第 10 章　弯曲的空间与不变的距离¶

通往张量的路上

当爱因斯坦开始苦思如何把狭义相对论推广成一个广义的理论——在那里相对运动不必是恒定的——时，他需要一整套全新的数学工具。而他能找谁帮忙呢？最合适的人选莫过于他在瑞士“工学院”（Poly）的老朋友马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossmann）。格罗斯曼可从来没逃过闵可夫斯基（Hermann Minkowski）的数学课！他还是一位一流的数学家、一位忠诚的朋友。事实上，正是通过格罗斯曼的家人，那时一贫如洗的爱因斯坦（Albert Einstein）才得到了专利局那份救了他一命的工作。格罗斯曼本人一毕业就在工学院得到了一个位置——当博士生，同时给他导师做助手——七年后，他成了那里的数学教授。

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爱因斯坦多年来一直想找一位导师收他做博士生，可他费尽周折得到的只有拒绝——部分原因是他在主流学界那些“老庸人”中间落下了桀骜无礼的名声。尽管如此，他还是坚持了下来；1905 年夏天，他终于靠一篇关于测量分子的里程碑式论文交上了好运：这篇论文为他赢得了苏黎世大学的博士学位。他把它题献给格罗斯曼，以感念学生时代格罗斯曼对他的慷慨——从借给他逃掉的那些课的笔记，到帮他找工作。与他的教授们不同，格罗斯曼从一开始就看出爱因斯坦注定要成就伟业。¹

1911 年，格罗斯曼开始设法把他那位如今已名满天下的朋友请回他们的母校——学校当时刚改名为瑞士联邦理工学院（依其德语缩写仍称 ETH）。玛丽·居里（Marie Curie）与亨利·庞加莱（Henri Poincaré）都在为爱因斯坦写下热情而富有洞见的推荐意见的人之列；1912 年，他受聘担任 ETH 新设立的理论物理学讲席。也许他很享受这样一场风光的回归。他无疑很珍惜再次与老同学共事的机会——就像学生时代那样一起读书、一起探讨各种想法，在附近的大都会咖啡馆（Café Metropole）抽着烟斗、喝着咖啡。

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接下来的两年里，两位好友紧密合作，投入到为广义相对论建立数学基础这项艰巨无比的任务之中。爱因斯坦已经意识到，在推广狭义理论的过程中，他所从事的不是别的，正是一整套全新的引力理论。毕竟，相对运动不是恒定的一个例子就是：一位观察者因为引力而下落——比如说在一部自由下落的电梯里——而另一位固定在地面上：下落的那位相对于地面上的那位在加速，所以他们的相对速度并不恒定。然而在 1912 年，当爱因斯坦与格罗斯曼开始合作时，在爱因斯坦找到他的广义理论之前，还有两个重大的数学问题需要解决。

第一，如何把物理定律从狭义理论搬到广义理论中去；第二，如何在弯曲的时空中找到合适的“距离”或间隔量度（它为什么是弯曲的，我们会在第 12 章看到），类似于我们在上一章见过的平直的闵可夫斯基度规。正如爱因斯坦后来回忆的：“我们发现，解决问题 1 的数学方法就现成地摆在手边，即格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯特罗（Gregorio Ricci-Curbastro）与图利奥·列维-奇维塔（Tullio Levi-Civita）的绝对微分学”——也就是张量微积分（tensor calculus）。“至于问题 2，”他接着说，答案就在伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）关于曲面的工作之中。²

这些工具也许是“现成的”，但首先爱因斯坦得先掌握它们。正如他对阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld）说的：“我这一生还从未如此拼命地苦干过。”他接着说，在格罗斯曼的帮助下，他“对数学生出了极大的敬意——而我先前出于无知，一直把数学中那些精微的部分当作纯粹的奢侈品”。闵可夫斯基要是知道了，准会欣喜若狂。³

正如我们已经看到的，索末菲此前已经涉猎过张量，把它当作在平直的四维时空中书写麦克斯韦方程组的一种方式——而麦克斯韦本人也曾使用带两个指标的张量性量来描述普通三维空间中的应力。里奇与列维-奇维塔所做的，是发展出一种也能处理弯曲空间的微积分——而最先把张量微积分应用到弯曲的时空上的，是格罗斯曼和爱因斯坦。不过他们全都建立在黎曼的工作之上——而黎曼又建立在他那位传奇老师高斯的想法之上。

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弯曲曲面的数学：卡尔·弗里德里希·高斯¶

格罗斯曼的博士论文做的就是非欧几何（non-Euclidean geometry），这一领域在 1820 年代由高斯、亚诺什·波尔约（Janos Bolyai）和尼古拉·罗巴切夫斯基（Nicolai Lobachevsky）开创。在曲面的几何中，欧几里得那条关于平行线永不相交的公设不再成立，而这一点最容易在地球仪上的经线上看出来：它们在赤道处是平行的，却在两极相交。那么，在弯曲的曲面上，你还能不能确切地谈论“平行”线呢？这对向量分析来说是个至关重要的问题，因为向量相加这整个概念都建立在平行四边形法则（parallelogram rule）之上——在那里，你通过保持向量平行而把它们滑动到正确的位置（如图 3.1）。

这个问题的答案来得很晚——等我们遇见列维-奇维塔时就会看到。但他受惠于里奇，而里奇又受惠于高斯在一个相关问题上的工作。在日常生活中，我们用一把直尺沿着两点之间的直线摆放来测量这两点间的距离，而毕达哥拉斯定理给出了这个距离量度，或者说“度规（metric）”。可是，如果弯曲的曲面上根本就没有直线，距离公式又是什么样的呢？高斯认定，解决办法是去看那些靠得非常近的点。

高斯对测量距离有着第一手的了解。从十几岁起，他就对大地测量学（geodesy）——即对地球的形状与表面积所做的数学分析——以及三角测量（triangulation，用于测绘的方法）感兴趣。从那以后，他参与过各种政府与军事的测绘项目——战争似乎依旧无休无止。事实上，正是因为 1803—15 年间肆虐的拿破仑战争，索菲·热尔曼（Sophie Germain）才终于向高斯透露了自己的真实身份。正如我们在第 3 章看到的，她曾以“勒布朗先生（Monsieur Le Blanc）”这个化名写信向他求教数学。可是，当法军攻占了离高斯家不远的一座普鲁士城镇时，她为他担心到了极点，于是说服一位家庭友人——那人同时也是一位将军——去查看他是否安全。高斯对一位敌方士兵彬彬有礼的来访大为惊讶——而当那名士兵说他是受“热尔曼小姐（Mademoiselle Germain）”之托而来时，他就更摸不着头脑了！

