第 2 章　微积分的登场¶

在布鲁姆桥上那次“通电”般的顿悟之前十年，哈密顿就曾用微分学做出他第一个重大发现：从理论上预言了一种新的光学现象的存在——某些晶体中一类特殊的折射，此前从未有人观测到过。

光学——研究光如何行为的学问——对物理学家和数学家来说都是个令人兴奋的话题，尽管没有人知道光究竟是什么。然而越来越多的物理学家确信，它并不是牛顿所相信的那种粒子，而是某种波。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）会把这个想法推向它的终极结论——并在此过程中凸显出向量微积分的重要性——但潮流的转向始于 1801 年，始于一项非凡的实验，它如今已是物理学史上的一个经典：托马斯·杨（Thomas Young）的“双缝”实验。

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这个想法是，观察两束光彼此相遇时会发生什么，看看由此产生的相互作用图样究竟是波的图样还是粒子的图样。你只要往池塘里丢两颗石子，就能看到波所产生的图样。石子击中水面时的冲击会产生涟漪，以各自的石子为中心呈同心圆扩散开来——你可以看到这样一些地方：来自一颗石子的涟漪在那里跃过了另一颗石子周围的涟漪。而在那些地方，水位会升高，于是两列涟漪叠加成一道更大的波。如果你能用光来做同样的实验——而且如果光确实是以波的形式传播的——你就会把这种效应看作亮度的增加，因为两列光波相互加强了。比较难看到的是，水面上的某些地方，涟漪会彼此抵消——一列波的波峰正好遇上了另一列的波谷——于是水面是平的。这种效应在光学上的对应物就是一块暗斑——那里没有光，因为两列波相互抵消了。可是，光到底是不是一种波呢？这正是杨要着手探究的问题。

他让光穿过两个极小的针孔，造出两束光，再让这两束光照到一块屏幕上，从而把由此产生的“干涉图样（interference pattern）”显现出来。如果光是由粒子构成的，每一束光就只会径直向前，所以你预期看到的只是与两个针孔对齐的两块亮斑——好比投进一个有两个投递口的邮筒的两堆信件，或者射向一块屏幕的两股乒乓球。然而，如果光以波的形式传播，它就会在针孔周围弯折（或者说“衍射（diffract）”），产生像池塘上涟漪那样的圆形波——而那些纵横交错的涟漪会在屏幕上产生明暗斑块相间的干涉图样。果不其然，杨看到的正是这个。这是一次美妙的实验。然而一个世纪之后，爱因斯坦会引入光量子的想法，也就是后来所称的光子（photon）。光子并不是牛顿意义上的物质粒子，但在与原子的相互作用中，它们的行为方式可以像粒子一样。更奇妙的是，量子物理学家们改造了杨的实验，用以表明光的光子和电子之类的亚原子物质粒子，都会呈现出波的干涉图样。换句话说，光和物质都可以表现出类波或类粒子的行为，视情形而定。不过这是后话，所以还是回到杨的光的波动说，以及哈密顿用它做了些什么。

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杨是玛丽·萨默维尔的朋友，她回忆说，起初英国没有几个人把他关于光波的推论当真，因为谁也不想贬低伟大的牛顿。（事实上，牛顿当时有充分的理由拒绝一种波动说。）但阻碍杨的实验被接受的，还不只是牛顿的声望：还有一个事实是，没有人知道光波究竟可能由什么构成，也不知道它在从太阳到地球的旅程中究竟如何穿越虚空。尽管如此，这并没有阻止哈密顿这样的十九世纪初数学家从理论上探究光波——自牛顿时代的克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens）以来，研究者们一直就在做这件事。¹

在他关于光波穿过各种形状的晶体时应当如何行为的新分析中，哈密顿发现：当这些波以某个特定方向射入某一类（称为“双轴”的）晶体时，它们应当被折射成一束锥形的光线，而不是你在普通棱镜中看到的那种熟悉的带状。今天，激光束的“锥形折射（conical refraction）”正在找到各种各样的实际用途，包括用作操控化学分子或血细胞的光镊，以及用于自由空间光通信。²

然而回到 1832 年初，从来没有人见过锥形折射这样的现象（激光就更不用说了）。于是哈密顿请他那位做实验的朋友汉弗莱·劳埃德（Humphrey Lloyd）看看能不能找到这种新型的折射——而他真的找到了，哈密顿顿时轰动一时，因为这也许是第一次有人用数学预言了某种物理现象的存在本身，而不是去解释已知的现象。此后还会有许多这样的突破：十年之后就有海王星存在的预言，接着是一大批预言，从无线电波和辐射压，到光子和 E = mc²，再到希格斯玻色子、引力波，以及许许多多别的。

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哈密顿发表他第一篇关于光学的数学论文时还是个少年，而当他对锥形折射的数学预言得到证实时，他也才二十七岁。而在他做出这项非凡预言所需要的工具之中，就有微积分。

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微积分有两个分支：微分学（differential calculus）与积分学（integral calculus）。微分学本质上研究的是变化率——比如速率，即距离对时间的变化率。在他关于折射的工作中，哈密顿用导数来表明某些量（与光程和波速有关的量）在晶体表面处如何变化，但各种各样平滑变化的现象都可以用微分学来建模：加热与冷却，生物的以及原子的生长与衰变，各种各样的波，生态系统，温度梯度与地形梯度，数学函数的梯度（它也可以用来求解最优化问题），金融趋势，如此等等。

