点转过一个角 α，就用单位复数 b = eiα 去乘它，得到新的点 B = (ei^α)(x + iy) = (ei^α)re^iθ = rei^(θ+α)。（如果你只想旋转原来的向量、而不想同时改变它的长度，那么这个“机械装置”就必须是一个单位向量，就像图 3.8 那样。）

然后，作为做旋转这件事的代数“机械装置”，他选取了一个单位四元数 U，把所需的旋转轴与旋转角编码进去。这与图 4.3 中的情形类似：在那里，单位复数

b = cos α + i sin α

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就是那个在二维复平面中把线段 OA 绕原点旋转的“机械装置”。类似地，要在三维空间中得到一个旋转，三维向量 p 必须乘以四维四元数 U——所以这正是哈密顿耐心寻找 i、j、k 的恰当乘法规则终于得到回报的地方。随着其余的机械装置各就各位——我在下一条尾注里描述了它们——一些巧妙而简单的计算就给出了旋转后的向量。那条尾注展示了在绕 i 轴旋转 p 时如何做到这一点，结果可以在图 4.4 中看到。²⁴

图 4.5　图 4.4　用四元数做三维旋转。当 p = ix + jy + kz 绕 i 轴转过角 2θ 时，它的新位置向量是 a = xi + ei^2θ(yj + zk)。我之所以为这个角选取 2θ 而不是 θ，是因为它将与量子力学有一段有趣的关联，我们很快就会看到。

在数学课上，你大概会用矩阵来求一个旋转后的向量，正如我说过的，那是个不错的办法。但结果表明，在更复杂的情况下——比如你需要把绕不同轴的若干次旋转组合起来，以便按某种特定方式为物体定向，或者通过一串平滑的旋转来驱动它（一颗卫星、一架飞机、一个机器人、你的手机屏幕，或者一段计算机动画）——四元数比矩阵更高效。四元数比矩阵更紧凑，也更快，因为它们需要的计算更少，占用的算力也更小。

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例如，在对一架飞机或航天器进行建模、仿真、跟踪或制导时，它的朝向（或称“姿态（attitude）”）是依据三条相互垂直的轴来测量的——通常沿着机身的长度方向、横跨宽度或翼展的方向，以及竖直的上下方向，原点取在重心处。绕这三条轴的旋转分别叫作“滚转（roll）”、“俯仰（pitch）”与“偏航（yaw）”，它们在机械上分别由操纵杆、油门和方向舵来实现（大致说来）。为了给仿真、跟踪与电子制导系统编程，绕这三条轴的旋转可以表示为三个 3 × 3 的旋转矩阵——它们是图 4.2 中那个例子的三维版本——再把这些矩阵组合起来，就得到飞行器所需的姿态。例如，要调整偏航角与俯仰角，你就把相关的两个矩阵相乘——而如果你把两个 3 × 3 矩阵相乘的所有行乘列步骤数一遍，你会发现那里有二十七次乘法和十八次加法。但如果这些旋转用四元数而不是矩阵、也不是滚转-俯仰-偏航角来表示，结果就只有十六次乘法和十二次加法。

不过这还不是全部。与矩阵不同，四元数没有“万向锁（gimbal lock）”的问题——这个毛病曾众所周知地困扰过前往月球的阿波罗 11 号任务。万向节（gimbal）是一组圆环，传统上用来在运动过程中保持陀螺仪和其他仪器的稳定；一共有三个环，每个绕不同的轴旋转——但当其中两个对齐时，就只剩下两条轴可用于给飞行器定向。这在数学上的反映是：当把相关的旋转矩阵相乘时，你最终得到一个含有过多零元素的姿态矩阵，使它再也无法容纳关于缺失的那条轴的旋转数据。²⁵ 于是，计算机就失去了第三个维度上的朝向信息。用四元数表示就不会发生这种情况。

然而，四元数直到相对晚近才在当今世界找到了自己的位置。例如，NASA 在 1981 年首次例行使用它们，为制导、导航与控制系统中的旋转编程。他们的软件里包含向量代数、矩阵代数和四元数代数——因为这一切都非常有用，而不同的问题适合不同的方法。四元数在为航天器定向与制导两方面都特别有用——比如，它们在为登月任务仿真轨道、以及跟踪 NASA 的火星探测漫游者（Mars Exploration Rovers）时发挥了重要作用——在平滑地处理由所收集的原始数据生成的计算机图像方面也是一样。

