第 9 章　从空间到时空¶

向量的新转机

自 1863 年起，阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）就一直担任剑桥的萨德莱尔数学讲席教授（Sadleirian professorship of mathematics）——事实上，他是由玛丽·萨德莱尔夫人（Lady Mary Sadleir）捐资设立的这个声望卓著的讲席的首位持有者。关于她，人们所知不多，只知道她热心于种种善举——剑桥的数学讲席远不是她唯一的捐助。有这样一位捐助人，倒也相称：凯莱是女子高等教育的早期支持者。尽管女性在剑桥还不能取得正式学位，她们却被允许学习与男生所修课程类似的课业；1869 年和 1871 年，第一批女子住宿学院成立了——格顿学院（Girton）与纽纳姆学院（Newnham）。格顿的年轻女生中有一位叫格蕾丝·奇泽姆·扬（Grace Chisholm Young），她觉得凯莱非常和气，可是他做数学的路子却古板得让人透不过气。她回忆起他“背对着听众，一边在黑板上写粉笔字、一边讲话”时，他那件学袍上“扇动的袖子”。¹ 但这只是一次偶发的评论：她当初要去听他的课，还得专门取得格顿院长以及凯莱本人的特别许可；除了极少数例外，女生都是在自己学院里跟导师学习，很少与男生一起听课。

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1893 年，奇泽姆取得了相当于一等学位的资格。在接下来的几十年里，要求正式授予女性学位的动议数次被否决——包括 1897 年那一次，当时一些男本科生因为保住了自己的特权而得意忘形，在城里疯狂地庆祝闹事，造成的破坏按今天的币值相当于十万美元以上。凯莱一定深感厌恶，因为他在整个十九世纪八十年代都担任纽纳姆学院理事会的主席，而且他也在格顿教过课。1928 年，弗吉尼亚·伍尔夫（Virginia Woolf）会在这两所学院发表她那著名的“一间自己的房间”的演讲。²

就在那场疯狂的学生骚乱之前的几年里，向量之战正在上演；正如我们所看到的，物理学家支持现代向量分析的论证正在占上风。然而在幕后，凯莱与彼得·格思里·泰特（Peter Guthrie Tait）一直在从数学的角度不声不响地争论这个问题。早在 1888 年，凯莱就曾对泰特感叹：“我们是无法调和的，而且将一直如此。”但在 1894 年夏天——当时凯莱七十三岁，泰特比他小十岁——这两位英国数学界的元老公开亮出了他们作为数学家对向量之争的看法。而且，在泰特的建议下，他们是一起做的：两人各自在爱丁堡皇家学会（Royal Society of Edinburgh）宣读了一篇论文。³

不变性这个美妙的概念¶

凯莱在开场时颇讲外交地引用了泰特对四元数优点的看法：“它们给出所应用问题的最一般表述的解，完全不受特定坐标轴选择上的任何限制。”泰特的意思是：如果你改变参照系——比如说旋转坐标轴——你在空间中的点会有不同的坐标，你的向量（和四元数）也会有不同的分量。但正如你在图 9.1 中所看到的，当参照系被旋转一个 θ 角时，向量的长度并不改变——它还是同一个向量——因此任意两个向量的标量积与向量积也保持相同。

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这种非凡的性质——即便分量是从不同的轴来量度的，某些东西仍保持不变——称为“不变性（invariance）”。两组坐标之间的关系称为“坐标变换（coordinate transformation）”。坐标变换有两种基本类型：一种只是“变量替换”，比如图 2.3 中那样从笛卡儿坐标变换到极坐标，此时你的轴保持不变；另一种则是参照系（frame）之间的变换——也就是说，轴本身被改变了。（更专业地说，参照系是一把尺、一只钟和一个坐标系，它们使观测者能够为时间与空间中的事件指定坐标。）在许多实际问题中，重要的正是这第二类坐标变换。

由于像标量积这样的整体向量表达式在某些坐标变换下是不变的，所以当说到表示向量时，“无坐标的（coordinate-free）”——或者“不依赖于坐标的（coordinate-independent）”——是一种更数学化的说法，用来表达“整体”这个意思。1905 年的狭义相对论（special theory of relativity）将充分说明不变性在物理学中为什么（以及如何）重要，但在 1894 年，当泰特与凯莱争论这个问题时，他们关注的是数学而不是物理。

事实上，不变性这个想法在数学上十分迷人，而且它的适用范围比仅仅在物理学中更为宽广。先说一个现代的数字应用：神经网络通过把信息从一个节点或“神经元”传递到另一个来处理复杂数据，就像我们大脑中的神经元所做的那样。在每个节点上，一个模型（类似于线性回归）给输入数据赋予权重，按照每条数据在期望输出中的重要程度来加权。我们在第 4 章看到过类似的东西，即搜索引擎的排序算法。不过在神经网络中，每一层节点都会给模型增加更多的复杂性，所以程序员在推导把一层神经元映射到下一层的数学时，必须确保信息的关键特征在这些“映射”或坐标变换下保持不变。

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例如，2022 年，DeepMind 人工智能团队的“AlphaFold”神经网络成功预测了几乎所有已知蛋白质的结构——两亿个之多，它们是多年来通过对各种物种进行基因测序而识别出来的。蛋白质是折叠成三维形状的氨基酸链——而决定其功能的正是形状。所以，科学家想要理解的正是形状，以便创造新型药物、用于农业或污染治理的新酶，或者借由 SARS-CoV-2 病毒的相关蛋白质来检测新的值得关切的变异株，如此等等——只不过，这些氨基酸链可能的折叠方式实在太多，以致长期以来无法弄清它们实际的结构。AlphaFold 算法利用每种蛋白质氨基酸的线性（一维）序列，以及关于相关蛋白质已知结构的训练数据，来预测折叠蛋白质中所有关键原子的三维坐标。⁴ 当算法从一层节点推进到下一层时，它会从这些输入数据中“学到”更多关于蛋白质可能形状的信息，所以程序员必须确保关键属性——比如原子之间的距离——在信息被转换到下一个节点的坐标参照系时保持不变。

与其他分子建模一样，也与计算机视觉应用一样，这个蛋白质算法还必须学会在形状被旋转的情况下仍能识别出正确的形状——这意味着三维形状的数学表示必须在旋转下是不变的。不变性这个概念在许多神经网络及其他技术应用中都很重要，从卫星图像与生物医学显微图像，一直到让詹姆斯·韦布空间望远镜（James Webb Space Telescope）保持在位。

凯莱，以及其他研究不变性数学的先驱，会被这些精妙的现代应用惊得目瞪口呆。另一方面，他们知道，各种各样的事物都可以是不变的。例如，在第 4 章我们看到，如果你把一本书水平旋转 90°，再把它竖直翻转 180°，那么当你以相反的顺序做这两个操作时，它会具有不同的朝向；而如果你以这种方式旋转一个没有任何特征的盒子或球，它每一次看起来都是一样的。那是因为盒子和球是对称的。类似地，一片雪花通常有六个尖或角，它对称得十分优美——所以当你把它旋转 60° 的整数倍时，它看起来完全一样。（吹毛求疵地说，自然界中并非所有雪花都是完美对称的——但你可以明白这个意思。）换句话说，它在这些旋转下是不变的——在绕其对称轴作 180° 的旋转、或者反射之下，也是不变的。