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1821 至 1825 年间，已经四十多岁的高斯带领了一系列测绘远征，为整个汉诺威王国绘制地图。这些远征不仅需要数学上的专门知识和操作仪器的熟练技艺，还要在艰险的地形中跋涉、在野外风餐露宿。到了夜里，高斯还得亲手处理他和他的团队采集来的数据——为了给自己减负，他动用了此前已经发明的最小二乘法（method of least squares）。这是一种把一条直线拟合到一批数据点上、或者从一堆重复测量中求出最精确估计值的方法——而它众多的现代应用之中，就有我在谈到机器学习时提到过的线性回归模型。高斯几乎和两百年前那位谜一般的伊丽莎白时代人物托马斯·哈里奥特（Thomas Harriot）一样不愿发表东西，因为两人都是完美主义者——于是最小二乘法，以及高斯无数其他的发现，后来都被别人重新发明了一遍。⁴

总之，在有了所有这些亲身实践的经验之后，高斯已准备好发表他 1828 年那篇开创性的论文《关于曲面的一般研究》（Disquisitiones Generales circa Superfices Curvas，英译 General Investigations of Curved Surfaces）。事实上，正是高斯创造了度规这个概念——也就是我们在上一章遇到的那个距离量度，在那里我把平直的三维欧几里得度规写成

\[\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.\]

我当时假定 x, y, z 是位置向量的分量，给出的是从原点到点 (x, y, z) 的直线距离；但是任意两点 (x₁, y₁, z₁) 与 (x₂, y₂, z₂) 之间的距离则由下式给出

$$\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$$.

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高斯的想法是：如果弯曲曲面上的两点靠得足够近，使得 x₂ − x₁ 非常小，其他坐标差也同样很小，那么它们之间那一小块曲面就近似是平的。你只要想象一只橙子或一只球上相邻的两个点，就能直观地看出这一点——而在更大的尺度上，这也正是为什么我们可以在弯曲的地球上谈论一小块“平坦”的陆地。如果你的两点靠得无穷小地近，它们之间的曲面在一切实际意义上都将是平的，它们之间的线也将是直的。用现代的说法，这个曲面是“局部地”平的。这和用一条切线去逼近一小段曲线是同一个想法。你可以用这条直的切线来逼近到曲线上邻近一点的距离，就像图 10.1 那样——只不过对于弯曲的曲面，你拥有的是一个切平面，而不是一条切线。

这意味着你可以在弯曲的曲面上使用欧几里得的距离量度，只不过你需要用微积分里那类无穷小的距离 dx, dy, dz 来取代 x₂ − x₁、y₂ − y₁、z₂ − z₁。换句话说，取代

\[\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\text{or}\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}},\]

高斯证明了，一般的距离量度或度规是

$$ds=\sqrt{\left(dx\right)^{2}+\left(dy\right)^{2}+\left(dz\right)^{2}}$$,

其中曲面上一条线的长度记作 s。这个表达式常被平方，而且在记号上做些变通、把括号省掉以便书写——于是这个曲面的欧几里得度规通常写成

ds² = dx² + dy² + dz².

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（高斯之后八十年写作的闵可夫斯基，懂得把这类微分记号用在他的四维时空度规上：⁵

ds² = dx² + dy² + dz² − c² dt²。）

如果这一切对你来说并不熟悉，你也许会想：把距离量度说成一根根小直线的长度，固然很好，可是当你想测量更长的弯曲距离时，又该怎么办呢？表面上看，你得把那些无穷小的尺子沿着曲面上那条弯线首尾相接一路铺过去。所幸，莱布尼茨式的微分记号漂亮地指明了如何用简单得多的方式回答这个问题：只要对 ds 积分，就能求出距离 s。我在图 2.3b 里就用这个度规的二维版本做过这件事。如果你对这一套确实熟悉，那么我希望你也会同意：回头看看我们今天所学的数学是从哪里来的，是件很有意思的事——这一次的源头，是那位了不起的高斯。不过，他并没有用“度规”这个术语；他把这种距离量度称为曲面的“线性元素”——而它至今仍常被叫作“线元（line element）”。

比如说，一只球的曲面只是二维的，所以你可能还在纳闷：为什么平直的三维空间与二维曲面上的一小块，它们的度规看起来是一样的？当我们看这只球的表面时，我们是从外面看它的，所以表面上的点在我们眼里就是三维空间中的点。但正如你在图 10.2 中可以看到的（在图 10.1 中也可作类比），这些点中任意两点之间的无穷小距离，在曲面上量出来，几乎就等于在空间中量出来的直线距离。

于是，为了突出曲面的内蕴的、二维的本性——也就是一只超级聪明的蚂蚁、或者二维的外星人会看到的那个样子——高斯沿循莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的做法，用两个“曲线（curvilinear）”坐标来参数化曲面，他把它们叫作 p 和 q。例如在地球表面上，p 轴可以是赤道那条纬线，而 q 轴是经过格林尼治的那条经线（子午线）。一只聪明的蚂蚁外星人在这个表面上爬行时，会从这两条轴出发做测量——它不会意识到还有第三个维度。

高斯证明了，当你这样做时，二维曲面上的度规就变成了

dx² + dy² + dz² = Edp² + 2Fdpdq + Gdq²,

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其中 E, F, G 是 p 和 q 的函数。（你可以在下一条尾注里看到他是怎么做的。）他还以一项大师级的技艺证明了：这个表达式中的系数 E, F, G，连同它们的导数，已经包含了我们那个二维小生物弄清楚曲面内蕴几何所需要的全部信息。

举例来说，这只蚂蚁外星人就能分辨出：自己是爬行在一个平坦的空间上（在那里三角形的内角之和等于 180°），还是在一个正曲率的空间上（比如球面，在那里内角和大于 180°），抑或是在一个负曲率的曲面上（比如马鞍面，在那里内角和小于 180°，如图 10.3）。

这是因为高斯是用那个弯曲三角形的面积、以及 180° 与三角形内角和之间的差值来定义“内蕴曲率（intrinsic curvature）”的。他并不知道，就球面这种情形而言，托马斯·哈里奥特在他自己关于制图与地球表面导航的工作中，早已发现了这个公式：

\[\frac{\alpha+\beta+\gamma-\pi}{\text{Area} \text{of} \text{triangle}}=\frac{1}{r^{2}},\]