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除了所有这些技术应用之外，还有一样东西让四元数旋转显得特殊——一样神秘的、完全出人意料的东西。它们有一种意想不到的性质，是与描述我们世界最基本的构件——电子、质子和中子——的数学所共有的。即使你不想读那条讲通向图 4.4 中旋转向量的计算的尾注，也请注意图注里旋转后的向量 a 的表达式中的 e^i2θ 这一项。这是令人惊讶的，因为它是用原来的向量 p 乘以单位四元数 U = e^iθ 得到的。这是四元数旋转代数的一个怪癖，它把 θ 变成了 2θ。而量子力学也有一个怪癖：尽管你可以把一个普通的实物——比如一个球或一颗行星——旋转 360° 让它回到起点，量子数学却说，像电子这样的粒子需要“自旋”过 720° 才能回到它原本的状态。

倒不是说电子真的在绕自身旋转，像地球或板球那样——按照大多数物理学家的看法，最好把电子想象成点，所以它们没有可绕之旋转的轴。然而它们却具有角动量，仿佛它们在自旋一样。这个古怪而出人意料的现象，是靠着几年间巧妙地把各种线索拼在一起才发现的——正是那种出色的猜测与耐心的侦探工作，让科学如此激动人心。所以，我要花上一两页追踪这一非凡发现的线索，因为它也将带我们更深入地走进量子力学与四元数之间那引人入胜的关联。

发现“自旋”与四元数的关联

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通向“自旋（spin）”的第一步，是一个不言自明的事实：电子可以具有轨道角动量，比如当它不是绕自身、而是绕原子核转动的时候。但运动的电子会产生微小的磁场，这是丹麦教授汉斯·克里斯蒂安·奥斯特（Hans Øersted）很久以前就发现的。（1820 年，他注意到一个惊人的事实：一阵电流的爆发会让旁边磁罗盘的指针偏转，就好像电流既是电的、也是磁的一样。这类装置很快成为最早的电报系统的基础，其中“罗盘”指针指向刻度盘上的字母，不同的字母对应着不同强度的电流。）所以研究者知道，电子可以被其他磁场偏转，就像磁铁使铁屑偏转一样。通过这样偏转电子，你可以了解到关于电子磁场性质的许多信息——而这正是奥托·斯特恩（Otto Stern）与瓦尔特·格拉赫（Walther Gerlach）1922 年在汉堡着手要做的事。实际上，他们实验用的是一束汽化银原子——用电子的话偏转幅度对这个装置来说太大了——但银原子有一个未成对电子，会与磁场相互作用。

斯特恩的资历包括十年前曾是爱因斯坦的第一位博士后学生，但现在他和格拉赫在为实验争取足够经费上遇到了困难——在 1920 年代初、第一次世界大战的余波之中，德国的局势仍然动荡不安。接着他们的设备又不断出故障，直到最后，经过一年的苦战，他们认为自己已经拍到了一幅足够好的、汽化银原子束偏转的图像，它是被捕捉在一块照相底板上的。但他们并没有得到普通物理学所预言的结果——那种结果提示，被汽化原子的角动量的空间取向会是随机分布的，因为在加热过程中它们的取向会发生随机涨落。事实上，起初他们根本没有得到什么像样的结果。但正当他们失望地盯着那块底板时，两条黑线开始显现出来，就像是某种“隐形墨水”的魔法。显然，斯特恩抽的那种便宜雪茄含硫量很高；就在他端详底板时，他呼吸中的硫与底板上看不见的银原子结合，生成了黑色的硫化银！这两条黑线表明，银原子角动量的分量只可能有两个取值。换句话说，角动量的空间取向是量子化的（quantised）。

他们发现这样的东西——一个离散的而非连续的可能值范围——并不完全令人意外，因为尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）早期的原子模型就是量子化的。然而，随着量子力学的发展，玻尔模型的局限性显露出来，所以斯特恩和格拉赫究竟发现了什么，当时并不清楚。

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后来，两位年轻的荷兰物理学家乔治·乌伦贝克（George Uhlenbeck）与塞缪尔·古德斯米特（Samuel Goudsmit）提出，实际上，斯特恩和格拉赫所测量的也许并不是轨道角动量，而是自旋角动量——就好像产生磁场的那些电子是在绕自身旋转一样。他们是在追查氢原子光谱中的一些异常现象时想到这个念头的，氢的每个原子只有一个电子。²⁶ 利用磁场来操纵电子的能级，乌伦贝克和古德斯米特算出：如果电子的角动量只依赖于两个可能的独立取值，那么所得的谱线（spectral line）就与这个自旋假说吻合——而这正是斯特恩和格拉赫所发现的结果。²⁷