所以，不变性与对称性相关——而在数学中，这两个词常常被交替使用。

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至于泰特，他关心的是向量与四元数量的不变性；他举的例子是 a ∙ b = 0，这个等式即便你在不同的坐标参照系中量度那些向量的分量——比如图 9.1 中所示的那些——依然成立。那是因为标量积本身在这些坐标变换下是不变的。你也许还记得中学里学过的，等式 a ∙ b = 0 可以被解释为说向量 a 与 b 相互垂直。垂直是一种几何性质，而向量是四元数的（一部分）——所以泰特论证说，整体向量与四元数能给出清晰而直接的几何解释。

凯莱则不同，他关心的是用不变性来帮助求解纯数学中的方程。代数不变量（invariant）的一个简单例子是判别式（discriminant），我们在学校里学的二次情形中，它是 b² − 4ac。它是一般二次方程 ax² + bx + c = 0 的求解公式中根号底下的那个表达式；正如你在下一条尾注中所看到的，如果你以某些方式通过改变坐标来改变方程——比如用 x′ = x + h 替换 x——它保持不变。换句话说，判别式在坐标变换 x′ = x + h 下是不变的。（正如我前面所指出的，坐标变换只是一组方程，显示如何把原参照系中的坐标与新参照系中的坐标联系起来——在这里，就是坐标轴被水平平移一段距离 h。）⁵

这一切对向量之战的最后一回合意味着：尽管两人都在探索不变性这个想法，凯莱关心的是坐标与坐标变换，而泰特关心的是整体四元数与整体向量。你可以看出，为什么在表示向量性信息的最佳方式上，他们始终是“无法调和的”！

泰特并不知道，他所倡导的那种无坐标的、不变的写方程方式，比如 a ∙ b = 0，正是向量分析与张量分析之间的关键纽带。然而凯莱的回应与威廉·汤姆森（William Thomson）如出一辙，说你仍然需要坐标才能做计算。于是他宣称——在他 1894 年对爱丁堡皇家学会的致辞中——正如满月比月光朦胧的景色更美，“我也认为四元数这个概念远比它的任何应用都美”。为了强调这一点，他补充说，一个四元数公式就像一张袖珍地图，一旦你把它展开——一旦你把公式翻译成基于坐标的分量——它就无比有用。几年前奇泽姆初见凯莱时，她觉得“他们说的那位伟大数学家眼中曾经闪烁的火光，已经熄灭了”。但在凯莱介入向量之战时，火光仍然足够旺盛。⁶

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不甘在文学类比上输掉一局，泰特回应说：基于坐标的几何学不是一张展开的袖珍地图，而是一把蒸汽锤，需要行家来操控，才能有用而不至于造成破坏。另一方面，四元数则如此普适，它们“像大象的鼻子，在任何时刻都为任何事情做好了准备”，无论大小——用他的话说，捡起一粒面包屑，或者勒死一只老虎。我们通常不会把夸张跟数学家联系在一起——但泰特，有着爽朗的笑声和闪烁的眼睛，是个有点爱恶作剧的人。⁷

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在接下来的十年里，关于无坐标的向量与四元数方程相对于基于坐标的分量方程孰优孰劣的争论仍在继续。这是一场英语世界的争论，部分原因是赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Grassmann）的向量体系当时还没有真正起飞，而四元数在英国之外几乎仍然不为人知——并且向量分析领域两位特立独行的年轻人约西亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）与奥利弗·亥维赛（Oliver Heaviside）也是说英语的人。但历史学家迈克尔·克罗（Michael Crowe）为这场旷日持久的、关于向量性量最佳记号的争论提出了另一个理由。英国数学家意识到，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）的微积分符号比艾萨克·牛顿（Isaac Newton）的更适合计算，而且到了十九世纪初，这种记号上的优势已经帮助欧洲大陆的数学超越了英国。所以，他们不希望同样的事情发生在哈密顿的四元数与向量上。⁸

无论原因是什么，我之所以强调这场看似深奥的争论，是因为它也显示出：即便是顶尖的数学家，要领会向量作为整体、无坐标形式的价值——相对于它们的分量形式——也是何等困难。然而，正是数学家将把向量变成张量（或者更确切地说，将识别并推广潜藏在向量之下的不变性与代数结构）。所以，尽管物理学家在创建向量分析上领先了一步，为阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）的物理学杰作——（张量的）广义相对论——铺平道路的，却是数学家。

与此同时，向量故事的下一步，始于年轻的爱因斯坦和他在苏黎世联邦理工学院（Federal Polytechnic School）的数学教授赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）。1900 年，爱因斯坦在这所被亲切地称为“理工（Poly）”的学校完成了学业——但在他那届人数很少的毕业生中，他是唯一一个没有在那里得到工作机会的人，就像麦克斯韦毕业时没能在剑桥获得研究员职位一样。麦克斯韦被认为太过粗心，而年轻的爱因斯坦则过于自信，不合教授们的口味。（他也是犹太人，所以反犹主义也许在他找不到工作这件事上起了作用：爱因斯坦本人就是这么想的。⁹）于是，在极度拮据的经济状况下，还要照顾怀有身孕的未婚妻，他接下了那份传奇的瑞士专利局的工作。正是在那些年里，他利用业余时间发展出了他的狭义相对论。

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在我更多地谈论这个理论、以及它如何引出向量故事的下一步之前，请允许我先承认：关于爱因斯坦与他第一位妻子的关系，一直存在争议；她曾是他在“理工”的同学。

记住米列娃·马里奇¶

关于这段悲剧性的故事，已经有很多著述：理想主义的青年学生爱因斯坦与米列娃·马里奇（Mileva Marić）坠入爱河，秘密地生下（并放弃了）一个非婚生的孩子，不顾父母的反对结了婚，最后分道扬镳，被爱因斯坦日益增长的名望与工作负担撕扯开来——而马里奇因为一再考试失利，失去了自信和她的学术梦想，并且越来越多地承担起另外两个孩子的全部日常照料。我不打算进一步详述这出伤感的戏剧——只想说一句：它比他们两个人更大。爱因斯坦在这段关系破裂期间的行为出了名地恶劣，但那破裂的种子，早在他们还是学生时就已埋下，也关系到他们两人都深陷其中的那种父权文化。这包括我相信存在性别歧视的那些考官，他们两次让马里奇不及格：她是班上唯一的女生，最后一次应试时心怀恐惧又身怀有孕，然而她早年的学业成绩一直很优异。

至于那种流行的说法，认为马里奇“替爱因斯坦做数学”，或者合著了他 1905 年的相对论论文——据我所知，并没有确凿的证据支持它——而且她本人也从未这样声称过。当爱因斯坦与那些一再拒绝给他学术职位的“老市侩们”抗争时，她当然是最早相信他的人之一；而她在“理工”所受的广泛教育，至少使他有了一个称职而重要的商讨对象（sounding board，字面“共鸣板”）。但他们之间留存下来的书信表明，她并不具备爱因斯坦那种强烈的、创造性的科学好奇心。尽管如此，我还是忍不住想：如果他们今天上大学，在我们这个更开放的社会里，避孕手段又唾手可得，她本会拿到她的文凭和她所计划的那博士学位，并在科学中留下自己的印记——而他们之间的事情，也许会走向非常不同的结局。¹⁰