至于积分学，它当初是作为一种计算工具发展起来的，用来解决的恰恰就是古代数学家曾经绞尽脑汁的那类问题：他们想要计算田地与房屋平面的面积，或者蓄水池与沟渠的容积之类。在今天这个高科技社会里，这类应用就更多了——比如计算机翼这个升力面的面积；比如确定制造产品所需的材料面积，从计算机、汽车车身到桥梁和摩天大楼；比如通过密度和体积求出建筑所用材料的重量，以确保结构有足够的承重能力；比如在手术中监测病人的血容量……我可以一直列下去，但你看得出它的范围有多广。

你最初学到积分学时，大概是通过逼近一条曲线 y = f(x) 下方的面积，其中 f(x) 表示描述你关心的那条曲线的、关于 x 的函数；比如，对于以原点为中心、以原点为底的一条抛物线，你就有 f(x) = x²。你会用许多细长的矩形来逼近这个面积，每个矩形的面积是 ydx，如图 2.1 所示；你加的矩形越多，每一个就越细，逼近也就越好。这是一种直观的几何方法，但有了积分学算法的代数公式，你就可以把无穷多个这样的无穷小矩形“加”起来，得到精确的面积。求体积时你做的也差不多，把无穷多个体积无穷小的圆柱形薄片或薄壳加起来。

“把无穷多个……加起来”这句话今天说起来轻巧，但能够操纵无穷，实在是一件相当了不起的事。古代数学家对这个概念是彻底回避的——就像他们对待我们前面遇到过的那些虚数一样。

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比如今天，如果你想严格地推导出圆的面积（πr²）或周长（2πr）公式，你会对它那个代数的方程做积分，我们会在图 2.3 中看到。相比之下，三千五百年前，埃及书吏阿赫摩斯（Ahmes）在一卷奇迹般留存至今的纸草卷上，记录下了一个简单的几何作法：用一个八边形去逼近一个圆。由此得到的面积计算，给出了我们今天称为 π 的那个常数的一个好得出奇的近似值，你可以在图 2.2 中看到。为了求出这个逼近多边形的周长，阿赫摩斯只需把八边形的各条边加起来——用毕达哥拉斯定理求出那些角上的长度。³

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在阿赫摩斯记录下他那个时代的数学一千年之后，讲希腊语的数学家们发展出了“穷竭法（method of exhaustion）”（这是后人的说法），用边数越来越多的多边形逐次逼近圆，直到达到所需的精度。这是一次为求严格而做的出色尝试——许多古代数学家既关心计算，也关心证明这个想法——叙拉古的阿基米德（Archimedes）就很好地运用了它。为了求圆的周长，他从一个内接的正六边形出发，然后把边数加倍，比较前后两个相继多边形的周长。他不断地加倍、比较，就这样，他找到了一套算法，用以累加和比较边数多达九十六的多边形的各段！这当然是一项令人赞叹的计算壮举；而如果你想象一下试着把它画出来，你就会看到，九十六边形已经是圆的一个相当精细的逼近了——精细到阿基米德得以把（我们所说的）π 的值估计在 $3\frac{10}{71}$ 与 $3\frac{10}{70}$ 之间。上限正是我们许多人在学校里学过的那个值：$3\frac{1}{7}$，即 22/7（它是 3.14286，而现代值是 3.14159，两者都四舍五入到小数点后五位）。

尽管如此，把九十六条边加起来，与把无穷多条边加起来、从而把多边形变成真正的圆，并不是一回事。相比之下，有了微积分，曲线的长度是通过对曲线上一小段长度的代数公式作积分来求的，这一小段记作 ds。它是阿基米德那九十六条边中某一条的无穷小版本，而它的长度是用类比于毕达哥拉斯定理的方式求出的。就图 2.3b 中的例子而言，你可以看出，它甚至与阿赫摩斯的做法有着某种祖传的相似之处。

把八边形的各条边加起来（用毕达哥拉斯定理处理那些角），再与现代的、半径为 $\frac{9}{2}$ 的圆的周长公式作比较，你得到埃及人对 π 的近似是 3.2——与他们的 3.16 仍然大致相仿。

图 2.3A 的计算

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选取极坐标，令 x = r cos θ，于是对于固定的半径 r，有 dx = −r sin θ dθ；再令 y = r sin θ。（下一章的图 3.4 说明了 sin θ 与 cos θ 是如何定义的，尽管那里的半径是 1。）然后，利用二倍角公式

cos 2θ = (cos θ)² − (sin θ)² = 1 − 2(sin θ)²,

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并且在第二个积分中调换积分限的次序，以吸收 dx 中的负号，半径为 r 的圆的面积就是：

\[\begin{matrix} A=2\int _{-r}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\pi}\left(r\sin \theta\right)r\sin\theta d\theta=2r^{2}\int _{0}^{\pi}\left(\sin\theta\right)^{2}d\theta= \\ r^{2}\int _{0}^{\pi}\left(1-\cos 2\theta\right)d\theta=r^{2}\left[\theta-\left(\sin 2\theta\right)/2\right]_{0}^{\pi}=\pi r^{2} \end{matrix}\]

你也可以用二重积分来做这件事，而且更容易一些（我们在第 6 章会简短地遇到它）。

图 2.3B 的计算

同样令 x = r cosθ，y = r sin θ，于是对于固定的半径 r，有 dx = r sin θ dθ，dy = r cos θ dθ；那么 ds——圆周上的无穷小段——的长度就是：

\[ds=\sqrt{\left(dx\right)^{2}+\left(dy\right)^{2}}=\sqrt{r^{2}\left(\cos\theta d\theta\right)^{2}+r^{2}\left(\sin\theta d\theta\right)^{2}}=rd\theta.\]