当乌伦贝克与那位传奇的荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz）谈起这个奇怪的想法时——洛伦兹后面会因为相对论而进入我们的故事——洛伦兹证实了他的担忧，说如果产生这个动量的电子真的是在自旋，那它就不得不以高得不可能的速度自旋。所以，电子并不是像板球那样在自旋——它只是表现得仿佛在自旋而已。这看起来如此离奇，以至于乌伦贝克慌忙去拜访他和古德斯米特的导师保罗·埃伦费斯特（Paul Ehrenfest），因为他们已经把一篇关于这个假说的论文寄给了他。但埃伦费斯特已经当即将它送去发表了，他告诉惊慌失措的乌伦贝克：“嗯，这是个不错的想法，尽管它可能是错的。不过你还没有名声，所以你没有什么可失去的。”这话对年轻的乌伦贝克来说算不上什么安慰。²⁸

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当那位古怪的英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）开始发展一种相对论性的量子力学电子行为描述时，一切就都串起来了。他发现，要让电子的波动方程成为相对论性的，他必须纳入一些量，而这些量给出的正好就是乌伦贝克和古德斯米特所发现的那几个自旋动量值。德国物理学家沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli）已经在自旋的非相对论数学上开了个头，并引入了三个如今称为泡利矩阵（Pauli matrix）的量，狄拉克在他的表述中加以采用。正如泡利明确指出的，这三个矩阵——它们帮助描述绕三条空间轴的自旋角动量分量——彼此之间的关系与哈密顿的单位四元数 i, j, k 完全一样：把其中任意两个相乘，你得到的就是正负第三个——正是哈密顿在八十五年前刻在布鲁姆桥上的那同一套规则！²⁹

而且，数学还表明，如果你想旋转一个量子粒子的自旋轴，那些旋转方程与四元数旋转的方程是类似的。这就是为什么电子——以及物质的其他构件——具有那种奇怪的性质：你需要把它们转两次才能让它们回到出发点。³⁰

不过，正如我一直强调的，亚原子粒子并不真的像板球那样旋转；毋宁说，它们的自旋会与磁场对齐，所以如果你能缓慢地旋转那个磁场，你就是在旋转自旋轴（即便不是旋转粒子本身）。这正是实验物理学家在这一惊人的数学结果问世半个世纪之后成功做到的事。1975 年，两位澳大利亚物理学家托尼·克莱因（Tony Klein）与杰夫·奥帕特（Geoff Opat）完成了一项实验，表明这种奇怪的旋转行为是物理性的——它并不只是一个数学上的假象。他们的实验与托马斯·杨（Thomas Young）著名的双缝实验有某种亲缘关系；后者表明，两束光之间的干涉图样是波的图样，而不是粒子的。克莱因和奥帕特把一束中子（以物质波的形式行进）衍射成两部分；不过在他们的实验中，其中一部分与一个旋转自旋轴的外部磁场发生相互作用，另一部分则保持不变。这两束中子所形成的干涉图样表明，自旋必须被旋转两个周期才能回到它原本的状态。而这正是数学所预言的！³¹

这是一个惊人的结果，不过在克莱因和奥帕特能把他们的工作发表之前，另有两支团队也证实了这一奇怪的数学预言。³² 自旋，无论它究竟是什么，确实是真实的，而且它的行为符合哈密顿最终成功地在三维空间中旋转向量时所发现的那个旋转数学的怪癖。

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今天，“自旋”已是日常生活中至关重要的一部分——比如在用于医疗诊断的磁共振成像（MRI）中。MRI 拍摄的是病人内部器官的三维图像——所以无需侵入性的诊断手术，也无需辐射——它做的是利用磁场来排列氢原子的自旋；考虑到我们体内水分与脂肪的含量，氢原子可谓无处不在。然后，这些自旋被无线电波偏转，不同的射频脉冲序列凸显出身体的不同部位；当射电源被关掉、自旋回到它们的平衡状态时，图像就被捕捉下来，在此过程中它们会释放电磁能量。

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如果哈密顿知道四元数与电子自旋这种奇怪性质一样基本的某种东西相关联，他一定会欣喜若狂。而如果他能看到四元数帮助带回地球的我们这个宇宙的那些壮丽图像，他那诗人的灵魂一定会因这一切的惊奇、壮美与神秘而颤栗——正是他曾试图在他最喜爱的一首诗《月全食颂》（Ode to the Moon under Total Eclipse）中捕捉的那种神秘。这首诗写于他还不到十八岁的时候，他一直保存到去世那天。在诗中，他就那“不祥的幽暗”向月亮女神发问：当月食时“深红”蔓延过她“可爱的眉宇”，那是因为某个来自另一个世界的浮云，还是某个巫师的魔咒？又或者，是不是我们地球的“幽影之锥”让月亮在“我们惊奇的眼睛”里暗淡下来？这种诗的想象与科学的混合，正是哈密顿的典型风格。他一定会乐于知道，他的四元数（以及现在所称的哈密顿动力学（Hamiltonian dynamics）——量子力学正是以它为模型建立的）已经帮助揭示了宇宙中一些最神奇的秘密。³³

