第 8 章　向量分析终成正果——以及一场四元数之“战”¶

麦克斯韦没能活着看到那些受他的《电磁通论》（Treatise on Electricity and Magnetism）激励的年轻人所取得的成就。这一小群追随者被称为“麦克斯韦学派（Maxwellians）”，其中包括乔治·菲茨杰拉德（George FitzGerald）——他从麦克斯韦方程组推出了一种探测电磁波的理论方法；他的朋友兼合作者奥利弗·洛奇（Oliver Lodge）；以及海因里希·赫兹（Heinrich Hertz）。洛奇与赫兹各自独立地在实验室里成功产生了这些波，这是有史以来的第一次——并在此过程中极为壮观地证实了麦克斯韦的理论。赫兹在 1888 年公布了他的结果，而可怜的洛奇——他本来正准备在即将召开的英国科学促进会（British Association）会议上公布自己的发现——却发现被人抢了先。¹

到 1901 年，技术进步之大已经让古列尔莫·马可尼（Guglielmo Marconi）和他的团队得以发出第一批远距离电报信号——它们飞越大西洋，而不是像威廉·汤姆森（William Thomson）当年那样从海底穿过——无线时代就此诞生。事实上，马可尼的信号是用一台由麦克斯韦昔日的学生安布罗斯·弗莱明（Ambrose Fleming）设计的发射机发出的。

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不过对我们的故事而言，麦克斯韦学派中最关键的人物是一位古怪的电报员，奥利弗·亥维赛（Oliver Heaviside）——因为正是他把麦克斯韦的整体向量（whole-vector）进路扩展，并把它变成了现代的向量分析（vector analysis）。

到 1880 年代，已经铺设了数千英里长的电缆，电报成了一项富有魅力的新技术，就像 2000 年代初的信息技术一样。而与近来 IT 课程大受欢迎的情形极为相似，汤姆森报告说，在他格拉斯哥大学的实验课上，想接受电报工程师训练的年轻学生成了一场“流行病”。然而年轻的亥维赛却从未上过大学。十九世纪新技术大爆发的一个阴暗面，是手艺人工作的流失，其中就包括亥维赛那位做木刻版画的父亲——他的手艺如今不得不与复制图像的新摄影术竞争。他的母亲靠开办一所小型学校来勉强维持家用，但亥维赛是在贫困的边缘长大的——并且厌恶伦敦那些险恶的街道，街上满是骗人的商贩和酒气熏天的酒馆。²

他跟随两位兄长的脚步，十六岁时开始在姨父查尔斯·惠斯通（Charles Wheatstone）手下当电报员——这位姨父早在 1830 年代就参与设计了最早的一批电报系统之一，而且娶了亥维赛的姨母。大约一年之后，也就是 1868 年，亥维赛找到了一份工作，参与新的英-丹电报电缆，测试线路上的信号速度——他从此对电的技术细节及其测量着迷到了这种地步：凡是能找到的相关材料他都拿来研读。他觉得汤姆森早年关于电报信号传输的理论工作特别有用，所以他早已不是一名普通的电报员了。

当他发表一篇论文时，他的深思熟虑得到了回报——这篇论文成了他获得学术界认可的通行证。论文讲的是使用惠斯通电桥（Wheatstone bridge）的最佳方式——那是一种测量电阻的装置，以他姨父的名字命名，是他姨父改进并推广了塞缪尔·克里斯蒂（Samuel Christie）的原始设计。你需要能准确地测量电阻，才能调节你的信号，并确保你的电缆不会过热。汤姆森对亥维赛的这篇论文印象极佳，以至于亲自向他道贺。

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麦克斯韦也印象深刻。年轻的亥维赛人生开局艰难——猩红热让他部分失聪，更是雪上加霜——但他信心十足，还给麦克斯韦寄去了一份自己的论文。论文发表于 1873 年 2 月，那时麦克斯韦正在为他的《电磁通论》付印做最后的收尾，但他还是在最后一刻加进了对这篇论文的引用，以及对其关键结果的简要概述。那年晚些时候，亥维赛翻阅《电磁通论》时被彻底震撼了——而且不只是因为他自己的工作被提了一笔。更确切地说，他是被麦克斯韦这本书惊人的深度与广度折服了：“我看出来它是伟大的，更伟大的，最伟大的，”他满怀热情地说，于是他下决心要把它吃透。³

与此同时，他在本行里干得很不错。这些年来他积累了大量电学知识——也有与兄长亚瑟（Arthur）合作的功劳——他的事业似乎蒸蒸日上。然而突然之间，1874 年，在他二十四岁那年，他辞掉了工作，回到父母身边居住。没有人确切知道原因。有人提出，他那带刺的脾气也许让身为雇员的他日子很不好过。但看起来也的确是：他爱上了电学理论——也爱上了那位“天赐的”麦克斯韦——并且想要有时间去研究与写论文。⁴

不管原因是什么，终身未婚的亥维赛过着日益与世隔绝的生活，专心撰写关于电学与电报理论的、越来越精深的文章，尤其是为行业周刊《The Electrician》而写。他关于麦克斯韦理论的第一篇论文《论电流的能量》（“On the Energy of Electric Currents”）发表于 1883 年。

他也写数学文章——包括向量分析，那是他最初在麦克斯韦的《电磁通论》里发现的。正是亥维赛为向量引入了那种清晰醒目的粗体字体，也正是他因为把四元数贬为对实际应用毫无用处而得罪了泰特。他在自己的书《电磁理论》（Electromagnetic Theory）里打趣地写道：

“四元数”嘛，我记得有一位美国女学生把它定义为“一种古老的宗教仪式”。然而这完全是个错误。古人——不像泰特教授——并不认识四元数，也不崇拜四元数。⁵

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亥维赛常常妙趣横生，哪怕是在一段技术性论述的正中间！他也常常富有洞见——比如当他在讲述麦克斯韦的电磁学创见时中途停下，把枪口对准那些以“挑剔而拒不接受的态度”批评它们的科学家。他指的是这样一种抱怨：麦克斯韦纯粹用数学来呈现他的最终理论，却没有给出电磁作用究竟如何从一个地方传到另一个地方的物理模型。