把它沿整个圆从 θ = 0 到 θ = 2π 积分，我们就求得半径为 r 的圆的周长是 2πr。

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如果阿基米德没有在公元前 212 年罗马人围攻叙拉古时被杀，他也许离发明微积分还要更近一些。他当时大约七十五岁，而那个杀死他的士兵显然既不敬老，也不敬重数学——据说阿基米德当时全神贯注于他的计算，根本没听见士兵的命令。两千年后，在另一场暴力动荡的黑暗日子里，也就是法国大革命期间，一个了不起的小女孩读到了这个故事。阿基米德的那种忘我令她如此激动，以至于她决定去学这门显然激动人心的学问——数学——但她只能自学，因为当时大多数女孩都被剥夺了受正当教育的权利。而且她必须秘密地进行，因为她父母和几乎所有其他人一样相信：由于女性通常比男性身材矮小、体力较弱，用功读书会损害她们的健康，使她们不能生育，甚至把她们逼疯。她就是索菲·热尔曼（Sophie Germain），她成了二十世纪之前最优秀的女性数学家之一。她在自己最重要的工作中使用了微分学，开创了振动曲面的数学理论。

即便阿基米德死得如此悲惨，如果他关于这个课题最重要的那部手稿没有被一位中世纪抄写者部分地洗去、并在上面另行抄写别的内容，微积分也许还会来得更早一些。那份手稿直到 1906 年才被重新发现，它表明阿基米德已经得到了一些真正非凡的结果。仅仅凭借具体的几何与力学类比，他就设法求出了球体与曲面容器的体积，所用的方法预示了今天本科积分学课上所教的“旋转体（solid of revolution）”体积。但这部天才之作、这份信息的宝藏，失传了如此之久，以至于近代早期的数学家不得不自己去重新发现其中的想法。

牛顿、莱布尼茨与芝诺：追寻无穷小¶

于是我们就来到了近代早期天才的化身：艾萨克·牛顿（Isaac Newton）。按照《牛津英语词典》（Oxford English Dictionary）的说法，“天才（genius）”的现代定义是“一种卓越的智识或创造力量，或其他天然的能力或倾向”。这个词在日常言谈中往往被滥用，但它无疑适用于牛顿，也适用于我们将在这个故事里遇到的其他那些极具创造力的数学家与数学物理学家——他们的想法如此富有创新性，以至于在带给我们向量微积分与张量微积分的数学革命中扮演了奠基性的角色。当然，即便是这些出类拔萃的思想者，也需要来自同行的启发与帮助，因为“孤胆天才”这个刻板印象在现实中很少成立。然而有两百年之久，牛顿被普遍神化为独一无二的英才——这种看法塑造并限制了“做一个数学家和理论物理学家意味着什么”这一观念，直到十九世纪晚期。毕竟，我们不可能人人都当天才，而历史上许多优秀的数学思想者也都做出过重要贡献。我们将在这个故事中遇见其中一些人，包括那些帮助受到追捧的天才们取得突破的同行。

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牛顿天才的一个标志是，他对如此众多的数学与物理学分支都做出过杰出的贡献：用现代的话说，他是一位实验物理学家，尤其是在光这个课题上；他是一位理论物理学家，尤其是凭他的运动理论与引力理论；他是一位应用数学家——在他这个例子里，以及对这个故事中的其他几位、还有今天的许多研究者来说都一样，当数学被应用于自然的物理过程时，这个门类就与理论物理学相交——而且他还是一位纯粹数学家，即发明新的数学方法、概念与证明，并着眼于严格与优美的人。这些“纯粹的”技巧，常常为应用数学家与理论物理学家后来的实际应用打下基础——而微积分就是一个经典的例子。

牛顿是第一个为两类微积分——微分与积分——找到通用的、用符号表示的算法的人，并且清楚地表明了二者之间的联系。也就是说，他证明了积分是微分的逆运算。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）也产生了同样的想法，因为微积分“就悬在空中”，这要归功于哈里奥特和伽利略、皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat，因费马大定理而闻名）、艾萨克·巴罗（Isaac Barrow，牛顿在剑桥的老师）以及约翰·沃利斯这些先行者。正是通过他们的著作——以及他们所继承的那些著作，从阿基米德和欧几里得这样的古人，到阿布·阿里·伊本·海赛姆（Abu Ali Ibn al-Haytham）和尼科尔·奥雷姆这样的中世纪学者——莱布尼茨和牛顿才得以各自独立地使微积分首次定型。

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这两位奠基者之间的差异再大不过了。牛顿对自己的发现相当保密，因为他受不了被批评这个念头。他在很多事情上都相当古怪，不过我确实对他有几分同情。他在微积分、光学以及引力理论上的最初突破，都是在他才二十出头的时候做出的——那时他躲在母亲的农庄里，在 1665–67 年的瘟疫年间自我隔离。这样的成就，很难不让人肃然起敬。而那个内心受了惊吓的孩子，也很难不让人心生怜悯。在他出生之前，他的父亲就已死于奥利弗·克伦威尔（Oliver Cromwell）的议会派与查理一世（King Charles I）的保王派之间的内战。对他的母亲汉娜（Hannah）来说，那一定是一段可怕的时光：丈夫死了，战事又如此惨烈——它最近时已经逼近到邻近的村庄，离她的农庄只有一步之遥。于是她嫁给了一个家境殷实的教区牧师巴纳巴斯·史密斯（Barnabas Smith），搬到了另一个镇上；不幸的是——而且显然是在史密斯的坚持下——她把年幼的艾萨克留在了娘家，交给她自己的母亲。众所周知，他曾希望自己能把史密斯的房子连同母亲和史密斯一起烧掉，但看来他真正做出来的、体现在外的破坏行为，不过是偶尔搞几笔艺术涂鸦，或者偶尔在夜里搞点放爆炸风筝之类的恶作剧，把迷信的村民吓得魂不附体。直到史密斯死后，汉娜才回到艾萨克身边，那时他大约十岁，身后还跟着三个不受欢迎的同母异父的弟妹。⁴