不过，当哈密顿最初发现四元数时，他只是瞥见了它们更广阔的可能性。然而从一开始，他骨子里就感觉到四元数在物理应用中会扮演至关重要的角色——而如果在他有生之年，它们始终没能完全达到他的期望，从未获得今天因与 NASA 和量子力学联系在一起而享有的那种光彩夺目的声望，那么他仍然得到了属于他的那份荣耀。例如在 1848 年，他就因发现四元数而获得了两枚奖章，分别来自皇家爱尔兰学院与爱丁堡皇家学会（Royal Society of Edinburgh）。

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他为了理解复数、为了把它们扩展到三维、为了发明他的四维四元数所做的长期奋斗，提醒我们：即便是今天被视为理所当然的最简单的事情，要弄明白它们也需要何等深入的思考。德摩根与皮科克关于符号代数的工作同样如此，他们梳理出了人们长久以来一直在使用、却从未意识到它们也许也适用于数以外的东西的那些代数定律。今天，讨论数与符号、语言和意义之间关系这类问题的，主要是数学哲学家。教育政策制定者与资助机构关注的则主要是数学如何能有用。所以，值得再说一遍：哈密顿并不知道他的四元数在驱动机器人与航天器这类高科技应用中会被证明有多么有用。他也没有预见到向量会在物理学、工程学与信息技术中扮演多么无处不在的角色，因为如今凡是需要指定物体的空间位置、或者需要存储和处理数据的地方，几乎都会冒出它们。这说明：尽管现代数学有着古老的根源，起源于解决美索不达米亚人所面对的那类实际问题的尝试——尽管解决实际问题的需要仍然是新数学洞见的关键驱动力——有时候，恰恰是“为数学而数学”，才导向了未来的技术与物理问题的解答。

事实上，在哈密顿告诉他的朋友约翰·格雷夫斯关于四元数的事几个月之后，格雷夫斯发明了“八元数（octonion）”——不是四维而是八维的复数，由成对的四元数构成。它们只是一桩奇物，证明了代数世界里除了数与四元数之外还有更多东西——然而今天，人们正在研究它们与粒子物理学的标准模型（standard model）之间可能的关联。这是当前的一个模型，其中物理实在的基本构件被归入共享相似性质的各个类别。比如，物质由不同种类的夸克（quark）与轻子（lepton）构成，后者是带有电荷的粒子，比如电子。然后还有携带作用力的粒子，即玻色子（boson），比如携带电磁力的光子（photon），以及携带质量的希格斯玻色子（Higgs boson）。

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八元数在这方面究竟会不会被证明有用，目前尚无定论——不过，就像从哈密顿的不可交换乘法中流出的那些应用一样，一个想法一旦问世，你永远不知道它可能激发出什么。³⁴ 乔治·布尔是另一个例子；他的代数逻辑体系，是从皮科克与德摩根所奠定的符号代数基础、以及哈密顿的四元数演化而来的。布尔在暴雨中着凉、骤然而过早地离世时，哪里会知道，他那套用 0 和 1 表达真与假陈述的体系，最终会驱动我们的计算机以及其他电子设备和玩意儿。

不过回到 1840 年代，发展那种不仅拓宽了我们的技术、也拓宽了我们对数学、对我们宇宙的理解的向量分析，还有一段路要走。在接下来的几章里，我们会遇见新一代的数学家与数学物理学家；他们发展哈密顿的向量与四元数的工作，将把我们带进实在中更加奇妙的境域。

不过首先，我们会看到，新思想要证明自己的价值，总是需要时间。我们还会遇见一位非凡的局外人，他发明了他自己那套强有力的向量体系。他的动机与哈密顿不同——他对旋转和复数不感兴趣——但最终我们会看到，这两种进路都会帮助数学家发展出今天如此重要的、精密的向量分析与张量分析。

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1. 爸爸，你能把三元组相乘吗？ 哈密顿 1865 年写给 Archibald 的信，见 Robert P. Graves, Life of Sir William Rowan Hamilton, 3 vols. (Dublin: Hodges, Figgis, 1882, 1885, 1889), 2:434–35，被广泛引用，例如 Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press, 1967), 29。向“我的孩子们”解释：1852 年写给德摩根的信，Graves, Life of Hamilton (1889), 3: #59, 307–8。 ↩

2. 代数／算术的定律：例如，(3 + 2) + 5 = 5 + 5 = 10；但在这个例子中，括号放在哪里并不重要，因为 3 + (2 + 5) = 3 + 7，同样等于 10。这叫作加法的结合律，乘法也有类似的定律。同样，2 × 3 = 3 × 2，2 + 3 = 3 + 2；这就是著名的乘法与加法的交换律。皮科克还引入了分配律，a(b + c) = ab + bc。 ↩