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其中三角形的三个角用 α、β、γ 弧度表示，π 弧度等于 180°，r 是球面的半径，而 $\frac{1}{r^{2}}$ 就是它的“高斯”曲率，即内蕴曲率。因为哈里奥特没有发表他的结果，阿尔贝·吉拉尔（Albert Girard）在几十年后重新发现并发表了它——不过高斯的版本更为精深，而且并不只局限于球面。更何况，高斯证明了这个公式里的面积与角度二者都可以单靠度规求出来。这乍看之下相当令人惊叹。事实上，高斯激动之至，把这一发现称为他的 theorema egregium——他的“绝妙定理”。

那么就让我把这个非凡的结果再多拆解一点。我们已经看到，度规会告诉你一条线的长度——比如我们在第 9 章看到的向量的模，或者图 2.3 中那个圆的周长。而早在很久以前，阿基米德（Archimedes）就算出过球面的面积（4πr²），甚至还说明了怎样求球面上那些圆柱形部分的面积。但高斯证明了，任何弯曲曲面的面积其实都可以从度规系数 E, F, G 出发、通过对表达式 $\sqrt{EG-F^{2}}$ 求面积分得到。由于既没有微积分、也没有度规这个概念，当哈里奥特推导球面上一个三角形的曲面面积时——他是已知第一个做到这件事的人，而且他需要它来证明上面的内蕴曲率公式——他不得不动用好几页纸的巧妙几何论证。

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话说回来，高斯建立曲率与度规之间这些基本关系也花了许多页篇幅；不过哈里奥特只解决了球面三角形这一个问题，而高斯则为任何曲面上任何形状的面积指明了道路。至于高斯和哈里奥特的曲率公式所需要的那些角，令人惊奇的是，原来 E, F, G 正是图 10.4 中那两条坐标线 p 与 q 的切向单位向量的标量积——而标量积的几何公式给出的，正是这两个向量之间夹角的余弦。当然，1828 年的高斯并不知道向量和标量积——至少不是在严格的形式意义上——但他仍然拥有与之等价的坐标形式。我在这条尾注里说明了他是怎样做的。⁶

耐人寻味的是，促使高斯与哈里奥特在曲率上取得突破的动力都是实用的——制图与导航。所以，这一切并不只是给蚂蚁和外星人准备的。我们自己也可以利用度规来确定我们所栖居的那个曲面的曲率——我们不必跑到太空里去从外面看地球。这真的很了不起，就好像一个小小的方程 ds² = Edp² + 2Fdpdq + Gdq²，就编码进了一种全知的上帝之眼对整个曲面的俯瞰。而等到我们遇见格雷戈里奥·里奇时就会看到，度规中那些微分的系数——比如这里的 E, F, G——原来就是一个张量的分量，那是从向量再往前走的一步。到了爱因斯坦手里，它将成为开启整个宇宙的钥匙。

从制图到黑洞：不变性、拓扑学与“直”线¶

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爱因斯坦还将借助高斯所强调的另一样东西：不变性（invariance）这个概念。事实上，不变性对于张量方程的简洁与威力至关重要，正如我们在上一章就向量所见到的那样。特别是，拥有一个不变的距离量度很重要——意思是说，比如欧几里得距离、或者时空中事件之间的闵可夫斯基间隔，如果换一个视角来测量——比如说从一个转动过的参照系，或者一个经过洛伦兹变换的参照系——它仍将保持不变。我们前面已经见过这方面的例子，它们说明了这样一件事实：我们上面遇到的欧几里得度规与闵可夫斯基度规，分别在转动与洛伦兹变换下是不变的。

1828 年时，洛伦兹变换还要等半个多世纪才出现；但高斯确实证明了，他那二维的曲线度规——或者说他所谓的“线性元素”或“曲率测度（measure of curvature）”——在你把曲面弯成另一种形状时是不变的（用他的话说，是“不改动的”）。至少，只要你不去撕破或剪开这个曲面，就是如此：比如说把一张纸卷成一个圆柱，或者把一个足球捏成一只橄榄球。后一种塑形，正是熔融而流动的地球所经历的事情——它因为自转而在赤道处鼓出来，却并不改变自己的总体积。

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度规在这种弯曲或挤压下的不变性，联系着那个反直觉的想法：圆柱的弯曲曲面其实是内蕴地“平”的。（它只在从外面看时才是弯曲的，所以这种曲率是“外蕴（extrinsic）”的。）要看出这种不变性，可以想象一张平纸上画着一条直线；在我们那只二维蚂蚁看来，这条线与纸被卷成圆柱之后的线是同一条线——长度相同，因而度规也相同。但球面却是内蕴地弯曲的，这一点你在榨完半个橙子之后也许就注意到了：你没法不撕破它就把那个半球形的壳摊平。它只是局部地平的，正如图 10.1 与图 10.2 所示。所以，我们在这里谈论的不仅是坐标变换，还有拓扑学（topology）——它研究的是曲面与形状那些即便塑形（只要不撕破）也不会改变的性质——尽管高斯并没有使用这个术语。我们在第 5 章曾顺带见过拓扑学的想法，即高斯的学生莫比乌斯与利斯廷在 1840 年代的工作，那已是高斯的论文之后二十年。尽管如此，高斯关于度规的拓扑不变性所证明的东西，解释了为什么在测量距离与角度时，那个鼓胀的地球可以被当作一个球面来处理。

曲率与拓扑之间还有一种更为惊人的联系，它表达在所谓的高斯–博内整体定理（global Gauss-Bonnet theorem）之中。这个定理的“局部”版本，就是高斯用曲面上一小块区域中弯曲三角形的角与面积来给出的曲率定义——其中哈里奥特的公式是球面三角形的特例——以及在需要时，皮埃尔·奥西安·博内（Pierre Ossian Bonnet）在 1848 年把高斯定理推广到圆盘这类开放曲面上所做的扩展。当你不是把它用在一小块上、而是用在（“整体的”）整个曲面上（比如整个球面）时，拓扑学就参与进来了。1972 年，斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）用高斯–博内整体定理和爱因斯坦的方程证明了：一个稳态黑洞的边界，或者说事件视界（event horizon），在拓扑上等价于一个球面。这又是一个例子，说明人类这些小小的“蚂蚁”可以拿着纸笔坐下来，用曲率的数学去发现广袤而神秘的新天地。前一年，霍金已经在数学上证明了这个边界的面积永远不会减小——这个结果直到 2021 年才得到实验确认。不过，在 1965 年用拓扑学证明“如果广义相对论是正确的，那么黑洞就应该真的存在于自然之中——它们并不只是数学上的产物”的，是罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）。而后在 2019 年，多亏了事件视界望远镜（Event Horizon Telescope）背后的国际合作，我们所有人都有幸看到了那张非凡的、首张黑洞直接影像——或者更确切地说，看到了它那个大致（在拓扑意义上！）呈圆形的影子。⁷