莱布尼茨是个比牛顿阳光得多的人。他是一位真正的文艺复兴式全才，用研究莱布尼茨的学者菲利普·维纳（Philip Wiener）的话说，他是“一位律师、科学家、发明家、外交官、诗人、语文学家、逻辑学家，以及一位虔诚地捍卫理性之培育、视之为人道进步之光辉希望的哲学家”。⁵

莱布尼茨六岁时，他那位哲学教授的父亲去世了。他母亲的父亲也是一位教授——在他那里是法学教授，而年轻的戈特弗里德后来正是在这个领域里拿到的不只一个学位，还有一个博士学位。相比之下，牛顿的父亲是个不识字的农民，而他的母亲并不理解他的智识热情与天赋：他十七岁那年，她把他从学校里领回了家，直到他把农庄经营得一塌糊涂，她才终于接受了校长和她那位受过剑桥教育的兄弟的劝告，允许艾萨克准备升学。但他必须自己挣钱读完剑桥，给一个富家学生当“减费生（sizar）”，也就是仆役。对他、也对我们来说幸运的是，他很快就在那里当了教授，得以自由地做出那些惊人的发现。

莱布尼茨做学生时没有这类烦恼，毕业之后他过着相当引人瞩目的生活。他为王侯赞助人执行外交使命、穿越欧洲，一路上与科学家和哲学家交谈，由此建立起一个由大约六百位通信者组成的庞大网络——他是一位多产的写信人，对普遍和平、哲学与科学怀有宏大的想法。考虑到他兴趣如此广泛、职责又如此繁重，他在数学上展现出了非凡的才华。不出所料，学院派的牛顿是更出色的数学家和实验物理学家，但兴趣驳杂的莱布尼茨仍然做出了重要的发现——而且他是更出色的符号制造者。

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在上一章里，我强调了代数从词语走向符号的缓慢历程，但在现代微积分的早期——也就是在韦达、哈里奥特和笛卡尔引入真正的代数符号体系半个世纪之后——情形反了过来：微积分的符号所代表的那些想法，当时没有人能用词语充分地解释清楚。这正是符号化思维的特殊力量：它能把你带到一些起初超出寻常理解之外的新地方。

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比如说，尽管我前面谈论“无穷”和“无穷小”的量时说得轻松，它们却是极难给出有意义定义的概念。现代词典对“无穷小（infinitesimal）”的定义是“极小”，但这对数学家帮助不大。他们需要某种更精确的东西，而在这个例子里，牛顿—莱布尼茨的微积分诞生之后又过了两百年，才找到这样一个定义（经由极限、连续性与函数的理论）。当你想到下面这件事，就能看出困难所在：要求一个运动物体在任意给定时刻的速率，你必须把它在该时刻的位置与它在稍后一瞬间的位置作比较，然后把这个差除以那一瞬间的时间。可是你说的“瞬间”是什么意思呢？位置的增量变化又该怎么定义呢？显然，两者都是极小的量，可是小到什么程度？

牛顿把这些无穷小的变化称作“瞬（moments）”，并用符号 ο 表示它们（用希腊字母奥密克戎表示的“不完全是零”）。莱布尼茨则称它们为“差”或“微分（differentials）”，记作 dt、dx 等等。对于距离 x 对时间的变化率，牛顿用一个点来表示，比如 ẋ。莱布尼茨则不然，他把他的“比”——例如 x 对 t 的变化率，以及 y 对 $x-\text{as}\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dx}$ 的变化率，如此等等——写成了那样。（原文此处排印有误，本意是说：y 对 x 的变化率记作 dy/dx。——译者注）实际上，莱布尼茨主要使用的记号是 dy:dx，其中冒号象征着一个比；是他的追随者——尤其是约翰·伯努利（Johann Bernoulli，他的名字通常按法国的方式写作 Jean，偶尔也英化为 John）——把这种比的写法 $\frac{dy}{dx}$ 推广开来的。你可以看出谁的符号最终胜出了——尽管点的记号至今仍用于表示对时间求导，这在研究运动、波、场以及各种随时间变化的量时都很重要。

牛顿和莱布尼茨都意识到“无穷小”这个词背后的概念难题。莱布尼茨曾试图通过改进古代的穷竭法来加以解释，而牛顿也把我们今天所称的极限的早期定义做得相当不错。（你可以在尾注里看到他们的尝试，以及作为对照的现代定义，⁶ 而我把极限这个想法勾勒在下面的图 2.4 中。）然而在实际计算中，莱布尼茨和牛顿常常做着任何精明的学生都会做的事：把这些微小的增量和瞬间视作小得无需在意而忽略掉——有点像你买一件 $124.99 的东西时，并不去在意从 $125.00 里找出来的那点零钱。这在实践中很管用，只不过，像一分钱一样，一个时间“瞬间”实际上并不是零。如果你把它当作零来处理，那么当你想除以一个“瞬间”时，就会撞上理论上的麻烦：比如要求瞬时速率，你就要做那件不可能的事——除以零。更糟的是，距离的微小变化也近似于零，于是你就得试着计算 0/0。