3. 模律：对于普通的复数 z = x + iy，哈密顿已经证明，你可以通过对 (x + iy)(x − iy) = x² + y², 取平方根来定义这个数的“模”（大小或“绝对值”），其中左端的第二个因子是第一个的“共轭”。（这一点可能早在欧拉时代就已为人所知。）而且还有这样的结论：两个复数之积的模等于这两个模之积——哈密顿称之为“模律”，今天的教科书用符号写作 |zw| = |z||w|。 例如，令 z = x + iy, w = a + ib。那么 \(\left|zw\right|=|(x+iy)(a+ib)|=|(xa-yb)+i(xb+ya)|=\sqrt{(xa-yb)^{2}+(xb+ya)^{2}}\) 而 \(\left|z\right|\left|w\right|=\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)}=\sqrt{\left(xa-yb\right)^{2}+\left(xb+ya\right)^{2}}.\) 所以 |zw| = |z||w|，模律在二维中成立。 然而，如果你拿 x + iy + jz 和 a + ib + jc 来试，那么要让模律成立，你就必须对 x, y, a, b 之间的关系作出简化假设——哈密顿试过，但这会破坏模律的一般性——或者对 i, j, ij 和 ji 之间的关系作出假设。哈密顿接下来做了什么，见正文的叙述。关于哈密顿的这一历程，包括他写给格雷夫斯的信，见 Teun Koetsier, "Explanation in the Historiography of Mathematics: The Case of Hamilton's Quaternions," Studies in the History and Philosophy of Science Part A 26, no. 4 (1995): 593–616。 ↩

4. 哈密顿在他的 Lectures on Quaternions 序言中解释了这一过程。 ↩

5. Augustus De Morgan, Essays on the Life and Work of Newton, 由 Philip Jourdain 编辑并加注与附录 (Chicago: Open Court, 1914)。关于德摩根的生平资料：Leslie Stephen, Dictionary of National Biography 14 (1885–1900), s.v. De Morgan；顺便一提，Stephen 是著名小说家弗吉尼亚·伍尔夫的父亲。另见例如 Carl Boyer, History of Mathematics, rev. Uta Merzbach (New York: John Wiley and Sons, 1991), 581。 ↩

6. “极为崇敬”：Alexander MacFarlane, Lectures on Ten British Mathematicians (London: Chapman and Hall, 1916), 第 3 章（出自 1901 年的一次演讲）。 ↩

7. 近来的研究追溯了关于哈密顿的流言的演变，把它置于女性角色与社会约束的背景之中，并为他和海伦的生活描绘了一幅更为正面的图景：Anne van Weerden and Stephen Wepster, "A Most Gossiped about Genius: Sir William Rowan Hamilton," BSHM Bulletin 33, no. 1 (2018): 2–20。对于早先记载所暗示的情形，他们也给出了更为公允的叙述，例如把一段据说哈密顿酩酊大醉的插曲放回到禁酒运动的语境中去理解。 ↩

8. 德摩根与洛芙莱斯：Christopher Hollings、Ursula Martin 与 Adrian Rice 的两篇论文："The Early Mathematical Education of Ada Lovelace," BHSM Bulletin 32, no. 3 (2017): 221–34，以及 "Lovelace-De Morgan Correspondence: A Critical Re-appraisal," Historia Mathematica 44 (2017): 202–31。请注意，巴贝奇的“差分机”超越了它的时代，从未投入生产。 ↩

9. 德摩根的话转引自 Janet Folina, "Newton and Hamilton: In Defense of Truth in Algebra," Southern Journal of Philosophy 50, no. 3 (2012): 511。请注意，哈密顿与德摩根在代数基础问题上取径不同（511–12）。 ↩

10. 哈密顿致德摩根，1841 年，转引自例如 Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press, 1967), 27。 ↩

11. 引入 k = ij：对于三元组 a + ib + jc 和 x + iy + jz，模律说的是 |(a + ib + jc)(x + iy + jz)| = |a + ib + jc||x + iy + jz|. 右端（RHS）就是 (a² + b² + c²)(x² + y² + z²). 现在看左端（LHS）：假定 ij = −ji，考虑展开括号后的左端： |ax − by − cz + i(ay + bx) + j(az + cx) + ij(bz − cy)| = (ax − by − cz)² + (ay + bx)² + (az + cx)² + (bz − cy)². 但你只有把 ij(bz − cy) 的共轭纳入模的定义——就像 ij 也是和 i、j 一样的复数那样——才能得到最后这一项，而这一项正是你为了与右端配平所需要的。正是这一点让哈密顿想到，要解决他三元组乘法的问题，就必须引入第三个虚向量 k = ij。 哈密顿的“电路”：我稍微改动了 "closed" 一词的时态；参见哈密顿 1865 年写给 Archibald 的信，转引自 Crowe, History of Vectors, 29。哈密顿致格雷夫斯：转引自 B. L. van der Waerden, "Hamilton's Discovery of Quaternions," Mathematics Magazine 49, no. 5 (1976 年 11 月): 227–34，尤见 230。 ↩