在黑洞的存在得到这一壮观确认之后，彭罗斯分享了 2020 年的诺贝尔物理学奖。另外两位获奖者，天文学家赖因哈德·根策尔（Reinhard Genzel）与安德烈娅·盖兹（Andrea Ghez），发现了我们银河系中心那个“超大质量致密天体”——人们认为那就是一个黑洞。盖兹只是第四位获得诺贝尔物理学奖的女性。不过，还是让我回到高斯曲率（Gaussian curvature）上来吧，因为它并不只在大地测量学、测绘学和宇宙学中有用：今天它还有着范围广泛的、非常接地气的应用，其中包括前沿的材料科学。⁸

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高斯还有一个绝妙的洞见，为今天那些头条新闻背后的精密数学铺平了道路。正像哈密顿意识到四元数自成一套代数系统、有着与普通代数不同的规则那样，高斯意识到，一个弯曲的二维曲面本身就自成一个“空间”，就像我们所栖居的那个三维空间一样。这样一个空间，带着它那两条曲线坐标轴和它自己的距离量度，拥有它自己内蕴的二维几何；而我们已经看到，度规正是打开这种几何的钥匙，因为计算距离、角度与曲率都需要它。但事情还不止于此。在（平直的）普通空间中，我们有欧几里得几何。那是关于直线、以及直线彼此所成角度的几何，关于这些线与角有着数不清的定理，两千多年来一直很好地服务于我们。于是，高斯面对的问题是这样一个：在一个没有直线的空间里，你怎样才能找到几何规则？他的回答极为巧妙。直线的特点在于：它是普通欧几里得空间中两点之间的最短距离——于是问题就变成了：在弯曲的曲面上，两点之间的最短距离是什么？

在像地球这样的球面上，数理天文学家、制图师和航海家几千年前就知道了“大圆（great circle）”——即与球面有着同样的中心和半径的圆，比如经线和赤道。不过，弄清这个曲面上两点之间的最短距离是沿着穿过它们的那条大圆的，是约翰·伯努利（Johann Bernoulli）和他的哥哥。即便在今天，飞机驾驶员在可能的情况下也会沿大圆航线飞行，好让航程更高效。1720 年代，伯努利昔日的学生欧拉发明了所谓“变分法（calculus of variations）”，用以求出这条最短线的方程；它是学校里那种微积分的高明推广——在那里，你把一个函数的导数取为零，以求出它的极大值与极小值。一个世纪之后，高斯说明了如何把变分法应用到度规上，以求出二维曲面上任意两点之间的最短距离。

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这条“最短距离”落在一条叫作“测地线（geodesic）”的线上——这个名字提醒着我们，非欧几何与古代航海、与地球上的大圆之间有着联系。当爱因斯坦为弯曲空间重写运动定律时，他会把测地线用得出神入化。但正如他后来回忆的，他和格罗斯曼首先得弄懂高斯那位了不起的学生伯恩哈德·黎曼的工作，因为正是这个人把高斯的分析带进了更高的维度。

伯恩哈德·黎曼接过高斯的接力棒¶

1840 年代末、1850 年代初，黎曼求学于哥廷根大学，高斯在那里当教授；但那时的哥廷根还不是本世纪晚些时候它将成为的那个充满活力的思想活动中心。教授们拘谨而疏远，他们的课也老派——连高斯都只教些入门的班。于是黎曼转学到柏林大学待了几年——那里的教授同样是出色的数学家，而且他们开的前沿课程要多得多。尽管如此，他还是选择回到哥廷根，在高斯门下读博士。

三年之后，黎曼在一篇论文里给自己定下了一个相当艰巨的挑战——这篇论文最先译成英文的是威廉·金登·克利福德（William Kingdon Clifford）：麦克斯韦那位才华横溢的年轻同事、乔治·艾略特（George Eliot）的朋友，正如我们在第 7 章看到的，他发展出了哈密顿与格拉斯曼那些向量性想法的一种综合。正如我在序言里提到的，如果你把熟悉的笛卡尔坐标 x, y, z 加以推广，写成 x₁、x₂、x₃，那么就很容易想象出任意多个维度，坐标轴为 x₁、x₂、x₃、… 、x_n。在这样一个 n 维空间中，向量的分量——比如说速度的——就可以记作 v₁、v₂、v₃、… 、v_n。黎曼的挑战在于：改造高斯关于弯曲二维空间的工作，找出弯曲的 n 维空间的几何规则。

首先，黎曼必须定义一种在 n 维弯曲曲面上测量距离的方式。他把这个曲面、这个弯曲的空间称为一个“流形（manifold）”。（这是一个拓扑学的概念，因为黎曼沿循高斯，探究的是内蕴曲率。）

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在我们看到他是怎么做的之前，我该提一句：在 1850 年代研究 n 维空间的并不只有他一个人。比如说阿瑟·凯莱（Arthur Cayley），他不光是矩阵理论的发明者、向量分析的一位劲头十足的反对者；他同时也是不变量理论与 n 维几何这两个领域的先驱——具体地说，是一个曲面被投影到平直的欧几里得空间上时（就像地面上的一个影子）的几何。

说到凯莱，二十年后，也就是 1874 年，他获得了一幅肖像画的荣誉；那幅画至今仍挂在三一学院的餐厅里，紧挨着麦克斯韦的肖像，正对着牛顿的（麦克斯韦已于 1871 年回到剑桥，担任该校第一间科学实验室——卡文迪什实验室——的首任主任）。这件事催生了麦克斯韦又一首著名的诗，这一次是写给凯莱肖像基金委员会的。对于那些“被囿于空间之中”的人，他开篇写道，你能向一位思想已经穿透这些边界的人献上什么敬意呢？接着，他以诗意的方式历数了凯莱的成就，然后希望观者能在这幅肖像的二维形貌前驻足，想一想那位“灵魂，大到容不下这庸俗的空间，在 n 维中无拘无束地繁盛”的人。⁹ 这是对数学家在想象那些不受我们日常世界束缚的空间时所能感到的自由感的一处动人描摹。