和麦克斯韦一样，亥维赛关注的是向量以及它们的标量积与向量积，而不是四元数——但他走得更远，把“向量是四元数的虚数部分”这一整套说法干脆丢掉。“我从来没弄懂过它，”他说。“读者应当彻底清除头脑中的任何这样的想法：以为我们在向量分析中要与虚数 \(\sqrt{-1}\) 打交道。”⁶ 毕竟，正如我先前提到过的，无论你用的是虚数基还是实数基，一个向量的分量都是一样的。所以，正是多亏了亥维赛，哈密顿的虚数 i, j, k 才变成了今天的 i, j, k。

通过把 i, j 和 k 变成平方等于 1 的实数单位向量，而不是虚数平方所得出的 −1，你还顺便去掉了我在上一章展示过的哈密顿标量积里那个负号。这个多余的符号也曾让麦克斯韦烦恼透顶，却是亥维赛把它扔到了一边。“一个向量的平方怎么会是负的？”他问道——并打趣地加了一句，“而哈密顿对此还那么肯定（positive）。”（译者注：positive 一词兼有“肯定的”与“正的”两义，与前一句的“负的”相对。）他那妙不可言的满不在乎，也许正反映了他作为局外人的身份：粗略说来，物理学家不把他当回事，因为他没上过大学；而实务人员也不把他当回事，因为他们觉得搞理论是上等人的事。⁷

麦克斯韦学派是这条规律显著的例外——汤姆森也是。1888 年在巴斯举行的英国科学促进会会议上——失望的洛奇就是在那里、在赫兹已于德国先行宣布的阴影之下，公布了自己对电磁波的发现——人们也讨论了该如何解释麦克斯韦的理论。洛奇、菲茨杰拉德和汤姆森都了解并欣赏亥维赛在这方面的工作，而且他们把他的工作宣扬得如此到位，以至于会议的官方纪要写道：“所有人都对亥维赛先生的缺席表示遗憾”。亥维赛本人，这个孤僻的人，从来没打算参加任何科学集会。但物理学家们终于开始注意到他了。⁸

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亥维赛那著名的改造：麦克斯韦方程组的形式之变¶

巴斯的那场讨论关乎麦克斯韦的数学量与方程的物理解释。我们已经看到，汤姆森是那些把麦克斯韦理论贬为“数学漂亮、却没有电磁波如何传播的物理模型”的人之一——但亥维赛问的是一个不同的问题。作为一名电报员，他关心的是如何无失真地发送信号——他把信号看作电能。麦克斯韦确实写过电场与磁场的能量，亥维赛把他的 𝔈 和 𝔅 改成了现代的 E 和 B；但麦克斯韦看来更喜欢“势”在数学上的优雅，而不是更直接地强调那些物理的场。

特别是，正如我在第 7 章所说明的，他选择用一个向量势来表示磁场：

𝔅 = V. ∇𝔘（用现代记号即 B = ∇ × A），

其中他的 𝔘 和现代的 A 表示电磁场的向量势。这在数学上是一种干净利落的做法，因为这样你就可以利用向量微积分的恒等式——比如旋度的散度恒为零——来推出进一步的方程；在这里就是 B 的散度为零：∇ ∙ B = 0，或者按亥维赛的写法，div B = 0。（和克利福德一样，他把麦克斯韦的“收敛（convergence）”改成了现代的“散度（divergence）”。他还把 ∇ × A 写成 curl A。）

类似地——并且用牛顿的点记号作为时间导数的简写——麦克斯韦把电场表示为

𝔈 = V. 𝔊𝔅 −𝔘− ∇Ψ，

或者说，用现代符号表示，

\[E=v\times B\frac{dA}{dt}-\nabla\phi,\]

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其中 Ψ（或 ϕ）是电势或者说电压，而 v 是任何这样的带电粒子的速度：它的运动在贡献着一个磁场（正如奥斯特所发现的），而这个磁场转而又在贡献着电场（正如法拉第所发现的）。如果电场仅仅是由一个变化的磁场造成的，那么 v = 0。

亥维赛承认，数学上的势进路有时候对计算是有用的，但他想要直奔电磁能量的物理实质。当他确实在方程里写入一个势时，他引入了简写“pot”——就像他用“div”和“curl”来表示散度与旋度算子一样——还调皮地加了一句：在这种情况下，“pot（势）……与水壶（kettle）的关系，并不比三角学的 sin 与那个不可提及的 sin（罪）的关系更多。这么说似乎没有必要，但人再仔细也不为过”（译者注：pot 在英语口语中也指“壶”，sin 则兼有“正弦”与“罪”两义）。说得太对了！但在就能量传输整理麦克斯韦方程组时，亥维赛“谋杀”了那些势——他是这样告诉菲茨杰拉德的——而且他有充分的理由。在《电磁通论》中（以及在他 1865 年的原始论文中），麦克斯韦是用向量势 𝔘（或 A）来推出他关于光——或者说关于任何电磁信号——的波动方程的，而亥维赛已经表明，在分析电磁能量的传输时，这是不合物理的。⁹

于是亥维赛此时的首要目标，就是重写麦克斯韦方程组，好让物理的场 E 与 B 成为主角——就像它们今天这样（至少大体上是这样）。¹⁰ 他不知道的是，麦克斯韦在 1868 年的一篇论文中确实已经直接用场推出了一个波动方程。它简洁优美，而他没有把这条进路继续推进下去，是一件憾事。反倒是亥维赛——那个尖刻、自学成才的独行客——把这条进路带进了主流。¹¹

事实上，你也许在普及读物和博客上读到过：麦克斯韦的论文里有二十条分量形式的“麦克斯韦方程组”，而正是亥维赛把它们简化成了四条优美的整体向量方程，也就是今天在教科书里（以及 T 恤衫上）大名鼎鼎的那四条：

\[\begin{matrix} \nabla\cdot\boldsymbol{E}=4\pi\rho \\ \nabla\cdot\boldsymbol{B}=0 \\ \nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} \\ \nabla\times\boldsymbol{B}=\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}+4\pi\boldsymbol{J} \end{matrix}\]