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狭义相对论¶

麦克斯韦的批评者们曾抱怨说，他没有为假想的以太（ether）提供任何模型；他们认为，正如声波需要空气，光波的传播也必定需要某种介质。相反，他专注于描述具体的、可测量的电磁效应——而这是一步妙棋，因为在 1887 年，著名的迈克耳孙-莫雷实验（Michelson-Morley experiment）用一台最先进的干涉仪“未能”探测到以太。这个实验的构想其实出自麦克斯韦，但设计出把它付诸实践所需的、后来赢得诺贝尔奖的设备的，是阿尔伯特·迈克耳孙（Albert Michelson）。迈克耳孙在 1907 年成为第一位获得诺贝尔奖的美国人，而他的实验帮助为狭义相对论搭好了舞台。于是就有了一种美妙的对称：2017 年的诺贝尔物理学奖颁给了激光干涉引力波天文台（Laser Interferometer Gravitationalwave Observatory, LIGO）的创建者们，该天文台在 2015 年探测到了引力波，正如广义相对论所预言的那样。

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1887 年那个实验背后的想法是：如果以太存在，那么当地球穿过它运动时，就会有“以太风”——就像你在无风的日子里骑自行车时感到脸上拂过一阵微风。而正如你在河里顺流游泳比逆流或横渡更快一样，迈克耳孙和他的合作者爱德华·莫雷（Edward Morley）预期光速在顺流方向上最快——也就是“顺”着以太风的方向。麦克斯韦曾提议利用木星卫星的掩食计时，当这颗巨大的行星从地球轨道上两个几乎相对的位置被观测到时。那时地球在一个位置上朝木星运动，在另一个位置上背离它运动，于是来自木星系统的光速就会被测量到既“顺”着也“逆”着以太风。¹¹ 但迈克耳孙和莫雷用的是干涉图样——正是托马斯·杨（Thomas Young）最初用来表明光的波动本性的那类图样。具体地说，他们发出一束顺流的光和另一束横流的光——也就是分别平行于和垂直于地球运动的方向；光速上的任何差异都会造成两束光之间的相位差，它会显现在干涉图样中。但研究者没有发现这样的差异。这意味着以太风对光速没有任何可辨别的影响。（此后实验一直在继续，想看看用更好的设备能否找到微小的速度差异——一些物理学家谈到存在一种“量子以太”的可能性。但旧的机械式以太观念已经出局了。）

到 1895 年，乔治·菲茨杰拉德（George FitzGerald）与亨德里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz）都各自独立而巧妙地“解释”了迈克耳孙与莫雷的结果：他们提出，物体——包括量度用的尺子——在平行于以太风方向运动时，会在物理上收缩。这样一种物理上的“长度收缩（length contraction）”会缩小对光顺流速度的量度，从而掩盖它“实际上”更快的那个假想事实。

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1904 年，洛伦兹在把这一猜想应用于麦克斯韦的电磁方程组方面做出了出色的开端，设计出一组坐标变换，用于联系一个静止观测者的参照系与一个相对于静止者以恒定速度运动的观测者的参照系，就像河中游泳者相对于岸上观测者的运动。这些变换被设计成表明：运动参照系中的尺子以恰到好处的方式收缩，足以解释迈克耳孙-莫雷的结果——而亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在 1905 年更充分地发展了洛伦兹的想法时，把它们命名为“洛伦兹变换（Lorentz transformation）”。（我们会在下面的图 9.3 中看到这些变换。）多年以后，在访问莱顿大学（University of Leiden）期间，爱因斯坦见到了洛伦兹，并立刻被他迷住了。他们建立起友谊，因为爱因斯坦认为洛伦兹既是异常清晰的思考者——他因依据电子的发现拓展麦克斯韦理论的工作而获得 1902 年的诺贝尔奖——又是一个品格完美的人。“我们时代最伟大、最高尚的人，”爱因斯坦这样称他，“一个才智与细腻分寸感的奇迹。”¹²

爱因斯坦与庞加莱始终没有亲近起来，尽管他们彼此欣赏对方的工作。庞加莱是一位卓越的数学家——而且还是一位开创性的科学哲学家。1905 年，他是巴黎索邦大学（Sorbonne）著名的五十一岁的数学天文学与天体力学教授。他 1905 年关于洛伦兹变换的论文，事实上是一套详细的相对论，针对的是观测者之间（因而也是他们的坐标参照系之间！）的相对运动为恒定这一“特殊”情形。与此同时，二十六岁的专利局职员爱因斯坦独立完成了他自己的“狭义”相对论。马里奇读到他的定稿时着了迷，对丈夫说：“这是一件非常美的作品！”一个多世纪之后，物理学家仍然把它描述为美的：与庞加莱和洛伦兹论文中那些才气横溢却盘曲复杂的东西相比，爱因斯坦的更简单、更直观。它也是唯一一个抛弃了那种用于让光穿过“空”空间的静止以太介质旧观念的理论，所以它是唯一一个彻底相对论性的——我们会在接下来几页里看到这一点。¹³

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由于庞加莱接受了以太存在这一观念——并且接受了洛伦兹变换提供了支持以太假说所必需的“长度收缩”——他把这当作了自己的出发点。爱因斯坦则相反，他从两条简单的原理出发，开始分析相对运动。第一，相对性原理（relativity principle），它说的是：如果一个静止观测者推出某条特定的物理学定律，那么另一个相对于第一个观测者以恒定速度运动的观测者，也应该推出同一条定律。否则的话，如果每当你改变速度，定律就随之改变，物理学就没有多大意义了。庞加莱也理解这一点——至少是在洛伦兹的意义上，即地球穿过以太的运动对光没有影响，因而对麦克斯韦方程组也没有影响。这意味着，正如洛伦兹、庞加莱和爱因斯坦都表明的：洛伦兹变换事实上正是恰到好处的那组坐标变换，使得麦克斯韦方程组具有相同的形式，无论电磁场向量的分量是怎样量度的——是从一个固定的坐标参照系，还是从一个相对于它作恒定运动的参照系。

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关于“保持相同形式”是什么意思，一个更简单的例子是牛顿第二定律。在图 9.3 所示那种简单的、所谓的伽利略坐标变换（Galilean coordinate transformation）之下，静止观测者推出的水平方向力的分量是 F = mẍ，而相对运动的观测者推出的是 F′ = mẍ′。这个方程在每个参照系中都具有相同的形式，两位观测者都同意力等于质量乘以加速度。你可以在上面的知识框里看到相关的计算。（那个框里也给出了用洛伦兹变换做的计算，展示了狭义相对论中“长度收缩”的数学。对我们的故事来说，我们其实并不需要这些计算——我们只需要其中的想法和结论——所以请随意略读或跳过。）

坐标变换与不变性

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图 9.3 的计算

图 9.3 中那个水平伽利略平移的坐标变换是：

x′ = x − vt, y′ = y, z′ = z, t′ = t. (1)

当 v 远小于光速时，这套变换很适用。在这类“日常”情形中，利用式 (1) 你会发现，牛顿定律保持它们的形式，无论它们是在 S 还是在 S′ 中被量度：例如，如果你推出 F = mẍ，那么车里那个运动着的人推出的是 F′ = mẍ′。那是因为 x′ = x − vt，而当你对 t′（= t）两次求导时，你得到 ẍ − v̇（这里用的是牛顿表示时间导数的点记号）；但由于速度是常量，第二项为零，你就有 ẍ′ = ẍ。所以，应用于这一分量的牛顿第二定律在两个参照系中具有相同的形式：F = mẍ = mẍ′ = F′。事实上，力的分量在每个参照系中具有相同的数值，所以它们在伽利略变换下是不变的；又由于在 y 与 z 方向上没有相对运动，两位观测者在这两个方向上量到的力的分量也相同。