12. 德摩根的话转引自 Folina, "Newton and Hamilton," 505。华兹华斯论哈密顿平庸的诗才：Daniel Brown, The Poetry of Victorian Scientists: Style, Science and Nonsense (Cambridge: Cambridge University Press, 2013), 1–2。薛定谔：Crowe, History of Vector Analysis, 17。薛定谔指的是今天所说的哈密顿动力学，它是运动定律的一种不依赖坐标的替代形式，与牛顿的方法等价但更为灵活。 ↩

13. 玩一玩哈密顿的涂鸦只有在这样的前提下才成立：假定只能在字符串的首尾消去项，并且假定两两相乘是反交换的。于是，要从 j² = ijk 求出 j，就改写为 j² = −jik，然后在两边消去 j，得到 j = −ik = ki。 ↩

14. 标量积只是把分量相乘，所以 p ∙ q = p₁q₁ + p₂q₂ + p₃q₃ 是一个数，即标量，而不是向量。（在哈密顿完整的四元数乘积中，p ∙ q 前面有一个负号，这一点会引起争议，我们将在第 7 章看到。） 向量积给出的是向量；p × q 的分量形式最容易记忆和计算，可由行列式 \(\left|\begin{matrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ p_{1} & p_{2} & p_{3} \\ q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{matrix}\right|\) 得出 ↩

15. 凯莱与四元数：Crowe, History of Vector Analysis, 35。凯莱的生平：Tony Crilly, "Arthur Cayley: The Road Not Taken," Mathematical Intelligencer 20, no. 4 (1998): 49–53；Crilly 也为《大英百科全书》撰写了凯莱的条目。 ↩

16. 高斯消元法的计算机算法，例如见 Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics (New York: Wiley, 1993), 976。 ↩

17. 西尔维斯特的“不变量”：Crilly, "Arthur Cayley: The Road Not Taken," 51。 ↩

18. 布尔与凯莱：Tony Crilly, "The Rise of Cayley's Invariant Theory," Historia Mathematica 13 (1986): 241–54。 ↩

19. Eunice Foote, "Circumstances Affecting the Heat of the Sun's Rays," American Journal of Science and Arts (1856): 382–83。几年后，丁达尔显然独立地为 Foote 的实证发现注入了物理学解释：见 Roland Jackson, "John Tyndall: The Forgotten Cofounder of Climate Science," The Conversation, 2020 年 7 月 31 日。傅里叶在 1820 年率先研究了大气的加热效应，但他是在计算地球温度的语境下做的。 ↩

20. 搜索引擎：要推出两个向量 a 与 b 之间夹角所需的标量积形式是 a ∙ b = |a||b|cosθ。我的描述参考了 Amy Langville 出色的入门文章 "The Linear Algebra behind Search Engines: Focus on the Vector Space Model," Convergence, Mathematical Association of America（2006 年 12 月）；https://www.maa.org/press/periodicals/loci/joma/the-linear-algebra-behind-search-engines-focus-on-the-vector-space-model。 ↩

21. 谷歌 PageRank 算法：我参考了康奈尔大学一篇内容充实的讲义，http://pi.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/RalucaRemus/Lecture3/lecture3.html。 ↩

22. 对人工智能、社交媒体与搜索算法的批评：参见例如 Cathy O'Neill, Weapons of Math Destruction: How Big Data Increases Inequality and Threatens Democracy (New York: Crown Publishing, 2017)；Safiyah Umoja Noble, Algorithms of Oppression (New York: NYU Press, 2018)；Shoshana Zuboff, The Age of Surveillance Capitalism: The Fight for a Human Future at the New Frontier of Power (London: Profile Books, 2019)；以及其他许多著作。 ↩

23. 萨拉·弗莱纳里的算法未能通过安全性检验（参见她的 In Code [London: Profile Books, 2001]），但研究者仍然相信，不可交换乘法会被证明是一种有价值的密码学工具。 ↩