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（其中 ρ 是电荷密度，J 是电流密度。）¹² 然而，这种替亥维赛说话的说法并不完全是真实图景。不过，先让我们再看一眼这些著名的方程究竟是什么意思。前两条是散度方程，关乎流过包裹着电荷或磁体的闭合曲面的通量，如图 6.1 和图 7.1 所示。这两条方程是高斯-库仑定律的向量形式。第三条与第四条方程关乎法拉第定律与安培定律，它们涉及场的旋度。正如我在图 7.2 中说明的，旋度运算与转动有关。所以，∇ × E 这条方程编码了这样一个实验观测到的事实：一个变化的磁场会感生出绕着回路流动的电流；而 ∇ × B 这条方程则表明，感生出来的磁场会“旋转”或者绕着载流导线打圈。（如果你把铁屑撒在一块导线穿过的板上，你会看到铁屑排成一圈一圈。）这两条方程右端的导数表明，电场与磁场若要互相感生，就必须随时间变化。

这是一组极其优雅、又极其有力的方程。

从麦克斯韦走到这四条优美方程的故事，比围绕着此前长期被忽视的亥维赛而生长出来的那个流行传说要更复杂一些——这类事情通常都是如此。除了亥维赛写的是“div”和“curl”、而不是用点号和叉号之外，据我所知，他从来没有把这四条方程写在一起过：正如麦克斯韦的主要场方程中间穿插着用于各种应用、或者用于定义各种项的方程一样，亥维赛的也如此。原创性研究就是这样，因为你是在一路走一路给出自己的定义、论证和应用。他确实把两条旋度方程的版本写在一起过——他管它们叫“对偶方程（duplex equations）”——而且他有时也把两条散度方程写在一起，但即便如此，这两对方程还是夹杂在几十条别的方程之间。更何况，亥维赛写这四条方程时用的也不完全是现代形式：他对它们做了些调整，好让它们更加对称，你可以在尾注里看到这一点。¹³

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然而比这些细节重要得多的事实是：麦克斯韦在他的《电磁通论》里其实已经把他的二十条分量方程归结成了五条整体向量方程。撇开记号不谈，它们包括我前面给出的、用势表示 E 和 B 的那两条方程：第一条等价于 ∇ ∙ B = 0，正如我们所看到的；第二条等价于 \(\nabla\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}\)（我会在下一条尾注里说明）。然后是我在第 7 章给出的那条 ∇ ∙ E 方程，再加上一条关于 B 的旋度的方程，他把它写成这样：

4πℭ = V. ∇ℌ。

他把 ℌ 定义为在纯磁场中与 𝔅 成正比，并把 ℭ 定义为传导电流加上电位移 𝔇 的导数（我们在上一章简略地看到过，𝔇 与 𝔈 成正比）——所以这意味着，用适当单位下的现代记号来表示，他的那条旋度方程确实是

\[4\pi\boldsymbol{J}+\frac{\partial E}{\partial t}=\nabla\times\boldsymbol{B}\]

麦克斯韦还给出了一条附加的方程，关于电场与磁场所产生的机械力——正如亥维赛所说，这正是工程师在设计发电机和电动机时所需要的东西。它实质上就是今天所说的洛伦兹力定律（Lorentz force law）——得名于我们在第 4 章讲到电子自旋时遇见过的同一位洛伦兹。

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所以，亥维赛所做的真正新鲜的事——撇开麦克斯韦 1868 年的那篇论文不谈——是用 E 和 B 而不是势来重写麦克斯韦方程组（并且把那些难读的哥特字母换成清晰的粗体字母）。这在四条著名方程中凸显出了电场与磁场之间那优美的对称性，而这是亥维赛的一记妙手。在又一次独立的共同发现中，赫兹也做了类似的事。（悲剧的是，赫兹始终没有机会把他的工作推进得更远。他在 1892 年死于败血症，年仅三十六岁——所以他没能活着看到他的无线电波即将找到的那些非凡的用途，就像麦克斯韦没能活着看到赫兹证实他对那些波的预言时那壮观的方式一样。）尽管如此，从势到场向量的这一转变，可以相当容易地从麦克斯韦版本的方程推出来。我已经说明过，麦克斯韦有对应于 ∇ ∙ B、∇ ∙ E 和 ∇ × B 这三条方程的整体向量形式；从麦克斯韦关于 E 的那条方程得到 ∇ × E 方程也相对直截了当，你可以在尾注里看到。¹⁴ 这就是为什么亥维赛从来没有宣称这些是他的方程：它们全都已经在那里了，而且还有那条力的方程，就在麦克斯韦《电磁通论》中那五条整体向量方程里。¹⁵

亥维赛确实凸显了那种对称性，并把焦点牢牢放在 E 和 B 上，好让方程更实用——但被他“谋杀”的那些势，今天在数学物理中依然活得好好的。向量势 A 也许不是物理的——直接可测量的是 E 和 B——但正如亥维赛自己所说，它们常常能让计算做得更简单。势的这种计算性用途，今天通常被称作“规范理论（gauge theory）”：其思想是选一个“规范（gauge）”——一个关于 A 和 ϕ 的方程——它能在不改变 E 和 B 的值的前提下简化计算。换句话说，电场与磁场在“规范变换（gauge transformation）”之下保持不变——类比于一个转动的球无论你把它转向哪边看上去都一样。如今规范不仅被用来简化电磁学中的计算，也被用来简化量子理论和相对论中的计算。

向量分析：亥维赛与吉布斯的数学遗产¶

我花了不少时间把“究竟是谁写出了麦克斯韦方程组”这件事上的真相从传说中拆解出来，因为除了说明当时人们要欣赏麦克斯韦那四元数味的整体向量方程有多么困难之外，它还揭示了一件关于科学如何演化的、至今仍常被误解的事。再举一个例子：牛顿定律从来不是以他在《Principia》里写下的那种形式写出的，因为新的数学技巧、记号和理解让别人得以把它们写成现代的向量微积分形式。但内容仍然是牛顿的。麦克斯韦方程组也是如此——而且他比牛顿离现代形式要近得多。所以，亥维赛最重要的数学创新，与其说是他重新表述了麦克斯韦方程组本身，不如说是他发展出了现代的向量分析。