尽管你们两人推出的是相同的 F 与 ẍ 之值，但对于一个运动物体——比如被抛出的球——的水平速度分量 u，你们却意见不一，因为在 S 中 u = ẋ，而在 S′ 中 u′ = ẋ′ = ẋ − v。所以，力与加速度在伽利略变换下是不变的，而速度则不是。

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麦克斯韦方程组在坐标变换 (1) 之下并不保持它们的形式。相反，洛伦兹变换才适合于电磁学定律。（在这种情况下，各个分量、乃至于电场向量与磁场向量本身都不是不变的：例如，如果一个电荷在某个参照系中静止，一个相对运动的观测者会看到磁场，而处于该电荷所在参照系中的观测者则看不到。但是把这些向量联系起来的麦克斯韦方程确实在每个参照系中具有相同的形式。）这些变换表明，不仅空间量度是相对的，时间量度也是相对的——所以你再也不能假定 t′ = t。图中那个设置下的洛伦兹变换是：

$$x'=\beta\left(x-vt\right),y'=y,z',\boldsymbol{t'}=\beta\left(\boldsymbol{t}-\frac{vx}{c^{2}}\right),$$ (2)

其中 c 是光速（测量单位常被选取得使 c = 1），并且

$$\beta=1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}.$$ (3)

这组方程表示 x 方向上的一个所谓推进变换（boost）（S′ 相对于 S 的），但完整的洛伦兹变换可以描述任意方向上的推进变换，也可以描述旋转。还要注意，如果 c 是无穷大——正如超距作用中所蕴含的那样——那么式 (2) 就只是式 (1)。

如果你要量度一辆运动着的汽车的长度，在给定的某一时刻你必须同时量度它的两个端点，比如说 x_a 与 x_b，再计算 x_b − x_a；利用洛伦兹变换 (2) 把你的结果与汽车在其自身参照系中的实际（“静止”）长度 x_b′ − x_a′ 作比较，你得到

x_b′ − x_a′ = β(x_b − x_a)

（因为对于同时量度，有 t_b − t_a = 0）。由于 β > 1（因为对于非零的 v，分母小于 1），你看出汽车的实际长度大于你所量到的长度。换句话说，你的量度提示这辆车“缩小了”。与洛伦兹的想法不同，这里并不存在汽车本身物理上的、分子层面的收缩，而只是计算中所用的量度上的收缩。但这些量度在静止观测者的物理学中确实具有真实的、可检验的后果。

类似地，时间量度的相对性正是地球上的观测者推出以下结论的原因：对于快速飞行的飞机或宇宙飞船上的旅行者——或者 GPS 卫星——时间会变慢，正如距离会缩短一样。（要解释 GPS 量度中的时间，狭义与广义相对论两者都用得上，我们后面会看到。）

然而，正如爱因斯坦认识到的，你也可以把图 9.3 理解为是说 S 在相对于 S′ 运动——所以它在向左运动，而它的速度是 −v。于是，从这个观点看，洛伦兹变换是：

$$x=\beta\left(x'+vt'\right),y=y',z=z',\boldsymbol{t}=\beta\left(\boldsymbol{t'}+\frac{vx'}{c^{2}}\right).$$ (4)

而这一次，收缩的是在 S 的参照系中所量到的长度。

群

群是研究对称性（比如不变性）的重要工具。在这种情况下，群的“元素”就是坐标变换；如果它们全都服从一组简单的规则，它们就构成一个群，我会用洛伦兹变换来说明（尽管在这个故事里我们并不需要这些细节）。

洛伦兹变换 (2) 有一个“逆”变换 (4)，也有一个“单位”元（即一个被该变换保持不变的元素——在这里，就是 v = 0 时的那个变换），这一事实是知道它们构成一个数学“群（group）”的关键。封闭性（群中所有可能的变换都是同一类型的这一想法）与结合性（associativity；群“乘积”——在这里即两个变换的复合——的结合性）是另外两个关键特征。

类似地，如果你推出 $\nabla\times E=-\frac{\partial B}{\partial t},$ 也就是我们前面见过的麦克斯韦方程组中的一条，那么利用洛伦兹变换你会看到，一个运动着的观测者推出的方程具有完全相同的形式。所以，你们两人都会同意：方程右边那个变化的磁场产生了左边电磁场的旋度。其他那些整体向量形式的麦克斯韦方程也是如此。

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换句话说，如果一条表示物理学定律的方程，即便其分量是在不同的参照系中量度的，仍具有相同的形式，那么所有观测者都会推出同样的物理学（以及同样的数学，正如我们在不变的方程 a ∙ b = 0 中所看到的）。这就是相对性原理在起作用。

它也是不变性的又一个例子——在这里，是方程形式的不变性。（这种形式不变的方程也称为“协变的（covariant）”。）¹⁴

爱因斯坦的第二条原理是：真空中的光速与光源的运动无关（这正是物理学家们似乎在实验中发现了的）。这两条原理合在一起，意味着真空光速 c 是一个普适常量。

仅仅从这两条原理出发，爱因斯坦就以一种完全一般的方式从零推导出了洛伦兹变换。相比之下，庞加莱则是假定洛伦兹的“长度收缩”是一种真实的物理效应，然后通过证明洛伦兹变换保持麦克斯韦方程组的形式不变，重新推导出了它们。（沃尔德马尔·沃伊特（Woldemar Voigt）早在 1887 年就发现了类似的东西，所以这些想法“就在空气里”。我们会在第 11 章更多地听到沃伊特。）但爱因斯坦既不需要关于以太的假说，也不必假定发生了任何客观的、物理上的尺子收缩——毋宁说，你只是从不同的、相对运动的参照系得到了不同的量度。我在图 9.3 的计算框里给出了一个简单的例子，但关键的事实——正如爱因斯坦所阐明的——是这种效应是相互的：每个观测者都可以认为自己静止而另一个在运动。换句话说，每个观测者都会量到对方的尺子在收缩，因为他们各自都在相对于对方运动。相比之下，洛伦兹与庞加莱相信只有一位观测者“真的”在运动（相对于那无所不在的以太）——就是那位尺子“真的”收缩的观测者。这就是为什么爱因斯坦的是唯一一个彻底相对论性的理论。

四维时空需要四维向量分析¶

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洛伦兹变换既包含时间，也包含三个空间方向（正如你在上面与图 9.3 一起的那个框里的方程 (2) 中所看到的）。所以，今天当“相对论”这个词被提起时，许多人最先想到的事情之一就是时空的四维本性。然而，“第四维”这个想法从十九世纪八十年代起就一直撩拨着公众。诚然，哈密顿在 1843 年定义四元数时就创造了一个数学上的四维空间——但正如我们在向量之战中所看到的，就连数学家们也对它的价值无法达成一致。所以，当泰特、凯莱、亥维赛以及其他人在十九世纪八九十年代争论分量、整体向量与四元数各自的学术优劣时，一种字面意义上的四维空间的可能性正在被大众读物探讨——比如数学家查尔斯·霍华德·辛顿（Charles Howard Hinton）的《科学传奇》（Scientific Romances）和《思想的新纪元》（A New Era of Thought）。