不过，凯莱归根结底是在欧几里得几何中工作，而黎曼所关注的则是弯曲空间（即流形）的内蕴几何。用现代的术语说，一个流形在“局部”上看起来就像一个平直的 n 维欧几里得空间——所以它是高斯那个想法的推广：只要凑得足够近地放大去看，弯曲的曲面看起来就是平的，而平直的空间可以用学校几何的简单推广来处理，尤其是毕达哥拉斯定理。于是，黎曼通过与欧几里得度规类比，定义了一个平直的 n 维流形的距离量度——也就是度规，或者他所谓的“线元”：

\[ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\dots+dx_{n}^{2}.\]

事实上，黎曼是最先把线元为这样一组微分平方之和的曲面称作“平直”的人。

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在一张平纸上，欧几里得度规 ds² = dx² + dy² 无论纸张大小都成立——而在普通的欧几里得空间中，ds² = dx² + dy² + dz² 处处成立。然而在一个弯曲的流形上，黎曼沿循高斯，指出你只有把注意力集中在局部——集中在一个点周围那个平直的“邻域”里——才能把度规写成这样一组微分之和。关于曲面内蕴曲率的信息，就包含在曲面内蕴度规中那些微分的系数里，正如我们前面在高斯的二维度规中所看到的，

ds² = Edp² + 2Fdpdq + Gdq².

不过在一般情况下，度规中的系数不仅取决于曲率，也取决于坐标的选择：同一个度规用不同的坐标写出来会显得不一样，就像一个圆的方程在笛卡尔坐标中与在极坐标中看起来不同那样：对于以原点为心、半径为 a 的圆，它们分别是 x² + y² = a² 与 r = a。所以，度规“有系数”这个简单的事实，并不足以告诉你这个曲面是否弯曲。然而黎曼暗示的是：确实有办法从这些度规系数中解译出流形的曲率。他到底是什么意思，我们后面会看到，因为他在这篇面向一般听众的论文里并没有深入细节。

他是在 1854 年申请成为哥廷根的无薪讲师（Privatdozent）时做这场报告的。Privatdozent 是这样一类讲师，他们的报酬来自学生，而不是大学——所以如果你招不到多少学生，日子会相当难过。但这是学术阶梯上的第一级——而那份折磨人的申请程序，还包括一篇“教授资格（habilitation）”论文和一次报告。爱因斯坦 1908 年的第一份学术工作，就是伯尔尼大学的 Privatdozent；前一年他申请时用他 1905 年那篇狭义相对论论文当教授资格论文，结果失败了：它被以“无法理解”为由拒掉了！这正说明他的理论在当时有多么激进。黎曼的那场报告也超出了大多数听众的理解能力——不过，坐在听众席上、已经七十七岁的高斯，当然明白它的意义。高斯是那种有他相助便大不一样的人，而他认为黎曼是一位“有着光辉丰饶之独创性”的真正数学家。这的确是极高的赞誉，因为高斯并不是一个会随便送人好话的人，格拉斯曼和其他许多人都领教过。高斯的坏脾气，也许与他挚爱的第一任妻子死于分娩有关，因为看上去他始终没能从悲痛中走出来。¹⁰

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三年之后，黎曼成了哥廷根的助理教授，并最终成为教授。他对数学做出了许多卓越的贡献，其中包括他的博士论文——它为复分析（complex analysis）奠定了基础，把复数的想法带进了更深的地带。他还开创了一个拓扑学的想法：按曲面的“亏格（genus）”（这是它现在的名字）来分类——本质上就是它上面的“洞”的个数，比如一只茶杯有一个洞，而一个球面一个也没有。不过眼下与我们的故事相关的，是他 1861 年写的一篇论文，因为它是曲率的代数理论与张量概念二者的核心所在。

黎曼那篇里程碑式的论文：一步步逼近张量¶

黎曼写这篇论文，是为了参加巴黎科学院（Parisian Academy of Sciences）赞助的一场竞赛，题目是关于某一类热分布的热传导。正如我们在格拉斯曼和热尔曼那些获奖论文中看到的，这类竞赛是刺激前沿课题研究的一种重要方式。而由于它实在太过前沿，这里的事情会变得稍微复杂一些，尤其是因为黎曼用的希腊字母记号，所以这一节你尽管跳着读、抓住要点就好。请特别留意：他的希腊字母符号带有不止一个指标或下标——这正是张量的一个标志——而度规就是“二次微分形式（quadratic differential form）”的例子；另外，记号 Σ 表示一个和。

黎曼从约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）在 1822 年推导出的热方程出发。正如我在第 6 章提到的，这个方程说明当热量在一个物体内扩散时，温度如何随时间变化。你可以想象，比如说，握着一根金属的拨火棒，它另一端被火烤着，你会渐渐感觉到热量顺着把手往上、往里传——于是温度是在空间的全部三个维度上变化的。然而，就这场竞赛而言，科学院规定：随着热量的流动，温度只应在两个维度上变化——比如说，当拨火棒的内部被隔热，热量只能沿着它的表面、横向地流动。黎曼处理这个问题的创新做法，是变换热方程中的坐标：从通常的笛卡尔坐标 x ≡ x₁、y ≡ x₂、z ≡ x₃，变换到新的坐标 s₁、s₂、s₃，而他把这些新坐标定义为只是两个维度——比如说只是 x 和 y，而不含 z——的函数。这正是高斯在把他的二维弯曲度规写成 p 和 q 的形式时所做过的事。

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我在这里以及第 9 章里谈了很多坐标变换，谈的是标量积与向量积、以及欧几里得度规与闵可夫斯基度规给出的距离／间隔量度，在用新坐标表达时如何保持不变。类似地，黎曼最终得到了方程

Σα_ι,ι′ dx_ιdx_ι′ = Σβ_ι,ι′ ds_ιds_ι′.

你可以看出，方程左边那个表达式的形式与右边相同，所以这个表达式在黎曼从 x₁、x₂、x₃ 到 s₁、s₂、s₃ 的坐标变换下是不变的。

黎曼那个带两个指标的符号 α_ι,ι′ 与出现在热方程中的“导热系数（conductivity coefficient）”有关——而他的 β_ι,ι′ 则与用新坐标 s₁、s₂、s₃ 写出的热方程中的导热系数有关。（导热系数本身，他分别写作 a_ι,ι′ 和 b_ι,ι′。）不过技术细节¹¹并不重要：这里要紧的是黎曼表示他那些系数的方式，以及这样一个事实——早在张量被正式定义之前四十年，他就直觉到它们正是我们今天所谓的张量的“分量”。

黎曼方程中的 Σ 表示求和。（它是大写的希腊字母西格玛，相当于拉丁字母 S，用作“求和”的简写。）和式 Σα_ι,ι′dx_ιdx_ι′ 中的指标 ι、ι′ 各自指涉空间的三个维度，由三个坐标 x₁、x₂、x₃ 代表。在这种情况下，ι、ι′ 所有可能的组合是 (1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)。所以 Σα_ι,ι′dx_ιdx_ι′ 是一种简写，它写全了就是

α_1,1dx₁dx₁ + α_1,2dx₁dx₂ + α_1,3dx₁dx₃ + α_2,1dx₂dx₁ + … + α_3,3dx₃dx₃.