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在他那部非凡的著作《电磁理论》的第一卷中，亥维赛详细地列出了向量分析的全部规则——彻底把向量从它们作为四元数虚数部分的原有角色中剥离出来。毕竟，他说，“我们生活在一个向量的世界里”——正如我在第 3 章所说明的，是牛顿头一个把这一点讲清楚的。于是亥维赛接着说，“一种向量的代数或者说语言，是绝对的必需”。¹⁶ 而他还在自己关于电报学以及相关的实用电磁理论的众多论文中，继续展示这种语言可以有多么强大。当然，今天你翻开任何一篇物理论文或一本物理教科书，都不可能不看到向量。然而在 1890 年代初，向量分析仍然要么是德高望重的分量方法那个厚脸皮的后代，要么是四元数那个自大的小兄弟——就看你问的是谁了。汤姆森属于前一个阵营，泰特属于后一个。

麦克斯韦和克利福德是最早从四元数转向向量分析的人。然而尽管他们此时已经离世，亥维赛在他为向量而战的战斗中并不孤单。在大西洋彼岸，约西亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）也受到了麦克斯韦《电磁通论》的激励。而且和亥维赛一样，吉布斯感兴趣的是麦克斯韦对向量的应用——与泰特不同，吉布斯对向量本身在数学上的美并不感兴趣。的确，他的研究生涯是以一种非常实用的方式开始的：研究铁路车厢的齿轮与刹车，以及蒸汽机的调速器——那是在 1860 年代，当时美国的铁路线建设正在加速。第一条横贯大陆的铁路线，一个庞大的基础设施工程，于 1869 年完工——但那时吉布斯已经把注意力从工程学转向了物理学。事实上，他刚从欧洲三年归来，旁听了热力学这门新科学的专家们的课程，而且在接下来的几年里，他对这门新科学做出了重大贡献。但当他在 1873 年读到麦克斯韦的《电磁通论》时，他越来越被电磁学的物理学吸引——因而也被向量的语言吸引。

和亥维赛一样，吉布斯注意到麦克斯韦用的是标量积与向量积，而不是完整的四元数积。这就是为什么在 1880 年代，吉布斯和亥维赛都各自分头去探索没有（sans）四元数的向量——而那时他们还不知道彼此的工作。

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亥维赛是学术界的局外人，而吉布斯则是一位身处世界另一端的年轻教授，远离科学事件正在发生的地方——他于 1871 年被任命为耶鲁大学的数学物理教授，但他与科学主流之间的地理距离也使他多少成了一个局外人。事实上，麦克斯韦在当时几乎是唯一一个认识到吉布斯早期热力学工作重要性的人。不过，亥维赛对学术界的势利大加痛斥，吉布斯却只是埋头做自己的工作——1881 年和 1884 年，他自费出版了他的小书《向量分析基础》（Elements of Vector Analysis）的第一部分和第二部分。

他并不是第一个研究他所谓的“多重代数（multiple algebra）”的美国人——这种代数的符号代表不止一个数，于是“二重代数”就是复数，向量是“三重代数”（在三维空间中），四元数是“四重代数”，因为它们包含一个标量再加上三个空间向量分量——如此等等。受哈密顿发现了一种不服从交换律的新代数的激励，哈佛大学的数学教授本杰明·皮尔斯（Benjamin Peirce）长期以来一直在创造几十种其他的新代数。后来，他的儿子查尔斯证明：那些允许除法、也就是允许逆的存在——因而有办法解方程、也有办法反转转动——的代数，只有实数（也就是传统的中学代数）、复数和四元数的代数。本杰明，以及后来他的另一个儿子詹姆斯，都在哈佛开过四元数的课——皮尔斯家确乎是一个有数学天赋的家族。

吉布斯则相反，他开的是向量分析的课，不是四元数的课。正如我提到过的，他还给了我们表示标量积与向量积的点号与叉号记号——这让查尔斯·皮尔斯大为不满。吉布斯回应了皮尔斯的批评，说他自己也拿不准该用哪一套记号。但他沿袭泰特和哈密顿，用希腊字母表示向量；亥维赛则相反，用粗体字表示向量，却保留了哈密顿的 S 和 V 来表示标量积与向量积。所以你可以看出，现代的记号——比如上面那四条麦克斯韦方程的现代形式中所用的——是亥维赛与吉布斯两人符号的一种综合。这又是一个例子，说明为新概念所用的新记号需要一段时间才能找到它们最好的形式——或者至少是最流行的形式。

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吉布斯的向量之路起步于麦克斯韦的《电磁通论》，但几年之后他发现了格拉斯曼的工作。看来和所有其他人一样，他始终没能读完《扩张论》（Ausdehnungslehre）的全部，但格拉斯曼那些乘积的一般性给他留下了极深的印象——尤其是它们可以推广到三维以上这一事实。标量积同样也是可以推广的：如果两个向量 a 和 b 各有 n 个分量，记作 a¹, … , a_n 和 b₁, … , b_n，那么它们的标量积就只是：

a ∙ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + … + a_nb_n。

今天，这种一般形式常常沿用格拉斯曼的说法被称作“内积（inner product）”。相比之下，我已经提到过，向量积（或者说叉积）只在三维中有定义，而格拉斯曼那个类似的“外积（outer product）”却是一般的，我们会在第 11 章更详细地看到这一点。

吉布斯对格拉斯曼印象如此之深，以至于他写信给格拉斯曼的儿子小赫尔曼（Hermann Jr.），力劝他出版他父亲最早期的著作——吉布斯似乎非常热切地希望格拉斯曼能优先于哈密顿。甚至到了这种地步：在《向量分析基础》的序言里，他致谢了格拉斯曼和克利福德，却对麦克斯韦只字不提，更不用说泰特和哈密顿了。不过我们知道，他最主要的受益来自麦克斯韦的《电磁通论》——这是从他写给一位德国同行的一封信里得知的。¹⁷ 所以，在抹杀本应给予他人的公开致谢这一点上，吉布斯显得相当吝啬。也许他是想把向量分析呈现为一门与四元数完全无关的新学科，因为我们很快就会看到，他是多么坚决地捍卫这一主张。尽管如此，格拉斯曼配得上吉布斯所做的努力，这些努力最终促成了他那长期被忽视的全集的出版。