辛顿——他是乔治·布尔（George Boole）的女婿——也是一位唯灵论者，而唯灵论者热爱那种神秘的另一维度的想法。这些想法已经如此深入地渗透进大众文化，以至于当格蕾丝·奇泽姆·扬参加与她博士论文（其中涉及 n 维空间）相关的口试时，她的一位考官提到了通灵的说法，并问她所说的“高维”是什么意思。她回答说，对她而言，那不过是谈论数学中某些抽象关系的一种方式。她以最高荣誉获得了博士学位，尽管显然她当时应对过比这难得多的问题！¹⁵

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至于辛顿，他还没有把心智完全丢给那些精灵，因为他也专注于尝试把四维几何对象可视化，比如“超立方体（hypercube）”。你可以把立方体想成一个“超正方形”：一串二维的正方形构成一个三维形状——也就是一个立方体——那么超立方体就是四维空间中立方体的一种排布。1954 年，萨尔瓦多·达利（Salvador Dali）在他那幅受难画作《Corpus Hypercubus》（《十字超立方体》）中著名地动用了这个想法，画中的十字架由立方体构成——但早在七十年之前，辛顿就启发了中学校长埃德温·艾勃特（Edwin Abbott）写出他 1884 年那部传奇的《平面国：一个多维的传奇故事》（Flatland: A Romance of Many Dimensions）。辛顿还启发了他妻子的妹妹艾丽西亚·布尔·斯托特（Alicia Boole Stott），布尔最小的女儿。斯托特在四维几何中发现了若干令人脑筋打结的结果，其中包括她为想象中的一个由六百个四面体构成的四维结构的各种截面所制作的一批实物模型；这些四面体合在一起，可以被看作一个二十面体的四维类比物的三维表面。这样一种视觉化的几何想象力，真是让人叹为观止。¹⁶

然后，在 1895 年——正是洛伦兹找到洛伦兹变换以解释迈克耳孙-莫雷实验的同一年——H. G. 威尔斯（H. G. Wells）出版了他著名的小说《时间机器》（The Time Machine），在其中他声称时间就是第四维。然而，尽管威尔斯的想象力辉煌夺目，单靠文字并不足以让这个想法扎下根来——让它变成真的。揭示这样一个四维构造的数学性质，要靠洛伦兹、庞加莱和爱因斯坦；而让它变“真”，则要靠爱因斯坦提出可检验的预言来检验他的理论。（其中一条预言完全出乎意料地引导他推出了 E = mc²。）所以，今天人们听到“第四维”这几个字时，想到的往往是爱因斯坦，而不是威尔斯——而爱因斯坦是用数学的语言做到了这一点。

就向量语言而言，庞加莱完全用分量工作，但洛伦兹也使用整体向量记号与向量微积分。爱因斯坦在他的狭义相对论论文中，像庞加莱一样，把所有的方程都用分量写出来；尽管他的坐标（t, x, y, z）同时表示时间与空间，他还没有谈论时空。

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原则上，爱因斯坦本可以用四元数——它们有四个分量——来表示他那个四维坐标系中的量。¹⁷ 不过他很可能从未听说过四元数——他的数学教授闵可夫斯基说过，除了英国没人使用它们——而且他也许连向量代数都不太懂，尽管闵可夫斯基确实教过。做学生时，爱因斯坦认定，要想成功地解开自然的秘密，他需要一个单一的专注点，而这个专注点牢牢地落在物理学上。此外，他觉得数学里可供选择的题目太多了，令他不知所措。所以，尽管他敬佩闵可夫斯基，他还是逃了不少课，以便自学那些课堂上学不到的物理学——包括麦克斯韦的理论。而闵可夫斯基则相反，认为爱因斯坦简直就是“一条懒狗，对数学从来连碰都懒得碰一下”。相比之下，闵可夫斯基本人在十七岁做学生时，就因他的数学工作赢得过一项声望很高的奖项——并且偷偷把奖金给了一位贫困的同学。¹⁸

1905 年，闵可夫斯基无疑收回了自己的话：“哦，那个爱因斯坦，老是不来上课——我真不敢相信他竟能做出这样的事！”不过，尽管它在概念上优雅，与庞加莱的论文相比，年轻的爱因斯坦的那篇确实——从数学上说——有些粗糙。事实上，闵可夫斯基此时已是德国享有盛誉的哥廷根（Göttingen）大学的纯数学教授，他对学生们说：“爱因斯坦对他那个深刻理论的呈现，在数学上是笨拙的——我之所以能这么说，是因为他是在苏黎世从我这里受的数学教育。”¹⁹

例如，庞加莱精通不变性与群论的数学语言，并用它证明了一件令人惊讶的事：下面这个四维表达式

x² + y² + z² − (ct)²

在你经由洛伦兹变换坐标时并不改变。换句话说，它在这个变换“群”之下是不变的。（实际上，庞加莱在这里用了 c = 1，而今天在洛伦兹变换以及其他相对论方程中选取使 c = 1 的单位是很常见的。）爱因斯坦也得到了同样的结果，尽管他并没有以如此精致的方式把它表达出来。形式化的“群论”是由埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois）开创的——那位冲动的支持革命的鼓动者、鲁莽的恋人，1832 年在一场决斗中死去，年仅二十岁，此事广为人知。凯莱是为群论做出重要早期贡献的众多人物之一；我在图 9.3 那个框中图注的末尾列出了群论的关键特征。但真正把这个不同寻常的表达式讲清楚的，是闵可夫斯基。

它之所以不同寻常，是因为——正如庞加莱所指出的——物理学家习惯的是所有项都相加的那种二次表达式。例如，一个位置向量的长度是经由毕达哥拉斯定理从它的分量求出的（正如你把图 0.2 推广到三维、并把分量简单地用坐标表示时所看到的）：

\[a=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\Rightarrow\left|a\right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.\]

209

这是用于在平直的三维欧几里得空间中量度长度与距离的公式，它在诸如图 9.1 中那些旋转之类的坐标变换下是不变的。闵可夫斯基认识到，狭义相对论中与此类似的概念是下面这个表达式：

\[\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-\left(ct\right)^{2}},\]

庞加莱与爱因斯坦已经证明，它在洛伦兹变换下是不变的。这个表达式看起来颇像欧几里得的距离公式，但它并不是普通空间中距离的度量。毋宁说，它是闵可夫斯基所称“时空（space-time）”中的“距离”。换句话说，它是时空中“事件”之间的间隔，而不是空间中点之间的距离。你可以在尾注里看到它在物理上意味着什么，但在这里，我关注的是它与欧几里得距离公式在数学上的类比。²⁰

210

狭义相对论中所用的时空如今称为“闵可夫斯基时空（Minkowski space-time）”；它是平直欧几里得空间的一个四维推广，所以它也被称为“平直”时空，与广义相对论中那些弯曲的时空相对。一个距离或间隔的量度称为“度规（metric）”，而具有 $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-\left(ct\right)^{2}}$ 这种形式的量度，为纪念他而称为闵可夫斯基度规（Minkowski metric）。（我们后面会看到一个更精确的定义。）“世界线（world line）”这个概念也出自闵可夫斯基。在欧几里得几何中，物体位于空间中的一个点上；但即便这个物体在空间中是静止的，它在时间中仍在运动，所以它在时空中的位置是用一条穿过该点的线来表示的——一条平行于时间轴的线，它随着每一秒的流逝而变长。