光是把无穷小的量加起来，就已经够难的了——阿基米德就体会到了，更不用说把它们相除来求导数了——而早在公元前 450 年，传说中的芝诺（Zeno）就已经在他那些著名的悖论中凸显了这一困难。比如他说，要从 A 跑到 B，你首先得跑到 B 的一半；但在你到达一半之前，你得先跑完四分之一的路程，如此等等，无穷无尽。这意味着你永远也真的起不了步。当然，谁都知道你是能从 A 跑到 B 的。至少从现代的视角看，芝诺在这里似乎要表明的是：给运动这个想法下定义有多么困难——它涉及距离的无穷小增量，以及时间的微小“瞬间”。当然，芝诺本人的用意也许是神秘主义的而非数学的，所以他的悖论——就像与他同时代的佛教徒的教诲一样——有可能是要暗示时间与空间皆为幻象。

远航公海与破译战时密码：代数化微积分的兴起¶

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数学家花了将近两千五百年才把极限理论理清楚，而无论是要给芝诺的悖论、还是要给微积分一个令人满意的解答，都需要这套理论。最初的几步之一涉及“收敛的无穷级数（converging infinite series）”这个想法：事实表明，确实有可能把无穷多个越来越小的项加起来，并且从数学上证明结果是有限的。数学爱好者大概认得出来，芝诺那个从 A 到 B 的问题就是几何级数（geometric series） $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots,$，它等于 1——所以你确实可以走完 A 与 B 之间的整段距离！不过，并非所有无穷级数都“收敛”（或者说加成一个有限数），所以为了区分，极限理论是必不可少的。积分学同样需要把无穷多个量加起来，所以你可以看出，它的历史与早期关于无穷级数的工作是紧密相连的。

尽管极限与收敛的想法直到现代才被严格证明，古代和中世纪的数学家已经用巧妙的几何构造求出了有限个级数的和。他们的级数和算法都是用词语写成的——哈里奥特似乎是第一个把级数改写成我们今天所用的数字与字母符号的人，他做这件事大约在 1600 年前后。特别值得一提的是，在一场漫长而技艺精湛的计算中，他用了一个无穷几何级数和一个直观的极限论证，求出了一艘沿固定罗盘方位航行的船在弯曲的地球表面上所描绘出的那条螺旋线的长度的代数表达式。（他的赞助人沃尔特·雷利爵士希望用最好的科学专长来帮助航海变得更安全、更高效，因为他正筹划着从英国出发、横渡一片尚无海图的海洋前往美洲的航行。）哈里奥特的做法是先把这条螺旋线分割成许多小段，就像阿基米德处理圆那样，只不过他假定有无穷多段，而且每一段都越来越小。他花了几十页纸和好几个月才完成这项工作——这是现存最早的、对一条曲线长度的精确推导，此前只有那些对圆周长的早期估算。今天，人们用积分学来求这类长度，正如图 2.3b 所显示的。不过，哈里奥特要是知道他那种代数上的符号进路直接影响了英国的微积分先驱约翰·沃利斯，而沃利斯又影响了年轻的牛顿，一定会很得意的。⁷

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图 2.3b 以及相关的知识框还表明，要用微积分求一条曲线的长度，你需要一个关于这条曲线的公式——而这正是“解析几何（analytic geometry）”的领地。哈里奥特也已在这方面开了个头，但真正让解析几何（或代数几何）立住脚跟的是笛卡尔，而我们也把那种直角 x, y, z 坐标系称为“笛卡尔坐标系”，以示对他的敬意。即便如此，笛卡尔也只是隐约瞥见了“能用关于这些坐标写出的代数方程来表示几何曲线”这一做法的非凡威力（比如上面图 2.3 中那个圆的 x² + y² = r²）。他的主要目的本是要表明，代数与几何联手会让解题变得更容易：代数符号把心灵从必须去可视化复杂的几何构造（比如卡尔达诺那个补全了的立方体）的重负中解放出来，而几何则赋予代数运算以具体的意义。二十年后，沃利斯在这件事上就不那么不偏不倚了，他明确地偏爱代数甚于几何。

沃利斯还偏爱英国人甚于法国人，因为他被法国人——以费马和其他几个人为代表——对他自己早期工作的反应给惹恼了。他还发誓说（而且在这件事上他并非完全孤立无援），笛卡尔是从哈里奥特那本《Praxis》里抄袭的。⁸ 不管怎样，沃利斯在他 1655 年的著作《Arithmetica Infinitorum》（《无穷算术》）中，朝着一种代数化的微积分迈出了重要的一步。他甚至为无穷创造了一个符号——就是我们今天用的那个，∞。罗马人偶尔用过这个符号表示 1000，它也在各种各样的语境中时不时地冒出来，其中包括埃及那个蛇吞自己尾巴、象征生死无尽循环的图像的某个版本。没有人知道沃利斯为什么用它来表示无穷；也许他是对它古老的神秘含义印象深刻，不过作为一个加尔文派信徒，他更可能只是因为它代表一条永不到头的曲线才选中了它。

沃利斯的经历让我们得以一窥牛顿登场前夕的那个数学与政治环境。他是肯特郡一个乡村牧师的儿子，幸运的是，他的家人认可并支持了他的学术倾向。他最终进了剑桥，尽管在那里没学到多少数学。他之所以意识到世上还有这门学问，是因为圣诞节放假回家时，他注意到弟弟正在学算术，为将来做生意作准备。觉得好奇，他就要求上一课。正如他后来所说，