向量之“战”¶

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1888 年，吉布斯把他的《向量分析》寄给了他能想到的每一个人——其中包括汤姆森、泰特和亥维赛。亥维赛很高兴地发现，自己并不是唯一一个研究向量的人——但泰特被激怒了！而到了 1890 年代，一场相当不客气的争论在《自然》（Nature）和其他顶尖科学杂志的版面上爆发了。问题是：整体向量的体系到底该不该用——汤姆森和阿瑟·凯莱这类人说不该，分量就够了；但如果确实要用，那么该用哈密顿的四元数还是格拉斯曼的代数？还是该用吉布斯与亥维赛那种实用主义的向量分析——在泰特看来，那不过是抄袭哈密顿的东西？

吉布斯尤其激起了泰特的怒火：他把吉布斯的《向量分析》称作“某种雌雄同体的怪物”，“由哈密顿和格拉斯曼的记号拼凑而成”。在 1891 年《自然》上的一篇文章中，吉布斯非常礼貌地回击了泰特的这一诋毁。（《自然》还不是今天这种光鲜的杂志——当时的技术做不到——但到 1890 年代，它已经成为科学家们发表研究、讨论观点的一个极受欢迎的场所。）接着亥维赛也加入进来，暗示第一回合是吉布斯赢了。后来，为了显示自己的不偏不倚，亥维赛说这场争论如何解决取决于你的立场。从四元数的而非物理学的观点来看，他说，“泰特教授是对的，完全正确，而四元数提供了一种唯一简单而自然的处理四元数的方式。”为了确保读者能领会到这个笑话的妙处，他加了一句，“请注意着重号。”不过他也确实接着谈到了四元数在数学上的美，与他所认为的四元数在物理学中的“无用”相对照。¹⁸

泰特立刻通过《自然》的版面回复了吉布斯。我已经提到过，既然叉积只在三维中有定义，那么四元数积也是如此。所以，为了拒不承认他心爱的四元数有任何局限，泰特对吉布斯强调把向量推广到三维以上的重要性提出了质疑，并反问道：“学物理的学生，就其本身而言，与三维以上的空间有什么相干？”这正说明后见之明可以让历史变得更加有趣——因为尽管泰特在 1891 年是一位顶尖科学家，仅仅十四年之后，年轻的爱因斯坦就会表明，狭义相对论需要四维，(t, x, y, z)——通常的空间三维再加上一个时间坐标。然而回到 1891 年，泰特是力挺三维的——但他确实为四元数拿下了一分：即便与向量表达式相比，四元数也更为紧凑，更不用说与分量方程相比了。¹⁹

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正如我们在第 7 章看到的，汤姆森在 T 与 T′ 中战胜了泰特——那是他们合写的前沿物理学教科书，四元数被从中扫地出门。后来汤姆森回忆起他们在这个题目上的争斗，说：“我们为了四元数打了三十八年的仗。”他确实承认，泰特“被哈密顿在这方面的天才的原创性与非凡之美迷住了”——然而他说，泰特始终举不出一个例子，说明用四元数究竟能怎样把物理问题解得更容易。当然，泰特和麦克斯韦一样坚持认为：如果你把一个物理问题写成四元数或者整体向量形式，就更容易看清其中的物理——但正如汤姆森反复指出的，你终究还是得用分量来解那些方程。举例来说，你也许还记得中学里求一个斜抛出去的球的轨迹。你得用牛顿第二定律 F = ma**，先“分解”（resolve）那些向量到它们的分量（如图 8.1），然后再把牛顿定律分别用到每一个力的分量上——正如汤姆森所说的那样！²⁰

与此同时，吉布斯和泰特继续通过《自然》争论——吉布斯始终不失冷静——亥维赛则在《The Electrician》上加上他的一份。接着泰特以前的学生亚历山大·麦克法兰（Alexander Macfarlane）也加入了进来——他当时在得克萨斯，在一次对美国科学促进会的演讲中，他提出一种更完备的代数很可能会演化出来，把四元数与格拉斯曼式的代数统一起来。（他是对的，正如我们在克利福德的几何代数中看到的，也正如我们将会在张量分析中看到的。）他甚至尝试过他自己的一种向量分析形式，把 i, j 和 k 变成实数而不是虚数，但它不如吉布斯和亥维赛的那样干净利落，也始终没能流行起来。²¹

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到 1892 年，这场争论一路传到了澳大利亚——剑桥毕业生亚历山大·麦考利（Alexander McAulay）当时正在墨尔本大学教数学和物理。他在澳大利亚科学促进会一月会议上做过一场关于四元数的报告，该报告于六月发表在《哲学杂志》（Philosophical Magazine）上，而他也在《自然》的争论中添上了自己的声音。他坚定地站在四元数派（quaternionist）一边，而且他把物理学家未能欣赏四元数分析的威力归咎于麦克斯韦，因为麦克斯韦用的是向量积与标量积、而不是完整的四元数积。麦克法兰对此回击说，该怪的不是麦克斯韦，而是四元数自身的局限——尤其是标量积前面那个恼人的负号。争论就这样你来我往，四元数派对阵向量分析派，各自以不同程度的敏锐与克制陈述自己的主张。

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到 1893 年，麦考利已经在新成立的塔斯马尼亚大学谋得了一个职位，成为该校第一位数学与物理讲师。同一年，他出版了自己的书《四元数在物理学中的用途》（Utility of Quaternions in Physics）——他最初是在 1887 年把它写成一篇雄心勃勃的文章，去竞争剑桥久负盛名的史密斯奖（Smith's Prize）。麦克斯韦早在 1854 年就与人分享过这个奖，但麦考利心里明白：拿一篇关于四元数的文章去参赛是在毁自己的机会，因为剑桥没几个人懂四元数。正如他在书的序言里解释的，那些确实讲授这门科目的剑桥教授把它当作“一种代数，但这不是哈密顿式的（Hamiltonian）——哈密顿是把四元数看作一种几何方法”。正如我在第 4 章提到的，德摩根和其他人感兴趣的是为代数而代数，而哈密顿的目标却是为几何——尤其是为描述三维空间中的转动——找到一种代数语言。他当初正是这样才偶然撞见他那套四元数新代数的。