（Σβ_ι,ι′ 的情形与此类似。）这看上去与我们一直在讨论的那些度规颇为相像，尽管这种“微分形式（differential form）”此前也纯粹因其代数性质而被研究过——而且黎曼谈的是热传导，不是度规。微分形式就是带有 dx₁、dx₂ 等等微分的表达式；黎曼的表达式是一个“二次微分形式”，因为它是由两个“微分”的乘积构成的——dx₁dx₁、dx₁dx₂，如此等等——这类似于二次方程中的平方项。

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要看出黎曼的微分形式与一个度规的相似之处，可以注意：在欧几里得度规 $dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}$ 中，与黎曼的 α_ι,ι′ 相对应的那些系数应该是：

α₁₁ = α₂₂ = α₃₃ = 1,

而所有其他的 α_ij 都等于零。（今天，张量分量中的指标不像黎曼那样用逗号隔开，因为逗号现在指的是偏导数。而我之所以用下标 ij，是因为黎曼对 ι 和 ι′ 的用法容易混淆：正如我们在图 9.3 中看到的，撇号通常表示变换后的坐标。不过本章其余部分我仍将沿用黎曼的记号。）黎曼完全清楚它与度规的这种相似性。然而，尽管他说自己所用的方法与高斯处理曲面时所用的类似，他的注意力却放在从他对热方程的分析中得出的那套代数上。

这场代数分析涉及了我们今天称为张量的那些量，其最初的线索就在于他用来表示热方程中导热系数（a_ι,ι′ 与 b_ι,ι′）的双指标记号，以及我们在上面那个二次形式中见到的与之相关的系数 α_ι,ι′ 和 β_ι,ι′。在第 9 章末尾，我曾说明麦克斯韦也同样直觉到了张量的想法——当时他用两个指标 P_hk 来写应力的分量。我还借助图 9.4 与图 9.5 说明了，为什么他需要两个指标，而不是向量分量所需要的那一个（比如图 9.1 那样）。黎曼并没有讨论他把自己的导热系数写成 a_ι,ι′ 时为什么要用两个指标。不过要想把它们形象化，你可以取这个导热物体的一小块体积，就像图 9.4 那样——于是系数 a_ι,ι′ 的表现就像那些 P_hk，只不过它们度量的是导热性而不是应力。举例来说，当 ι ≡ y、ι′ ≡ x 时，热的传导沿着 y-x 方向进行，就像那个箭头 P_yx 一样。

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黎曼确实申明了，他只考虑传导在两个方向上都相同的情形——比如说，从 y 到 x 的传导与从 x 到 y 的传导相同，于是 a_y_,x = a_x_,y；或者更一般地，a_ι,ι′ = a_ι′,ι。这是不变性的又一个例子：把 a_ι,ι′ 上的两个指标互换，并不改变这个系数的值。这种不变性的另一个名字是“对称性（symmetry）”，因为把指标 ι、ι′ 互换得到 ι′、ι，就像把它们做了一次反射，正如你的镜像在镜子中被反射，或者一片雪花关于一条对称轴被反射。

不过，黎曼的那些“张量”所包含的，还不只是两个指标。

张量可不止是记号！¶

事实上，光是两个指标并不必然就是张量的标志。举例来说，在黎曼论文之后二十年，麦克斯韦也用两个指标来表示导热——在他那里是 K_pq，他解释说热的传导是从 p 点流向 q 点；但他还把沿同一方向流动的电流记作 C_pq。¹² 电流确实既有方向又有大小，这话没错，可是在电路中它是像普通的数、即标量那样相加的，所以它既不是向量也不是张量。

记号的问题确实重要，而指标记号用来做张量计算是极出色的。但它只是一种表示数学量的方式，而不是定义它的方式。要紧的是：一个数学量要想被称为向量或张量，必须具备哪些性质——这不仅包括它们的加法与乘法规则，也包括表达不变量表达式的能力，比如标量积 a ∙ b，以及黎曼的 Σα_ι,ι′dx_ιdx_ι′ = Σβ_ι,ι′ds_ιds_ι′。定义一个张量到底需要什么，我们后面会更详细地看到。而结果确实是：黎曼的 α_ι,ι′ 与 β_ι,ι′ 就是张量的分量——那些导热系数也是，尽管黎曼的推导并没有显示这一点。¹³ 毕竟，张量还没被发明出来呢！尽管如此，黎曼的论文——就像麦克斯韦、柯西和汤姆森（Thomson）关于应力的那些论文一样——展示出正是哪一类问题使得发明它们成为必要。

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不过还有更多内容，因为张量可以有不止两个指标；而在他寻找那个使 Σβ_ι,ι′ds_ιds_ι′ 保持不变——也就是说，与 Σα_ι,ι′dx_ιdx_ι′ 相同——的变换的过程中，黎曼也提出了带三个和四个指标的量。然后他做了一件真正特别的事。首先，他随口一提，作为一句题外话，说“表达式 $\sqrt{\sum\beta_{\iota,\iota},ds_{\iota}ds_{\iota}},$ 可以看作一个 n 维的、更一般空间中的线元，而这个空间延伸到了我们直觉的边界之外”。接着他说，如果你在这个空间中想象一个曲面，那么他那带三个和四个指标的量，就是度量这个曲面曲率的关键。它们是由系数 β_ι,ι′ 及其导数的种种组合构造出来的——所以，黎曼在他的教授资格报告中暗示确实有办法从度规系数里把曲率信息梳理出来、而无论坐标系如何，他指的就是这个。¹⁴

黎曼并没有给这些带三个和四个指标的量起名字。它们实质上就是如今——多亏了里奇与列维-奇维塔——分别被称为埃尔温·克里斯托费尔符号（Christoffel symbol）与黎曼张量（Riemann tensor）的那些东西的分量。“埃尔温·克里斯托费尔符号”这个名字表明，这些带三个指标的量并不是一个张量的分量——至少，不是某一个张量的分量。这里的细节并不重要，因为要点又一次很简单：一样东西有指标，并不必然就是张量；正如我说过的，它还需要具备其他的性质——尤其是在线性坐标变换下的不变性。