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数学在当时并不被看作一种学院的学问，而是商人、贸易商、海员、木匠、丈量土地者之类人的营生。……当时我们学院［剑桥的以马内利学院］里有两百多人，我不知道有哪两个人比我有更多的数学，而我那点数学也是极少极少的；在被指派去当教授之前不久，我从未把它当作严肃的学问来钻研（至多不过当作一种愉快的消遣）。⁹

人们确实说，学一样东西最好的办法就是去教它！而沃利斯一定学得很好，因为他成了牛顿之前那一代里最出色的数学家之一。不过这可是一段相当漫长的旅程。首先，他拿到的是神学方向的文学硕士学位。随后他在剑桥王后学院（Queen's College, Cambridge）取得了一份研究员职位，但为期不长：在那个年头，研究员必须保持未婚，于是 1645 年，新婚的沃利斯成了一名牧师，而不是学者。然后，完全出乎意料地，他发现自己在破译密码上有天赋。当时内战正酣，一位教士同仁给他看了一封截获的密文，半开玩笑地问他能不能看懂。令他自己大为惊讶的是，沃利斯在几个小时内就破译了这封信。这是他人生的一个转折点，因为 1649 年国王被处死时，如果你已经向胜利者证明过自己的忠诚，那就相当有利了。沃利斯曾为议会派破译过若干密码，顺带展示了自己的数学才能——而当牛津的萨维尔几何学教授（Savilian Professor of Geometry）因为是保王派而被解职时，沃利斯被任命接替了他。（尽管沃利斯支持议会派，他却公开反对处死国王，还相当勇敢地签署了一份抗议文件。所以后来君主制复辟时，他仍然得宠。再说，他本来就喜欢数学甚于政治；而且正如他对保王派朋友们说的，他解开的那些信件，大多数对议会派本来也没多大用处。）¹⁰

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沃利斯在牛津获得任命仅仅六年之后，就出版了他那本代数化的《Arithmetica Infinitorum》。当时，大多数数学家仍然更偏爱用有形的几何想法，来发展处理无穷和与无穷小增量的一套方法——而托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes）在这个问题上叫得尤其响。他今天的名声建立在他的政治哲学之上——以及他那句阴郁的结论：没有国家的庇护，生活就是“污秽、野蛮而短暂的”。但他也在数学上涉猎过一番，而他表达这种亲几何的情绪的方式，是宣判沃利斯的《Arithmetica Infinitorum》是一本“下作的书”、是“一块符号的疥癣”。事实上，他痛斥“那一整群把他们的代数用到几何上去的人”。他显然不是个阳光的人。

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尽管有霍布斯和他那些几何学同道，十年之后，正是沃利斯这本书第一次把年轻的牛顿引上了通往微积分的道路。又过了二十年，牛顿写出了他那部壮丽的《Principia》，其完整的英文书名是《自然哲学的数学原理》（Mathematical Principles of Natural Philosophy）；和当时大多数欧洲学者一样，牛顿是用拉丁文写作的。我在这里该补充一句：“物理学家（physicist）”这个词是十九世纪的产物；在那之前，理论物理学被称作“自然哲学（natural philosophy）”。事后看来，二者的区别在于：自然哲学注重的是逻辑论证，而理论物理学提供的则是可以用实验来检验的解释与预言——这一视角的转变正是由牛顿开创的。例如，传统的自然哲学家会援引如下“合乎逻辑的”假说：是某种机械的东西，比如巨大的以太旋涡，带着行星在轨道上运行。除了它们声称要“解释”的那种行星运动之外，并没有任何实际证据表明这些旋涡存在。相比之下，牛顿基于可观察的事实得出了对行星运动的解释，并由此推导出一个可检验的公式，用以刻画任意两个物体——包括一颗行星与太阳——之间的引力吸引：它与两者质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。用符号代数形式写出来，这当然就是著名的平方反比定律 $F=\frac{GmM}{r^{2}}$，其中质量记作 m 和 M，距离是 r，而 G 是比例常数。（原文此处的行文作“与两者之间的距离成反比”，与紧随的“平方反比定律”及其公式不一致，显系原书漏字；译文按该定律与公式译作“与距离的平方成反比”。——译者注）牛顿也是在《Principia》中首次发表他那套通用的微积分算法的，他把它们用在了自己的运动科学之中。这些运动定律与引力定律一起，其普遍程度足以解释一切：从一片叶子的飘落，到潮汐的牵引；从抛向空中的球的轨迹，到行星的运行。这是一项惊人的成就。

爱因斯坦详细地解释过这项成就的重要性：“在牛顿之前，”他说，“并不存在任何自足的物理因果性系统，［用以说明］经验世界的那些更深层的特征。”他补充说，例如约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）那套基于观测的行星运动定律，包括行星轨道的椭圆形状，确立的是行星如何运动，而不是为何如此。这是因为“这些定律关涉的是运动整体，而不关涉这样一个问题：一个系统的运动状态如何引起那紧随它在时间上之后到来的状态；用我们今天的话说，它们是积分的定律，而不是微分的定律。”¹¹ 我们很快就会看到牛顿那条微分形式的第二运动定律；后面我们还会看到，正是这种对微分定律甚于积分定律的偏好，是麦克斯韦得以揭开光之秘密的关键。