也许麦考利没有意识到，麦克斯韦在他的《电磁通论》里表达过与此相同的、关于几何之重要性的观点——而这与我们正在讨论的物理意义密切相关。四元数分析——麦克斯韦称之为“向量的学说（the Doctrine of Vectors）”——从根本上说是一种几何箭头的语言，所以它聚焦于空间中实际的点与线，而不是它们的坐标。这种几何进路使得物理量可以被独立于坐标的选择来建模——因而凸显出它们那些不变的、物理的性质。关于这一点我们会在下一章看到更多，而这也正是麦克斯韦不厌其烦地强调整体向量、而不是基于坐标的分量的重要性的原因。他感兴趣的是用力线——就像铁屑排成的那些线——的几何来为磁体、电荷和电流周围的电磁场建模。同样地，1915 年爱因斯坦会以一种著称于世的方式，用这种“向量学说”的张量推广来为弯曲时空的几何建模。事后回望，人们很容易把数学和科学思想的发展视为理所当然，并假定从麦克斯韦到爱因斯坦、从向量到张量有一条平坦的坦途。很难相信，就在不到一个世纪之前，数学——在所有事物当中偏偏是数学——居然会如此富有争议。但在 1893 年，麦考利和他的同辈们还远远没有收场。

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在他的序言里，麦考利甚至主张学生应该学四元数而不是笛卡尔几何——并补充说，鼓励学生学这门科目的唯一办法，就是让它“有回报（pay）”，用他那意味深长的说法，也就是在考试里多出一些关于这门科目的题目。时至今日情形并没有多少改变：看来大多数学生想学的是如何通过考试，而不是如何思考。这就是压在我们学生身上的压力，以及我们的教育与就业政策的局限。²² 和他之前的麦克斯韦一样，麦考利清楚地理解“教学生思考”与“训练他们通过考试和求职面试”之间这个成问题的抉择，而且他力图用自己的书去激励未来的学生——直接向他们发出呼吁，鼓励他们忘情地沉浸于四元数那“令人神魂颠倒的欢愉”之中。“等你醒来，”他接着说，“你会已经忘掉了［考试］，而随着时日推移，你会长成一个财务上的废人。”但麦考利那海妖般的歌声继续唱道：你得到的不是财富，而是“那一天赐之梦的记忆”——“浸透”在四元数之中的记忆，这段记忆会让你成为“一个远比那百万倍百万富翁幸福得多、也富有得多的人”。这是高尚的、却也古怪而不切实际的忠告！（和所有同事一样，麦考利在对学生说话时用的是“man”和“he”，因为在女性一般还不能取得学位的那个时代，这是通行的做法。不过麦考利确实有一位女权主义的妻子——他在 1895 年与艾达·巴特勒（Ida Butler）结婚，她持续为女性接受高等教育与选举权的权利、以及为性教育与计划生育而斗争。）²³

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亥维赛私下告诉吉布斯说，麦考利“看来是个非常聪明的家伙，而且他知道这一点，有时候还表现得有点过分”。至于泰特，他那尖刻的激情丝毫未减，而他对麦考利那本挺四元数的书所写的书评，成了《自然》一篇封面故事的完美点击诱饵（clickbait）——请原谅这个有意的时代错置。“这真是令人振奋，”他写道——在“艰辛地穿过”吉布斯与亥维赛著作中那片“干旱的荒原”之后，再来读麦考利。然后，令人惊异地对自己的文风过火与人身攻击视而不见、但也许不无道理地，泰特对麦考利那些修辞上的华丽挥洒提出了异议——他认为那会把人从四元数那里吓跑，而不是把人劝服过来。尽管如此，他在麦考利身上看到了一个有着“真正的力量与原创性”的人，他“一把抓过哈密顿递给所有人的那件壮丽武器，随即冲进丛林去追猎大猎物”。²⁴ 这样一个充满雄性气概的殖民主义比喻，在今天可不会受欢迎！

吉布斯则相反，他反驳麦考利对四元数的辩护，提出是哈密顿本人遮蔽了向量进路的简洁与威力——尤其是当他把标量积与向量积合并成一个单一的四元数积的时候。而且与麦考利的看法相反，吉布斯觉得哈密顿实际上是把向量的几何方面晾在了一边。今天用着向量的时候，谁能想到曾经有过这么多需要想清楚的问题——几何、经济性、记号、物理解释、计算的便利——而且还带着如此之大的热情！

争论继续着，新的参与者不断加入——其中值得一提的是泰特以前的学生、后来的传记作者卡吉尔·诺特（Cargill Knott）。接着亥维赛又回到了战团，在《自然》的版面上判定泰特和诺特为四元数所做的辩护不得要领，并力劝麦考利放弃四元数。“四元数的平静与安宁已经被打破了，”他得意地加了一句。“四元数的城堡里一片混乱；警报与出击，还有投向入侵大军的乱石与滚烫的开水。”他是对的，而入侵的向量分析派最终取得了胜利，任何一本本科数学或物理教科书都能作证。而麦考利也确实放弃了四元数：1905 年，他动身去领头建设塔斯马尼亚的第一套水电系统——那也是世界上最早的水电系统之一。这是一个恰如其分的收场，因为此前他曾把四元数同时应用到电磁学和流体动力学上。²⁵

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在这一片愤怒之中，吉布斯作为一个冷静而理性的人显得格外突出。在他发表在《自然》上的文章《四元数与向量的代数》（“Quaternions and the Algebra of Vectors”）中，他对这场风波真正关乎什么给出了精彩的总结，拨开自我与优先权的问题，直指数学物理学那个古老的目的——澄清各物理量之间的“关系与运算”。而且尽管他坚定地站在向量分析一边，他并不觉得这是什么了不得的新东西——它只不过是人们几个世纪以来一直在发展的那类数学运算的、最简单也最有用的表达方式。他说，为了历史，也为了我们的学生，我们应当承认这一长串贡献者——而在这里他确实把泰特也包括了进去，他称赞泰特把哈密顿的工作发展并应用到了超出哈密顿的地步，无论泰特本人多么热忱而忠诚地宣称情况恰恰相反。毕竟，吉布斯说，“现代思想的洪流太宽阔了，即便是哈密顿的［方法］也约束不住它”。这是一种值得记住的历史观——那些令人目眩的新思想的开创者，很少会把那些思想留在完美的形式之中，而许多其他卓越的头脑则会着手去澄清、应用并拓展它们。²⁶