埃尔温·克里斯托费尔符号是由度规这类二次微分形式中的系数的导数构造出来的，而黎曼张量则是由埃尔温·克里斯托费尔符号及其导数构造出来的。所以，在一个带度规的空间中，关键的观念是：如果黎曼张量等于零，那么这个空间就是平直的。而且，如果这个空间是平直的，那么黎曼张量就等于零。这意味着，黎曼张量正是那个告诉你自己的空间是弯还是平的东西。所以它常被干脆叫作“曲率张量（curvature tensor）”。

由于黎曼张量是由度规中的系数构造出来的，而这些系数又是坐标的函数，它在空间中每一点都有一个值。所以严格说来，它是一个张量场而不是一个张量，正如电场向量与磁场向量 E 和 B 是向量场一样。不过在实践中，研究者们往往径直把它们说成是定义引力场与电磁场的那些张量和向量。（也有人要求使用更为数学精确的语言，不过这类严格的定义，要等到麦克斯韦把法拉第的物理场观念做数学化发展、以及黎曼在曲率上的开创性工作之后很久才出现。）

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黎曼张量有时也被称为黎曼–埃尔温·克里斯托费尔张量，而构成它的那些符号被称为埃尔温·克里斯托费尔符号，原因出人意料：提出这些量的并非只有黎曼一个人。埃尔温·克里斯托费尔（Elwin Christoffel）也做出了同样的东西——他是爱因斯坦母校苏黎世工学院（Zurich Polytechnic）的数学教授——尽管埃尔温·克里斯托费尔发表他的工作是在 1869 年，比爱因斯坦在那里当学生早了三十年。埃尔温·克里斯托费尔大概并不知道黎曼 1861 年那篇论文，但他确实受到了黎曼 1854 年教授资格报告的启发，这促使他去探究二次微分形式不变性的条件。不过与黎曼不同，埃尔温·克里斯托费尔并没有把他那些带三个和四个指标的符号与曲率联系起来，因为他的关注点是纯粹的代数。¹⁵

黎曼并没有把他的曲率想法再往前推进多少——那要留给里奇、爱因斯坦和格罗斯曼去做。因为，就像他的英译者克利福德——也像麦克斯韦、闵可夫斯基以及那么多其他人——黎曼死得太早，没能充分发挥自己的潜能。1862 年，他染上了肺结核。此后几年里，他和新婚的妻子、尚在襁褓的女儿在意大利度过了一段时间，拼命指望在更温暖的气候里能康复过来。但在 1866 年，他输掉了与这种可怕疾病的搏斗，就像他的母亲和三个姐妹一样。他还不到四十岁。

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黎曼的教授资格报告直到 1867 年才发表。克利福德的英译本《论作为几何学基础的那些假设》（On the Hypotheses Which Lie at the Bases of Geometry）于 1873 年刊于《自然》（Nature）。黎曼那篇关于热的论文，只是在他 1876 年的文集中才得以出版——它并没有赢得那场论文竞赛！评委们要找的是更为具体的东西——他们没有赏识黎曼处理那个热问题所用的那种异常一般的方法，更不用说认识到其中蕴含着张量分析与曲率理论这两者的种子了。于是，他的论文被冷落了多年，无人赏识、无人知晓；而黎曼永远也不会知道它日后会变得多么重要。他永远不会知道，自己的名字会因为黎曼张量——广义相对论的基石——而长存于世。

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然而在 1912 年，爱因斯坦与格罗斯曼抓住了黎曼的工作，用以建立弯曲时空的几何。我们前面看到，爱因斯坦已经确认了他与格罗斯曼需要解决的两个问题：如何把物理定律从狭义理论搬到广义理论；以及如何在弯曲的时空中找到合适的度规。黎曼给了他们第二个问题的答案：线元将具有黎曼的 $\sqrt{\sum\beta_{\iota,\iota},ds_{\iota}ds_{\iota}},$ 这样的形式，而系数 β_ι,ι′ 将是坐标的函数。它们不会是常数，不像欧几里得度规中的那些 1，也不像闵可夫斯基度规中的 1、1、1、−c²，

ds² = dx² + dy² + dz² − c² dt²,

因为那样一来它们的导数就会是零，黎曼张量因而也会是零，于是时空就会是平直的。¹⁶

然而，要解决第一个问题，爱因斯坦与格罗斯曼将需要一套严密的理论，把我一直在讨论的所有这些张量性的想法都囊括进去——这些想法是许多数学家在几十年间凭直觉一点点摸索出来的，从柯西、埃尔温·克里斯托费尔，到麦克斯韦、黎曼，还有更多人。那么，是时候去见见格雷戈里奥·里奇了！