枯燥的计算苦力与剽窃：《Principia》的遭遇¶

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这样的赞誉在当时可不是轻易得来的。《Principia》1687 年一出版就有了批评者——其中就包括莱布尼茨。像同时代大多数人一样，他被牛顿的数学天才炫得眼花缭乱，但作为一个首先是哲学家的人，他对一个理论应当做什么有着与牛顿（以及后来的爱因斯坦）不同的看法。牛顿已经解释说，行星运动的成因是引力，但莱布尼茨认为，一种引力理论也应当解释引力本身。特别是，他认为它应当提出一种具体的机制——比如那些以太旋涡之类的——来说明引力究竟如何在物理上造成牛顿用数学所描述的那种行星运动的逐瞬变化。由于自然哲学家们长久以来正是这样界定科学理论的标志的，许多其他批评者也赞同莱布尼茨。但牛顿开创了现代的观点：引力存在是显而易见的，而且他已经量化了它的效应——尤其是在行星运动上的效应——但他不想掺入关于它究竟是什么的、无法检验的猜测。他当然也乐于解释引力本身，但他知道，自己已经取得的成就，在观念与范围上都是前所未有的，而要更深入地理解引力的本性，那将是由后来的研究者去完成的事。（那正是爱因斯坦、以及他对张量那开创性的运用，将要进入我们故事的地方。）

比这些批评更让牛顿痛苦的，是罗伯特·胡克（Robert Hooke）提出的剽窃指控。胡克在科学家当中名声不佳，因为他总爱抬高自己——而且他似乎特别以公开批评牛顿为乐。不过近年来，历史学家更仔细地审视了他的工作，看来他确实因为某些关于用引力解释行星运动的重要原创思考而值得称许——包括“所有行星都有引力”这个想法，以及引力随距离“很可能”按平方反比而减弱，因为光的强度正是以这种方式减弱的。尽管牛顿此前已经就这个问题思考了多年，但正是胡克 1679 年写给他的那些信催化了他在这个课题上的思考——这一点他在《Principia》第一版中是承认了的。胡克提出了这样一个想法：轨道运动由两种不同的“运动”构成，一种沿轨道的切线方向，另一种指向运动中心。这是一个把运动看作由类向量的分量构成的直观想法，尽管它并不完全正确：牛顿后来会证明，力是指向中心的，而运动（速度）是沿切线的。

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胡克没有把引力推广到行星之外的物体上，也未能通过直接的实验或计算来证明平方反比定律。毋宁说，他基于对力学模型运动的细致观察，做出了一些巧妙的类比。¹² 而且与牛顿不同，他没有把行星运动推广为适用于一切运动类型的数学定律——因此他也没有像牛顿那样，推导出我们今天所说的动能与势能的守恒。（莱布尼茨也是能量守恒这一观念的开创者之一。）胡克也没有用他的引力想法去估算地球的扁球形形状，或者解释潮汐、二分点的岁差，以及牛顿所解释过的其他任何一个谜团。所以，当胡克指控他剽窃时，牛顿勃然大怒：虽说胡克的数学能力比人们长期以来以为的要强，但它根本不是牛顿的对手。难怪牛顿向埃德蒙·哈雷（Edmond Halley）大发雷霆说，如果胡克都能自称是引力理论的发明者，那么那些“发现、确定并做完全部事情的”数学家们，就只能“甘于充当枯燥的计算者和苦力了”。他说得有道理。有意思的是，在今天的版权法中，受保护的恰恰是表达的形式，而不是想法。而且，尽管最近数学教育界有一场重要的动向，强调计算在数学史与数学应用中的作用，许多现代数学家却与牛顿心声相通，在自己的工作中看到的是美与创造性，而不仅仅是计算和应用。¹³

这并不是说牛顿厌恶计算。他的研究有很大一部分就投入在计算上，因为方程并不总能找到精确的代数解，更不用说解决更复杂的问题了。所以你必须从数值上下手，把数字代进去，直到得到一个足够精确的答案——这多少让人想起古代的穷竭法。卡尔达诺就是这么得到他的解 x = 4 的，而牛顿则发展出了不止一套、而是好几套系统的数值方法。

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至于《Principia》，在其初版五十年之后，仍然有人认为牛顿的路子太数学了——认为一个方程不可能像力学模型那样提供因果性的解释。牛顿在法国早期的拥护者中，有埃米莉·迪沙特莱（Émilie du Châtelet）和她的伴侣、那位爱挑衅的剧作家伏尔泰（Voltaire）。在 1730 年代，他们合作写了一本面向大众的书，旨在把牛顿的引力理论与光的理论带给更广大的读者。（除了相信光是一种物质粒子之外，牛顿还做过许多细致的实验，其中包括表明普通的阳光是由彩虹的全部颜色所组成的那些实验。埃米莉·迪沙特莱对此加以发挥，提出不同的颜色与不同的热量相关联——这在当时是一个前沿的想法；她把一张床单染成彩虹的颜色，然后给每种颜色计时，看它们各自要多久才干，以此来检验这个想法：紫色最先干，然后依次是其他颜色，红色花的时间最长。这是一次美妙的 DIY 实验，它提示紫色是最冷的颜色而红色是最暖的，尽管要等到后来的科学家才能确认并解释它。¹⁴）埃米莉·迪沙特莱还写过一本书，比较莱布尼茨与牛顿的思想。但她最持久的遗产，是她把《Principia》从拉丁文译成了法文——这是第一个译成英语之外某种日常语言的译本。它译得如此之好，以至于至今仍是权威的法文版本。相比之下，最初的英译本早已被超越。（现代的版本出自 I. 伯纳德·科恩（I. Bernard Cohen）与安·惠特曼（Ann Whitman）之手，出版于 1999 年。他们发现埃米莉·迪沙特莱的译本特别有助于澄清一些使用了十七世纪术语、此后已被现代化的晦涩段落。）