回到起点……¶

事实上，与“向量之战”相关的那段历史，一直可以回溯到有记载的数学的开端。因为这场火气十足的世纪末（fin-de-siècle）争论，其核心关乎的是表征信息的最佳方式——以及用它来做计算的最佳方式。表征正是美索不达米亚人和埃及人一直在用他们的表格与阵列所做的事情：记录关于地块大小的信息，或者关于一条运河要挖出多少土方、以及挖掘所需花费的金钱与劳力。而他们是通过查阅乘法表、算法摘要、以及毕达哥拉斯三元组的列表来计算这些信息的——比如普林顿 322 号泥板（Plimpton 322）上的那份，也就是序言的图 0.1 中所示的那块美索不达米亚泥板。

一千年之后，古希腊人试验过这样一个想法：表征的不只是商业与社会学的数据，还有关于空间中的位置的信息——而正如我们所看到的，他们的坐标想法发展成了我们熟悉的数学上的笛卡尔网格与极坐标网格。快进到 1890 年代，你就会看到：那场关于向量／四元数／分量的争论，所关乎的正是表征并利用关于空间中物理量的信息的最佳方式。

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正如泰特和其他四元数派在 1890 年代所主张的——四元数在信息的紧凑表征上胜过向量，而四元数与整体向量又都胜过一长串分量。但正如汤姆森始终坚持到最后的那样：既然你反正都得用分量来计算，那又何必为这些作为整体的实体专门搞一套记号呢？他并不是唯一持这种看法的人——比如凯莱就有同样的看法。不过，要是他们活在数字时代，想必一定会改变主意：在那个时代，表征上的经济性在成本、时间和精力上都事关紧要。

当然，泰特和麦克斯韦早就从物理的理由出发为四元数与整体向量辩护，但那种新的向量分析进路——它用的是实数基向量 i, j, k，而不是四元数的虚数 i, j, k——对物理学家来说却显得更自然。于是到了二十世纪的头十年，情况已经很清楚：向量分析派确实是赢了——至少暂时是赢了。四元数要等到计算机时代才能卷土重来——而今天，新的研究论文定期涌现，把四元数推广并应用到航空航天导航、生物特征识别、机器人学、分子动力学、控制系统、彩色图像处理，以及更多领域。

超越向量¶

把向量方法带进主流的是物理学、尤其是麦克斯韦的理论——而在 1890 年代领头为向量向四元数发起冲锋的，则是物理学家吉布斯和电工出身的物理学家亥维赛。但正如我们会在下一章看到的，识别出——在四元数与整体向量两者之中——那些关键性质的却是数学家：它们先是导向了四维向量分析，然后导向了 n 维向量，并最终导向了张量分析。不过在此之前，我们先来看看凯莱和泰特，以及他们作为数学家对向量之战的看法。