闵可夫斯基在 1907 年 11 月的一次演讲中首次提出他关于时空的新概念。一年之后，他在那场著名的演讲《空间与时间》（“Space and Time”）中更充分地展开了它，开场便是那句令人难忘的宣告：“从此以后，空间本身与时间本身都注定要消退为单纯的影子，只有二者的某种结合才会保有一种独立的实在。”他把认清真正的、双向的相对性原理的功劳归于爱因斯坦，并客气地否定了洛伦兹那个关于运动物体发生字面的、物理收缩的“幻想式”假说。这篇致辞自信的口吻——至少在纸面上——掩盖了一个事实：温和的闵可夫斯基在听众面前常常满脸通红、结结巴巴。²¹

不过，对我们的故事来说，关键的事情是：闵可夫斯基随后开始了四维向量分析的发展。有一度他甚至尝试过四元数，因为你可以用四元数做除法，而向量不行，正如我们前面所看到的。最终，他发现普通的、亥维赛-吉布斯风格的向量分析更为灵活。

在普通的向量分析中——它发生在图 9.1 之类图示所用的那种平直欧几里得空间中——一个向量的长度也可以写成它与自身的标量积：

\[a=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}\Rightarrow\left|a\right|=\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.\]

在（平直的）时空中，闵可夫斯基用类比的方式、借助间隔度规定义了标量积：如果一个四维向量 a 具有分量（x, y, z, t），那么标量积是

a ∙ a = x² + y² + z² − (ct)².

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更一般地，并且使用现代记号（同时选取使 c = 1 的单位），三维向量的标量（或点）积是

a ∙ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃,

而闵可夫斯基时空中的四维点积是

• • •

（今天，用下标 0 而不是 4 来表示时间分量也很常见。）后来的数学家会把这一点推广到任何种类的空间——弯曲的或平直的，三维、四维或 n 维——通过度规来定义标量积，这是数学类比力量的一个绝佳例子。

在另一篇论文中，闵可夫斯基不只是接近了四维向量分析；他也把脚趾伸进了张量分析。悲剧的是，他始终没有机会充分发展他的工作，也不知道今天他的名字活在“闵可夫斯基度规”之中。在他把时空交给这个世界之后不久，他因阑尾炎手术而猝然离世。他只有四十四岁。当他的老同学、哥廷根的同事大卫·希尔伯特（David Hilbert）站在学生们面前告知这个噩耗时，他落泪了。²²

• • •

起初，爱因斯坦对他昔日的教授拿他的理论所做的那番改造并不以为然——在那个阶段，他更喜欢坐标与分量，而不是整体的、无坐标的向量。于是，接过闵可夫斯基这项巧妙的时空发明、并开始探索标量积与向量积、以及散度、旋度与梯度这些向量微积分运算的四维类比物的，是闵可夫斯基的朋友阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld）。索末菲当时是慕尼黑大学（University of Munich）理论物理学教授，他在 1910 年的论文《论相对论 I：四维向量代数》（“On the Theory of Relativity I: Four-Dimensional Vector Algebra”）开篇向闵可夫斯基致敬，称他是“那位突然离世的朋友”。

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索末菲曾是德国“向量委员会（Vector Commission）”的成员，该委员会成立于 1903 年。在英国向量之战的余波之中，这个委员会的目标是为向量记号定出一个标准——尽管它的创立者、哥廷根数学教授费利克斯·克莱因（Felix Klein）认为，它取得的全部成就不过是记号的增殖！克莱因是亥维赛（以及麦克斯韦）的拥趸，但他也对格拉斯曼的《扩张论》（Ausdehnungslehre）印象深刻。格拉斯曼的儿子尤斯图斯（Justus）1869 年作为数学学生注册进入哥廷根之后不久，克莱因就听说了这本书——尤斯图斯自豪地带上了他父亲著作的几册，是特意留给两位曾表示对格拉斯曼工作感兴趣的教授的。其中一位教授是阿尔弗雷德·克莱布施（Alfred Clebsch），他对格拉斯曼的热情也感染了他的同事克莱因。二十年后，克莱因——与吉布斯一道——在格拉斯曼全集的出版中起了关键作用。²³ 与此同时，索末菲先是在哥廷根当上克莱因的助手，后来又成了他的合作者。他 1906 年迁往慕尼黑，并把克莱因所培育的那种对向量——以及对不变量——的兴趣一并带了过去。

在他 1910 年两篇关于相对论的论文中，索末菲为时空中的四维向量引入了“四维向量（four-vector）”这个术语。他强调时空间隔（space-time interval）的不变性所具有的重要意义，因为它表达了光速的恒定性（正如你在尾注中所看到的²⁴）。庞加莱、洛伦兹和爱因斯坦当然也知道这一点。但索末菲还指出了不变量符号体系在把麦克斯韦方程组适配到时空时的重要性，提到洛伦兹与爱因斯坦为了表明麦克斯韦方程组普通的分量形式在这些变换下保持不变而使用的“那些繁复的计算”。相反，索末菲的目标是建立在闵可夫斯基的工作之上，说明如何把这些方程写成不变的四维形式。

他并没有找到第 8 章中所示的那种三维“亥维赛”向量形式的四维类比物；毋宁说，他表明了要表达四维麦克斯韦方程组的形式不变性，需要的是我们如今称为“张量”的东西。

用张量你能说出更多！¶

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张量在当时是一个新概念，它那引人入胜的起源我们很快就会探索——但为了先尝尝味道，下面是索末菲对它们的解释。用向量，你探索的是线（或箭头）的几何；例如，在三维中，垂直的线由向量方程 a ∙ b = 0 刻画，而平行的线由 a × b = 0 刻画（你可以从图 9.1 图注中给出的点积与叉积的几何定义看出这一点）。但有时候你还需要描述平面，而平面还有一个额外的特征：空间中的取向（orientation）。它由该平面“法线”的方向来定义，而法线用一个垂直于（即法向于）该平面的单位向量来表示。不过，为了更清楚地了解平面与张量有什么关系，我们可以回到一个出人意料的源头：麦克斯韦 1873 年的《Treatise》（《电磁通论》）。

想象一个浸没在水中的盒子——也许是船体的一个理想化版本。它在水的压力下保持自己的形状，靠的是作用在每个面上的力的平衡。各种各样的刚体，从桥梁、飞机到微小的晶体，都在平衡这些“应力（stress）”力。（“应力”是单位面积上的力。）也有很多情形下这些力可能并不平衡——当然是在可变形或弹性的材料中——但工程师还需要考虑潜在的额外应力冲击，比如桥上的繁忙交通，或者拍打船身的大浪。还有一些情形，你想要移动或转动这个物体，所以你又需要力的净不平衡。麦克斯韦的朋友汤姆森是研究这些情形的数学先驱之一，他在 1856 年一篇关于弹性的论文中分析过它们。更早的时候，柯西在 1828 年就发表了关于平衡物体中应力的奠基性论文。²⁵ 然而，麦克斯韦想要分析的是浸没在电磁场中的一个被磁化物体上的力。通过对那个浸没盒子的类比，他考虑的是作用在被磁化物体一个小立方体每个面上的力。（换句话说，他考虑的是一个可以在整个物体上积分的“体积元”。）汤姆森与柯西用过类似的方法。但麦克斯韦做了一件特别的事，不仅把这些分析推广到了电磁学，还用一个带两个指标的符号来表示应力。