爱因斯坦的博士：Banesh Hoffmann, Einstein（Frogmore: Paladin, 1975）, 55。格罗斯曼看出爱因斯坦的伟大：见我的 Young Einstein 及其中的文献。 ↩
Albert Einstein, Ideas and Opinions（1954; New York: Three Rivers Press, 1982）, 289。 ↩
爱因斯坦致索末菲：Judith Goodstein, Einstein’s Italian Mathematicians（Providence, RI: American Mathematical Society, 2018）, 95。 ↩
高斯、测量与最小二乘：Martin Vermeer and Antti Rasilia, Map of the World: An Introduction to Mathematical Geodesy（Milton Park, UK: Taylor and Francis, 2019）, 181；Frank Reid, “The Mathematician on the Bank Note: Carl Friedrich Gauss,” Parabola 36, no. 2 (2000)。高斯虽于 1825 年退出野外作业，但一直指导这项测量直到 1844 年完成。 ↩
实际上，闵可夫斯基和爱因斯坦写下这个度规时正负号是反过来的： ds² = −dx² − dy² − dz² + c²t²，或 ds² = c²t² − dx² − dy² − dz²；符号的选取称为“号差”，就我们的目的而言，关键在于时间微分的符号与空间的各项相反。 ↩
高斯论证概要：这里的页码（以及别处）指高斯 1828 年论文的英译本，General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, by Karl Friedrich Gauss, translated by James Morehead and Adam Hiltebeitel, Project Gutenberg, 2011（from the 1902 edition, Princeton: Princeton University Library）；https://www.gutenberg.org/files/36856/36856-pdf.pdf。我说过，对他的二维曲面，高斯把三个 x, y, z 坐标变换为两个他称之为 p、q 的新变量的函数——所以你可以把坐标变换写成（我将其取为线性的） x = f(p, q), y = g(p, q), z = h(p, q)。于是链式法则给出 $dx=\frac{\partial f}{\partial p}dp+\frac{\partial f}{\partial p}dq=adp+a'dq$ 用高斯的记号（p. 7）。（遗憾的是，高斯和黎曼一样，用的是撇号而不是不同的字母。）同样地，dy = bdp + b′dq, dz = cdp + c′dq。把这些式子平方相加，你得到（参见高斯 pp. 18, 20）： dx² + dy² + dz² = (a² + b² + c²)dp² + 2(aa′ + bb′ + cc′)dpdq + (a′² + b′² + c′²)dq² = Edp² + 2Fdpdq + Gdq²，其中高斯用 E, F, G 来简化表达式。但事后看来令人着迷的是：从标量积的代数定义可以看出，E, F, G 正是我们今天所说的向量 v = ai + b**j + ck, v′ = a′**i + b′j + c′**k；的标量积；换句话说， E = v ∙ v, F = v ∙ v′, G = v′ ∙ v′。这两个向量是坐标线 p, q 的单位切向量，正如叙述中的图 10.4 所示。（要看出这一点，考虑无穷小位移向量，用向量的简写括号记法： dr = (dx, dy, dz) = (a, b, c)dp + (a′, b′, c′)dq* = vdp + v′dq； 切向量是通过把它对这两个坐标求导得到的，正如我们对普通函数求导以求其切线的斜率一样： $\frac{dr}{dp}=v,\frac{dr}{dq}=v'.)$ 两个向量标量积的几何定义是 a.b = |a||b**| cosθ，而正如我们在第 9 章看到的，$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}$。所以这两个切向量之间的夹角是 $\cos\theta=\frac{v\cdot v'}{(\sqrt{v\cdot v)(v\cdot v'})}=\frac{F}{\sqrt{EG}}.$ 后来的数学家将其推广到任意的度规和维数，度规的系数写作 g_ij：对于这里的二维情形，我们有 $\cos\theta=\frac{g_{12}}{\sqrt{g_{11}g_{22}}}.$ 为了求曲面的曲率，把这些公式应用于边由坐标线围成的三角形，如图 10.4，然后如我在叙述中所解释的，由内角和给出曲率的性质。顺便说一句，如果你熟悉二重积分，那么我在叙述中提到的面积积分里的表达式 $\sqrt{EG-F^{2}}$ 就是雅可比行列式。它是度规系数矩阵的行列式，用广义相对论中的一般度规来写就是 $\sqrt{-g}$。高斯用角度定义曲率：p. 46（及 44）。 哈里奥特的工作：见我的 Thomas Harriot: A Life in Science（New York: Oxford University Press, 2019）, 160–61，另见 John Stillwell, Mathematics and Its History*（New York: Springer-Verlag, 1989）, 249–50。 ↩
霍金论黑洞视界（边界）：他于 1972 年发表了这一结果；他也在 S. W. Hawking and G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-time（Cambridge: Cambridge University Press, 1973）, 335–37 中给出了证明。关于霍金证明的简要勾勒以及一份有用的曲率简史，见 Greg Galloway, “From the Shape of the Earth to the Shape of Black Holes: Aristotle to Hawking and Beyond,” Miami University’s Mathematics Department, Arts and Sciences Cooper Lecture, November 2017。关于黑洞历史的有趣概述，见诺贝尔奖网站上 2020 年物理学奖的综述。注意，有研究者提出，事件视界望远镜（EHT）的首张黑洞直接图像，实际上拍到的可能是引力磁单极子而非黑洞；他们已计算出一些参数，可在未来更精确的 EHT 观测中区分这两种可能：M. Ghasemi-Noedi et al., “Investigating the Existence of Gravitomagnetic Monopole in M87,” European Physics Journal C* 81, no. 939 (2021)；https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-021-09696-3。 ↩
仅举一例，关于高斯曲率在材料起皱研究中所起的作用，以及以创新方式利用这些褶皱的可能性，见 Stephen Ornes, “The New Math of Wrinkling,” Quanta 杂志（September 22, 2022）；https://www.quantamagazine.org/the-new-math-of-wrinkling-patterns-20220922/。 ↩
Lewis Campbell and William Garnett, The Life of James Clerk Maxwell（London: Macmillan, 1882）, 324–25。 ↩
爱因斯坦任无薪讲师（Privatdozent）：Hoffmann, Einstein, 86–87。高斯论黎曼：Raymond Flood and Robin Wilson, The Great Mathematicians（London: Arcturus, 2011）, 160。七十七岁的高斯：Goodstein, Einstein’s Italian Mathematicians, 31。高斯深受打击：Stillwell, Mathematics and Its History, 253–54。 ↩
关于黎曼工作的一份出色的、更具技术性的叙述——以及该论文的英译——见 Ruth Farwell and Christopher Knee, “The Missing Link: Riemann’s ‘Commentatio,’ Differential Geometry and Tensor Analysis,” Historia Mathematica 17 (1990): 223–55。 ↩
Maxwell, Treatise on Electricity and Magnetism（Oxford: Clarendon, 1873）, 1:333（art. 280）。注意，汤姆森和泰特（在其 T&T′, 1:515）用成对的字母表示弹性系数，正如黎曼那样，而不像麦克斯韦那样使用指标。 ↩
如果材料是各向异性的（如黎曼所假设的），导热系数就是一个双指标张量。对于各向同性材料，热量向各个方向均匀散开，因此无需顾虑随方向的变化，可以用标量表示。 ↩
Bernhard Riemann, translated into English by William Kingdon Clifford, “On the Hypotheses Which Lie at the Bases of Geometry,” Nature 8, no. 183 (1873): 14–17, and no. 184, 36–37。 ↩
关于黎曼 1854 年和 1861 年的论文、以及包括埃尔温·克里斯托费尔在内的后继者工作的详细分析，见 Olivier Darrigol, “The Mystery of Riemann’s Curvature,” Historia Mathematica 42 (2015): 47–83。另见 Farwell and Knee, “Missing Link.” 埃尔温·克里斯托费尔 1869 年论文的英译见 Bas Fagginger Auer 的 “Christoffel Revisited”（硕士学位论文，Mathematical Institute, University of Utrecht, 2009）第 8 章。 ↩
若选取单位使 c = 1，系数就是 1, 1, 1, −1。黎曼证明，如果度规的系数是常数，那么可以缩放坐标，使度规中所有系数都是 1（或如闵可夫斯基后来所证明的，−1）。 ↩

第 10 章 弯曲的空间与不变的距离¶