24. 四元数旋转：哈密顿在他的 Lectures on Quaternions, 269 (art. 282) 中简要勾勒了如下方法： 举一个简单的例子，要把向量 p 绕 i 轴旋转，你可以选取单位四元数 U = cos θ + i sin θ，这与我图 4.3 中的复数相类比。（这就是四元数 U = (cosθ, sin θ, 0, 0)，因为在这种情况下，旋转轴的 j 与 k（即 y 与 z）分量为零。）然后，利用欧拉定理，你有 U = eⁱθ。这种形式使乘法变得更容易——指数律把乘法变成加法——并且清楚地显示了它们与旋转的关系，正如我们在图 3.8 中也看到的。 现在构造一个新的向量， a = UpU⁻¹ = e^iθp e^−iθ = e^iθ(ix + jy + kz)e−^iθ. 哈密顿想出这个组合想必经过了一番试验，因为当你在阿尔冈平面上时，并不需要再乘一个 U⁻¹（参见图 4.3、3.8）。（顺便说一句，对于单位四元数，其逆就是复共轭，所以我本可以把 a = UpU^* 写成 a = UpU⁻¹。）从几何上说，这个 U⁻¹ 因子是用来抵消一个多余的旋转的——它之所以出现，是因为旋转发生在四维超空间中，但这超出了我这里的讨论范围。在代数上，我们说的是矩阵相似变换的四元数类比。不过，你并不需要这些技术细节，就能完成由这套“机械装置”导出的简单代数运算： 如果把 k 换成哈密顿的定义 ij*，你就得到 a = e^iθ(ix + jy + kz)e−i^θ = e^iθ(ix + (y + iz)j)e−i^θ = e^iθ(ix)e−i^θ + e^iθ(y + iz)je−i^θ. 接下来是巧妙之处：记住 e−i^θ = cos θ − i sin θ，最后一项中的 je−i^θ 就变成 j(cos θ − i sin θ) = j cos θ − ji sin θ. 但哈密顿定义了 ij = k = −ji，所以我们有 j cos θ − ji sin θ = j cos θ + ij sin θ = (cos θ)j + (i sin θ)j = (cos θ + i sin θ)j = e^iθj. （我之所以写 j cos θ = (cos θ)j，是因为 cosθ 只是一个实数或标量；只有当两个数都是复数时，乘法才不一定可交换——如 ij = k = −ji 那样。j sin θ = (sin θ)j 同理。） 最后，利用指数律和哈密顿关于 i, j, k* 乘积的规则，我们得到向量 p 旋转后的版本： a = xi + e^i2θ( y + zi)j = xi + e^i2θ(yj + zk*). 这看起来是对的，因为 p 是绕 i 轴旋转的，所以它的 i 分量不变，因为它只在 j-k 平面内移动。而 eⁱ*^2θ 这个因子表明，p 的 j 和 k 分量确实在 j-k 平面内旋转了 2θ 角。（所以如果你想旋转 θ，就要把单位四元数取为 U = e^iθ/2。） 要绕任意轴旋转*——该轴的方向由单位向量 u = ai + bj + ck 给定，而不像上面的计算那样只绕 i——就仿照欧拉公式取 U* = cos θ + u sin θ = e^uθ。（你可以通过比较等式两边表达式的级数来证明欧拉公式。）我上面的叙述是哈密顿的概要以及 John Huerta（Fullerton College）的讲义 "Introducing the Quaternions" 中那个例子的展开版。 另一种做法，你可以像我在正文中所展示的那样，用源自四元数乘法的标量积与向量积*来展开 a = UpU⁻¹，完成上述计算： PQ = wa − p ∙ q + wq + ap + p × q***. ↩

25. 关于矩阵导致万向锁的一个例子，见 Justin Wyss-Gallifent 的 MATH431 课程 "Gimbal Lock"，2021 年 11 月 3 日：http://www.math.umd.edu/~immortal/MATH431/book/ch_gimballock.pdf。 ↩

26. 谱线：如果原子吸收能量，它的电子就会跃迁到更高的能态；当它们回到原来更稳定的状态时，原子会发射一个光子，表现为一条有颜色的谱线。颜色对应于所发射光的波长，而波长又与跃迁的能阶大小和原子的构成有关。这就是为什么先驱女天文学家安妮·詹普·坎农自 1896 年起一直在哈佛学院天文台工作，不辞辛劳地分类恒星的光谱以确定其化学成分。她一直做到 1941 年，也就是她去世的那一年。 ↩

27. 实际上，与斯特恩-格拉赫实验的联系是稍后才建立起来的。总之，乌伦贝克与古德斯米特给出的数值是 ±h/4π；符号取决于自旋轴是与磁场方向一致还是相反，而其大小是“归一化”普朗克常数 h/2π（记作 ħ，读作“h 拔”）的一半。这就是今天说电子自旋为 ½ 的原因。 ↩

28. 埃伦费斯特、洛伦兹：古德斯米特在 1971 年 4 月为荷兰物理学会金禧纪念宣读的一篇饶有趣味的论文中讲述了电子自旋的发现过程；https://www.lorentz.leidenuniv.nl/history/spin/goudsmit.html。 ↩