214

在数学中，这里的“指标（index）”指的是一种标签，而不是幂。例如，向量的分量通常用一个指标来写，比如 a = (a₁, a₂, a₃)；这些指标指的是量度分量所依据的那三条轴。麦克斯韦认识到，应力是“另一类与空间中的方向相关、但不是向量的物理量”的一个例子。他说，那是因为在三维空间中一个向量有三个分量，而一个应力需要九个（正如你在图 9.4 中所看到的）。于是，他把应力的分量写作 P_hk，解释说第一个标签 h 指示应力所作用的那个表面——即其法线平行于 h 轴的那个表面——而第二个标签显示产生该应力的力的方向。h 有三种选择——空间中的每一个维度一种，也就是每一条坐标轴一种——而 k 也有三种选择。那就是九种可能的组合，九个分量中的每一个对应一种。²⁶

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麦克斯韦在这里所做的，是为一个单一量的分量给出了一个简明的定义；他只是把这个量称作“应力”，但它现在被称为“应力张量（stress tensor）”——正如分量（a₁, a₂, a₃）构成一个单一的向量 a 那样。这件事引人入胜的地方在于：张量当时还没有被发明出来——至少，还没有作为与向量并列的数学对象被发明出来。然而柯西和汤姆森也曾接近过这个想法，尽管他们没有麦克斯韦那种简明而通用的记号。

从现代的视角看，这里的关键想法是：你需要两个向量才能构成一个应力张量——一个用来表示应力所作用的那个表面的方向，另一个用来表示力本身。你可以在图 9.5 中看到这一点，那是表达麦克斯韦对其分量 P_hk 之定义的另一种方式。当数学家进入这个领域时，他们会把这个概念的精髓变成一个更加精确、更加一般的张量定义。但你已经可以看出，有九个分量在手，像应力这样一个张量能比一个三维向量存储多得多的信息。

到 1910 年索末菲写作的时候，张量还没有进入主流，但他明白，它们远比单纯表示应力的方式更具通用性。而且它们也不一定与平面有什么关系，因为它们可以被适配到任意多个维度与应用中。索末菲顺带提到了格拉斯曼，但他的重心在他朋友闵可夫斯基身上，在于用时空的语言重写麦克斯韦方程组。为了做到这一点，他效仿闵可夫斯基，把 E 与 B 的分量重写成带两个指标的量——本质上给出了麦克斯韦方程组的现代张量形式。²⁷

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这些优美的方程我们后面会看到。不过首先，我们需要更深入地挖掘张量的演化。特别是，我们会弄清它们如何编码并推广不变性这个想法——以及爱因斯坦为什么需要它们来完成他的杰作。但我们也要往回走一点，去看看非欧几何与我们的故事有什么关系。因为通往张量的道路是漫长的——而且，正如我们在向量上也看到的那样，它是由来自许多出人意料方向的创造性洞见铺成的。