Bruce Hunt 在其 The Maxwellians（Ithaca, NY: Cornell University Press, 1991）中首创了“Maxwellians”（麦克斯韦学派）一词。洛奇抢先一步：James Rautio, “Twentythree Years: Acceptance of Maxwell’s Theory,” Applied Computational Electromagnetics Society Journal 25, no. 12（December 2010）, 998–1006。 ↩
关于亥维赛：本段及以下各段，我参考了 Bruce Hunt, “Oliver Heaviside: A First-Rate Oddity,” Physics Today 65, no. 11 (2012): 48–54, DOI: 10.1063/PT.3.1788；Jed Buchwald, “Oliver Heaviside, Maxwell’s Apostle and Maxwellian Apostate,” Centaurus 28 (1985): 288–330；I. Yavetz, From Obscurity to Enigma: The Work of Oliver Heaviside, 1872–1889（Basel: Springer, 2011）；以及亥维赛本人的论文，下文我一般随引随注。 ↩
麦克斯韦提及亥维赛 被补进他为第 1 卷所列的勘误表（p. 2），涉及第 404 页。亥维赛论麦克斯韦的《Treatise》：Rautio, “Twentythree Years.” ↩
天赐的麦克斯韦：Oliver Heaviside, Electromagnetic Theory（London, 1893; New York: Chelsea Publishing, 1971）, 1:14。 ↩
崇拜四元数：Heaviside, Electromagnetic Theory, 1:136。 ↩
Heaviside, Electromagnetic Theory, 1:137, 139。 ↩
亥维赛从向量中消去虚数：Electromagnetic Theory, 1:137, 142, 149。他的诙谐：Electromagnetic Theory, 1:135。 ↩
亥维赛在英国科学促进会（BAAS）上缺席：Engineering 46 (1888): 352；转引自 Hunt, “Oliver Heaviside,” 52–53。 ↩
锅嫌壶黑：Heaviside, Electromagnetic Theory, 1:203；谋杀势：致 FitzGerald 的信，转引自 Rautio, “Twenty-three Years,” 1004。 ↩
亥维赛的形式还不完全是“现代”形式：在多数本科教材里，麦克斯韦方程组是用 E 和 B 写出的，但在亥维赛那里被单独挑出来的却是 E 和 H。麦克斯韦区分了磁感应（即磁场）B——它是一个通量——与磁力 H。当磁场完全由磁力感生时，就有 B = μH，其中 μ 是磁导率系数。亥维赛用的正是这个定义，所以看他的方程时，从 H 换成 B 是很直接的。他还采用了麦克斯韦关于电位移 D 的定义，即用“力” E 表示的一个通量：D = c**E/4π。今天有些作者仍用 H，不过用 B 能让亥维赛的方程更加对称。也有些作者追随麦克斯韦和亥维赛，在散度方程里用 D 而不是 E，但正如我说过的，它与 E 在数值上成正比。 ↩
势是非物理的（对定域能量而言）：Buchwald, “Oliver Heaviside,” 293 中有详细说明。麦克斯韦的波动方程：用势表述见 Treatise 2, 434（art. 784）；用磁场表述见 “A Note on the Electromagnetic Theory of Light,” Philosophical Transactions of the Royal Society 158 (1868): 643–57, esp. 655。在 1868 年的这篇论文里，麦克斯韦的四个场方程还不完全是现代的四个方程，但他从中推导出了磁场的波动方程。这正是亥维赛“谋杀”势时想做的事！可惜麦克斯韦没有把这条路走得更远——不过正如亥维赛指出的（Electromagnetic Theory, 1:69），麦克斯韦在《Treatise》里并没有充分彰显自己的理论：相反，他提供的是对当时电磁学研究中已有全部贡献的精彩综述。他当然说明了自己怎样以及为何从早先已知的工作发展出这套理论，以及它与别人的超距作用模型相比如何，但他确实不是个自我推销的人。 ↩
这四个方程在不同教材中样子略有不同，取决于电学常数和磁学常数的单位怎么选。特别是，除了电学常数和磁学常数，光速 c 也常被取为 1（我在这里就是这么做的）；而按亥维赛的做法，通过调整常数的单位，因子 4π 常常被有效地取为 1。（此外，有些教材用亥维赛的“div”和“curl”，而不用吉布斯的点和叉。） ↩
亥维赛深深着迷于四个关键麦克斯韦方程中电场与磁场之间的对称性，以至于他给方程 ∇ ∙ B = 0 添上了一个虚构的磁“荷”（从而假定磁单极子确实存在——正如近半个世纪后狄拉克所做的那样），又在 ∇ × E 方程里添上了一个磁“流”。但这些添加至今没有任何已知的物理依据（人工制造的短寿命量子单极子除外），所以它们一般不被收入现代的电磁方程；这意味着——撇开向量形式体系不论——现代方程确实是麦克斯韦的方程，正如我的叙述所表明的。 ↩
从麦克斯韦的整体向量方程求出 ∇ × E，见其 Treatise on Electricity and Magnetism, vol. 2（3rd ed., 1891; reprint, Dover, 1954）：例如，在 2:232（art. 590），麦克斯韦（以文字）给出定义 A = ∫E dt，或等价地（他 1865 年论文的第 29 式）E = −d**A/dt。对此式两边取旋度，并记住麦克斯韦定义了 B = ∇ × A，你就有（利用可以交换求导次序这一点） \(\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{d}{dt}\left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)=-\frac{d\boldsymbol{B}}{dt}.\) 另一种做法是从我叙述中给出的麦克斯韦方程（Treatise 2:258 [art. 619]）出发， \(\boldsymbol{E}=v\times\boldsymbol{B}-\frac{d\boldsymbol{A}}{dt}-\nabla\phi,\) 然后对两边取旋度。利用恒等式 curl grad = 0，最后一项就消掉了。如果没有运动的电荷，因而电场只由随时间变化的磁场感生（参见 Treatise 2:240–41 [art. 599], 2:433 [art. 783]），那么 v = 0。于是同样有 \(\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{d}{dt}\left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)=-\frac{d\boldsymbol{B}}{dt}\) ↩
麦克斯韦的五个向量（四元数）方程 见其 Treatise 2:258–59。（这几页上还有七个定义方程——正如亥维赛所用的那样。）亥维赛特意说过，他的方程形式仍应称为麦克斯韦方程组：Electromagnetic Theory, vol. 1, 序言（第五页）及第 69 页。赫兹也同意：Rautio, “Twenty-three Years,” 1005。 ↩
Heaviside, Electromagnetic Theory, 1:297。 ↩
吉布斯走向向量之路：他最初受麦克斯韦启发，随后自己另辟蹊径——与格拉斯曼无关，数年后他才发现格拉斯曼。这一点我们是从他写给 Victor Schlegel 的信中得知的，该信很久之后才由吉布斯的学生 Lynde Phelps Wheeler 在其著作 Josiah Willard Gibbs: The History of a Great Mind（New Haven, CT: Yale University Press, 1952）中发表。 ↩
吉布斯回应泰特的“怪物”：“On the Role of Quaternions in the Algebra of Vectors,” Nature 43（April 2, 1891）: 511–13。亥维赛（含“雌雄同体的怪物”一语及引文）：Electromagnetic Theory, 1:137–38, 301。 ↩
Peter Guthrie Tait, “The Role of Quaternions in the Algebra of Vectors,” Nature 43（April 30, 1891）: 608。关于我深为倚重的向量之战的详细分析，见 Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis（Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press, 1967）, chap. 6。 ↩
汤姆森的“四元数之战”：Cargill Gilston Knott, The Life and Scientific Work of P. G. Tait（London: Cambridge University Press, 1911）, 185。 ↩
Knott, Life of Tait, 185；Alexander Macfarlane, “Principles of the Algebra of Vectors,” Proceedings of the American Association for the Advancement of Science 40（1891, published 1892）: 65–117；Alexander McAulay, “Quaternions as a Practical Instrument of Physical Research,” Philosophical Magazine, 5th ser., 33（June 1892）: 477–95；Crowe, History of Vectors, 189–97。 ↩
Martin Rees 在 If Science Is to Save Us（Cambridge: Polity Press, 2022）中给出了这些问题的应对之道。 ↩
McAulay 转引自 Crowe, History of Vectors, 195。Ida McAulay：Bruce Scott, “McAulay, Alexander,” Australian Dictionary of Biography, adb.anu.edu.au。 ↩
泰特评 McAulay：Nature 49（December 28, 1893）: 193–94。 ↩
Heaviside, “Vectors versus Quaternions,” Nature（April 6, 1893），转引自 Crowe, History of Vectors, 200。水电：Scott, “McAulay, Alexander”；Carol Raabus and Leon Compton, “The Engineering Feats of Tasmania’s Hydroelectric System,” ABC Radio, July 29, 2013。 ↩
Gibbs, “Quaternions and the Algebra of Vectors,” Nature 47（March 16, 1893）: 463–64。 ↩

第 8 章 向量分析终成正果——以及一场四元数之“战”¶