29. 泡利矩阵与四元数：泡利矩阵与四元数之间的关系还表明，你可以拥有一个由（实际上是矩阵的）向量构成的“向量空间”。要紧的是向量的规则：如果某个东西表现得像向量，那就可以把它当作向量来对待。泡利论四元数：W. Pauli, General Principles of Quantum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 115；他指出，i 乘以该矩阵后遵循单位四元数的乘法规则。狄拉克：P. A. M. Dirac, "The Quantum Theory of the Electron," Proceedings of the Royal Society of London, series A, 117, 778 (1928 年 2 月 1 日): 610–24；以及 Paul A. M. Dirac, "Theory of Electrons and Positrons," 1933 年诺贝尔奖演讲，https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/dirac-lecture.pdf。 ↩

30. 四元数与自旋旋转：狄拉克的新理论表明，物质的所有构件——电子、质子和中子——都含有 ½ 的自旋；也就是说，它们是 ½ 的奇数倍，这类粒子被称为费米子。（光子及其他所谓的玻色子则具有整数自旋。） 正是粒子自旋中的 ½ 造成了那种奇特的行为：你需要两次 360° 旋转，才能把一个费米子带回原来的状态。这一发现来自旋转量子粒子自旋轴所需的数学——碰巧与四元数旋转的数学相似。考虑到两者给出的是同一类反直觉的旋转，这其实并不奇怪。我在这里做一个简要概述： 正如我在图 4.4 和关于四元数旋转的尾注中所暗示的，要把一个向量绕 x 轴旋转 θ 角，单位四元数是 \(U=e^{i\frac{\theta}{2}}\)。类似地，要把一个自旋为二分之一的角动量向量绕 x 轴旋转 θ，你需要一个酉算子 \(U=e^{-i\frac{\theta}{2}\sigma x}\)，其中单位的选择使得 2π/h = 1，σ^x 是泡利自旋矩阵。请注意两种情形中都有 θ/2——这就是为什么你需要两次完整的 2π 旋转，才能回到最初未旋转（θ = 0 + 2nπ）的状态。 相比之下，要把轨道角动量（而非自旋角动量）绕 x 轴旋转 θ 角，酉算子是 U = e–i^θ Jx*。旋转 2π，你就回到*了出发点。还要注意，在四元数旋转和量子旋转中，你都还需要右乘逆或共轭；这叫作“相似变换”。 描述四元数与自旋之间联系的另一种说法是：四元数旋转矩阵与自旋二分之一的旋转矩阵都是群 SU(2) 的元素。群论*处理的是底层结构，因此通过研究各种数学或物理结构的群性质，你有时能发现两件表面上截然不同的事物之间的相似之处。 ↩

31. 克莱因和奥帕特用的是中子而不是电子，因为电子上的电荷会与外部磁场产生过强的干扰。他们用一块铁磁晶体把一束中子（以物质波的形式行进）衍射成两部分，其中一部分与外部磁场发生相互作用。（在量子力学中，“物质波”或“波函数”描述的是在某一时刻、某一地点探测到粒子的概率。）他们的发现是：当其中一束——波的一个部分——被旋转了 360° 或 2π 弧度的奇数倍时（当然，2π 本身也包括在内），它会与另一束未经旋转的部分发生相消干涉，产生一种独特的干涉图样。而对于 2π 的偶数倍，这种相消干涉就消失了。所以，在 2π 的奇数倍情形下，你需要再旋转一次自旋，使它总共经过诸如 4π 这样的偶数倍，干涉图样才会恢复正常。A. G. Klein and G. I. Opat, "Observation of 2π Rotations by Fresnel Diffraction of Neutrons," Physical Review Letters 37, no. 5 (1976 年 8 月 2 日): 238–40。 ↩

32. 另外两个团队由赫尔穆特·劳赫（Helmut Rauch）和萨姆·维尔纳（Sam Werner）领衔，但三支队伍非但没有相互竞争，反而在随后展开了合作，正如克莱因在 "Neutron Interferometry: A Tale of Three Continents" 中所描述的，该文见 http://www.europhysicsnews.org 或 http://dx.doi.org/10.1051/epn/2009802。 ↩

33. 哈密顿的《颂歌》由 Brown 分析，见 Poetry of Victorian Scientists, 7–9。 ↩

34. 今日的八元数：关于当前研究的技术性综述，见 Peter Rowlands and Sydney Rowlands, "Are Octonions Necessary to the Standard Model?," Journal of Physics: Conference Series 1251, 012044 (2019), DOI 10.1088/1742-6596/1251/1/012044。这些研究者中有一位是年轻的加拿大女性科尔·富里（Cohl Furey）；另一位是加州大学的数学家约翰·贝兹（John Baez）。2021 年，贝兹在 https://math.ucr.edu/home/baez/standard/ 上给出了这一领域的最新进展。 ↩