Grace Chisholm 谈凯莱：I. Grattan-Guinness, “A Mathematical Union: William Henry and Grace Chisholm Young,” Annals of Science 29, no. 2（August 1972）: 117–18。 ↩
纽纳姆学院的历史：https://newn.cam.ac.uk/about/history/history-of-newnham/。牛津大学直到 1920 年才最终允许女性取得正式学位，而剑桥大学更是到 1948 年才如此。 ↩
凯莱与泰特的通信见 Cargill Gilston Knott, The Life and Scientific Work of P. G. Tait（London: Cambridge University Press, 1911）, 154–96。 ↩
在本书写作之时，这些机器作出的预测中有许多仍需在实验室里验证，但即便如此，它们仍能为基因组学研究指明方向。 ↩
判别式在平移下的不变性：二次方程 ax² + bx + c = 0 的解为 $x=\left[-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\right]/2a$。若把 x 变换为 x′ = x + h，相应的二次方程就变成 ax′² + bx′ + c = 0，其解为 $x'=\left[-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\right]/2a$。两者的判别式相同，都是 b² − 4ac，但解并不相同：对平移后的方程我们有 $x'=x+h=\left[-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\right]/2a$，这意味着 $x=\left[-b-2ah\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\right]/2a$；而这并不等于原来的解 $x=\left[-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}\right]/2a$。 ↩
凯莱与泰特的引语：Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis（Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press, 1967）, 212, 214。Grace Chisholm 谈凯莱：Grattan-Guinness, “A Mathematical Union,” 117。 ↩
Crowe, History of Vectors, 214。 ↩
Crowe, History of Vectors, 217。 ↩
他在 1901 年 3 月 27 日写给米列娃·马里奇的信中，谈到求职时提到了反犹主义：Collected Papers of Albert Einstein, vol. 1, ed. John Stachel, David C. Cassidy, and Robert Schulmann（Princeton, NJ: Princeton University Press, 1987; English Supplement translated by Anna Beck）, document 94, https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol1-trans/182。 ↩
在上一则尾注提到的 1901 年 3 月 27 日的那封信里（https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol1-trans/182），爱因斯坦期盼着“我们俩共同把相对运动的研究带到胜利的结局”的那一天。一些学者引此为爱因斯坦与马里奇合作研究相对论的证据，不过语境以及“胜利的结局”这些字眼也提示，这可能只是他们结婚计划的一个比喻（婚事因亲属反对、米列娃为毕业所做的挣扎，以及爱因斯坦没有工作而一再拖延）。据我所查，在现存写给马里奇的信中，爱因斯坦此前（以及此后）提到相对论，仅有的几次是：1899 年 9 月 10 日的信（Collected Papers of Albert Einstein, vol. 1, document 54），他在信中告诉米列娃，自己有了一个想法，关于相对于以太的相对运动如何影响光速，并补充说“这个就说到这儿吧！”（因为她在准备考试）：https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol1-trans/155；以及 1899 年 9 月 28 日的第 57 号文件，其中没有出现“我们的”理论这样的说法；1901 年 12 月 17 日的第 128 号文件同样如此。从她的信和爱因斯坦写给她的信来看，她显然从未就此发表过任何评论——她关注的反而是与考试相关的题目。要是我们知道他们在一起、不需要写信时都发生了些什么就好了！爱因斯坦早年确实怀抱着两人共度科学生涯的梦想——在本卷 1900 年 8 月 14 日的第 72 号文件中，他告诉她，不在她身边时他便缺乏自信，也感受不到工作的乐趣。马里奇这一时期的信件存世极少：留存下来的那些聚焦的都是她结婚、通过文凭考试、开始读博士的梦想（而她的文凭论文写的是热与能量，不是相对论）。至于她“替爱因斯坦做数学”，他们 1900 年的考试成绩显示，爱因斯坦数学优秀而她不及格：vol. 1, document 67, https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol1-trans/163。考试成绩当然不能说明一切，但这确实终结了所谓爱因斯坦数学无能的说法。在我看来，要更公正地对待马里奇这位女性科学先驱，应当去审视毁掉她前程的偏见，而不是去宣称那些没有明确证据的事情。关于这段关系以及狭义相对论的更多信息，见我的电子短篇 Young Einstein and the Story of E = mc²（Sydney: Ligature, 2014）及其中的文献。关于“米列娃·马里奇是共同作者”这一说法的证据，有一份很简短的最新综述：Ann Finkbeiner, “The Debated Legacy of Einstein’s First Wife,” Nature 567 (2019): 28–29。 ↩
麦克斯韦的想法 表述于他为第 9 版《Encyclopaedia Britannica》（1878）所写的“Ether”词条，8:568–72，并在 1879 年 3 月 19 日致 David Peck Todd 的信（他去世前几个月）中有更详细的说明。托德认识到它的重要性，把它寄给斯托克斯，后者转交皇家学会，学会将它发表于会刊：“‘On a possible method of detecting the motion of the solar system through the luminiferous ether’ by the late Professor J. Clerk Maxwell,” Proceedings of the Royal Society, January 22, 1880, 108–10。迈克耳孙研究过这封信，因为他曾在托德的办公室工作。另见 Robert Shankland, “Michelson and His Interferometer,” Physics Today 27, no. 4（1974）: 37, DOI: 10.1063/1.3128534；Shankland 文中附有迈克耳孙干涉仪的照片。不过，在他们报告结果的论文中，迈克耳孙与莫雷把卫星法列为鉴于其否定结果而可能进行的未来实验，却没有引用麦克斯韦；想必他们不知道他的信已经发表：Albert A. Michelson and Edward W. Morley, “On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether,” American Journal of Science, ser. 3, 34, no. 203（November 1887）: 345。 ↩
洛伦兹电子论：麦克斯韦假定电荷是连续分布的——因此他的方程里有电荷密度项 ρ 和电流密度 J；洛伦兹证明，这些密度是电荷（点）分布的近似或平均，麦克斯韦方程在这些点上奇异，但在其他各处成立。爱因斯坦论洛伦兹：Albert Einstein, Ideas and Opinions（1954; New York: Three Rivers Press, 1982）, 73–76，以及 Banesh Hoffman（with the collaboration of Helen Dukas）, Einstein（Frogmore: Paladin, 1975）, 98。 ↩
H. Poincaré, “Sur la dynamique de l’électron,” Rendiconti del Circolo Matematica di Palermo 21 (1906): 18–76。他此前已于 1905 年 6 月 5 日向法国科学院提交过此文的初步“Note”，并在几年前就相关的想法写过文章。爱因斯坦 1905 年论文（原载 Annalen der Physik）的英译本见：A. Einstein, “On the Electrodynamics of Moving Bodies,” in H. A. Lorentz et al., The Principle of Relativity（New York: Dover, 1952）, 37–65。 ↩
早在 1910 年，一直在研究洛伦兹群几何（该群在爱因斯坦狭义理论中居于基础地位）的费利克斯·克莱因（Felix Klein）就声称，人们“如果真想的话，完全可以用‘相对于一个变换群的相对性’这一术语来取代‘关于一个变换群的不变量理论’”（转引自 Yvette Kosmann-Schwarzbach [translated by Bertram E. Schwarzbach], The Noether Theorems: Invariance and Conservation Laws in the Twentieth Century [New York: Springer, 2011], 70）。2022 年，Martin Rees（在 If Science Is to Save Us [Cambridge: Polity, 2022], 93）提出，用“不变性理论”而非“相对性”来命名，本可以避免“与人类语境中相对主义的有误导性的类比”。 ↩
Grace Chisholm 与高维：她的这段回忆转载于 Grattan-Guinness, “A Mathematical Union,” 128–29。 ↩
关于这些四维探索及其背景（包括布尔一家，以及超正方形类比）的精彩叙述，见 Nicholas Mee, Celestial Tapestry: The Warp and Weft of Art and Mathematics（Oxford: Oxford University Press, 2020）。 ↩
关于（双）四元数在狭义相对论中的现代分析，见 Joachim Lambek, “In Praise of Quaternions,” Comptes Rendues Mathematical Reports, Academy of Sciences, Canada, 35, no. 4（2013）: 121–36；https://www.math.mcgill.ca/barr/lambek/pdffiles/Quater2013.pdf。哈密顿本人讨论过双四元数（其系数为复数）。 ↩
“懒狗”：转引自 Michael White and John Gribbin, Einstein: A Life in Science（London: Simon and Schuster, 1993）, 39。闵可夫斯基论四元数：Scott Walter, “Breaking in the 4-vectors: The Four-dimensional Movement in Gravitation, 1905–1910,” in The Genesis of General Relativity, ed. Jürgen Renn（Dordrecht: Springer, 2007）, 3:212。 ↩
闵可夫斯基的引语见 Constance Reid, Hilbert（Berlin: Springer-Verlag, 1970）, 105, 112。 ↩
时空间隔 告诉你如何考量发生在两个不同地点和时刻的两个事件之间的“距离”： $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}-\left(c\left(t_{2}-t_{1}\right)\right)^{2}}.$ 如果你在空间中同一点观察先后发生的两个事件，那么间隔给出的就是按你自己的腕表计量的两者之间的时间（因为 x₂ − x₁、y₂ − y₁、z₂ ₋ z₁ 全为零）。这就是所谓“固有”时间。类似地，如果你在同一时刻测量两个事件，度规给出的就是它们之间的（固有）距离（因为此时 t₂ − t₁ 为零）。但正如洛伦兹变换所表明的，相对运动的观测者对这些时间和距离并无一致意见——双方唯一认同的是间隔整体是不变的。顺便说一句，为了让这个二次型的间隔度量的“号差”（signature——其名如此）变成 + + + + 而不是 + + + −，闵可夫斯基把时间取为虚数，以契合二次型的原初想法。 ↩
H. Minkowski, “Space and Time,” 1908，英译见 H. A. Lorentz et al., Principle of Relativity, 75–91。涨红了脸：Reid, Hilbert, 92。关于 1907 年的演讲：Walter, “Breaking in the 4-vectors,” 219。 ↩
关于闵可夫斯基之死：Reid, Hilbert, 115。 ↩
克莱因与尤斯图斯：Crowe, History of Vectors, 92。 ↩
不变的时空间隔／常量 c：速度等于距离／时间，所以在三维空间中，光速可以用关于距离的毕达哥拉斯定理来定义： c² = (x² + y² + z²)/t²；这个方程的另一种写法当然是 x² + y² + z² − (ct)² = 0。左边的表达式在洛伦兹变换下不变，这意味着当坐标 (x, y, z, t) 与 (x′, y′, z′, t′) 通过洛伦兹变换相联系时，你仍然得到 x² + y² + z² − (ct)² = x′² + y′² + z′² − (ct′)²。这也就意味着 x′ ² + y′ ² + z′ ² − (ct′)² = 0 同样成立，于是在 (x′, y′, z′, t′) 系中光速也必定是 c。 ↩
William Thomson, “Elements of a Mathematical Theory of Elasticity,” Philosophical Transactions of the Royal Society of London 146（1856）: 481–98；Augustin Cauchy, “Sur les equations qui experiment les conditions d’équilibre ou les lois du movement intérieur d’un corps solide, élastique ou nonélastique,” Exercises de Mathématiques 3（1828）: 160–87。 ↩
Maxwell, Treatise on Electricity and Magnetism（Oxford: Clarendon Press, 1873）, 2:278–81。 ↩
闵可夫斯基把这些特殊的双指标量称为“第二类向量”（vectors of the second kind），索末菲称之为“六向量”（six-vectors）。今天它们被径直称为张量——在这里是反对称的二阶（second-rank 或 second-order）张量，其中“秩”（rank）或“阶”（order）指其分量上指标的数目。（如果这些张量是定义在整个空间上、而不是在一点上的，那么严格说来它们是张量场。） ↩

第 9 章 从空间到时空¶

不变性这个美妙的概念¶

记住米列娃·马里奇¶

狭义相对论¶

四维时空需要四维向量分析¶

用张量你能说出更多！¶

第 9 章　从空间到时空¶