埃米莉·迪沙特莱直到三十岁左右才走上数学之路——作为一个女孩，她被剥夺了正规教育（就像一个世纪之后的索菲·热尔曼和玛丽·萨默维尔一样），并在十八岁时被嫁给了一位门当户对的贵族，迪沙特莱侯爵（Marquis du Châtelet）。她那智识上的发现与她和伏尔泰的恋情交织在一起的故事，浪漫得令人叹服，但她作为一位数学家自身的成长，才真正鼓舞人心。她在香槟地区自己的城堡里安了家，还建起了一座一流的图书馆和科学实验室；她和伏尔泰吸引了四面八方的作家与学者。（其实那是她丈夫的城堡，但他是个正派人，已经接受了伏尔泰在他妻子心中的位置。毕竟，那是一桩包办婚姻而非两情相悦；而且他常常奉命外出打仗——贵族本当如此——也自有他的情人厮混。再说，翻修那座古堡所需的大部分费用还是伏尔泰出的。）来访者们陶醉于那些活泼的谈话、伏尔泰专为他们写的小戏，以及那片安静的、可供研究的空间。正是这样一位来访者启发了埃米莉·迪沙特莱去翻译《Principia》，因为她已经成为公认的最新数学物理学权威。

尽管如此，对一个基本上靠自学的女性来说，在一个女性毫无智识地位的时代，这仍是一项不可思议的事业。起初她不得不自学数学——尽管后来她聘请了法国最出色的两位数学家皮埃尔-路易·莫罗·莫佩尔蒂（Pierre-Louis Moreau Maupertuis）与亚历克西斯-克洛德·克莱罗（Alexis-Claude Clairaut）做她的家庭教师。伏尔泰也加入过一些课，但他很快就对她的数学优势甘拜下风，戏称她为“牛顿·迪沙特莱夫人（Madame Newton du Châtelet）”。

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除了翻译牛顿那五百多页之外，埃米莉·迪沙特莱还提供了一篇 180 页的附录。其中包括一份 110 页的概述，讲述自牛顿以来引力理论的发展——包括她的朋友莫佩尔蒂和克莱罗的工作——以及 70 页补充的数学，旨在厘清牛顿的推演。众所周知，牛顿选择用创新的几何构造来呈现他大多数定理的证明，而不是用符号化的微积分计算——即便他当时用的正是微积分。¹⁵ 也许霍布斯那句“符号的疥癣”仍在回响。麻烦在于，牛顿的证明太巧妙、太个人化，无法轻易地推广——这意味着他的运动思想无法轻易地延伸到新的应用与洞见上去。一代又一代的学者对他感到困惑：他发明了微积分，可为什么没有更直白地使用它呢？显然，他认为几何是当时最严格而且最直观的数学形式。

例如，把一个导数——比如速率——想象成几何的，当然是很有帮助的：它是某个三角形斜边的梯度，而这个三角形的两条边代表着距离与时间的无穷小变化。图 2.4 展示了这个想法，而莱布尼茨式的代数符号——我们熟悉的 $\frac{dy}{dx}$——正反映出这种几何的、直观的解释。

然而在现代的导数概念中，莱布尼茨的记号有一点误导性，因为 $\frac{dy}{dx}$ 根本不是一个比或分数，不是“数 dy 除以数 dx”这个意义上的东西。毋宁说，用现代的语言讲，$\frac{d}{dx}$ 是一个作用在函数 y(x) 上的算子（operator）；它的意思仅仅是：符号 $\frac{d}{dx}$ 指引你去对 y(x)“施行运算”，即取它的导数。尽管如此，表示导数的那些莱布尼茨式符号却可以被当作真正的普通分数那样来操作。一个经典的例子是“链式法则（chain rule）”，你可以写出 $\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}$ 这样的式子，它怎么看都像是你干脆把 dx 约掉了。

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牛顿在严格性上更为谨慎，而他没有这样一套透明的符号体系。例如，用莱布尼茨的符号，你可以写出 $vdt=\frac{dx}{dt}dt=dx$，这很容易表明：一个以速率 v 运动的物体，在瞬间 dt 内走过了一段极小的距离 dx。相比之下，用牛顿的记号，这就成了 vo = ẋo，于是从符号上看，物理含义就不那么明显了。不管怎样，他似乎认为，如果坚持用字面的几何构造，《Principia》会更易读：他知道引力理论会有争议，因而不想对这门新微积分——带着它那些会消失的微分，以及尚未解决的芝诺悖论——大做文章。当他需要用微积分时，他往往把它写成图形下方的面积和几何比的形式，就像图 2.4 中的那样，尽管他有时也会用代数来解释他的算法和图示（正如我在上一则尾注，即尾注 15 中所例示的）。

半个世纪之后，微积分的符号体系终于变得更容易被接受了——至少在欧洲大陆上是这样——这最初要归功于那位令人生畏的瑞士数学家约翰（或让）·伯努利。在那场与牛顿之间臭名昭著的优先权之争中，伯努利曾是莱布尼茨最热切的捍卫者，后来他也与埃米莉·迪沙特莱的圈子有过通信。在《数学原理》（Principes Mathématiques，她的法文版《Principia》）的附录里，埃米莉·迪沙特莱用代数化的微积分重写了牛顿几十条证明。而且，在英国人看来无疑是令人不快的讽刺的是，她用的是莱布尼茨的符号，而不是牛顿的。¹⁶

然而，正是通过把牛顿的几何化微积分翻译成莱布尼茨式的符号，埃米莉·迪沙特莱、伯努利以及他的学生们帮助牛顿的愿景得以完整地呈现出来。微积分之所以在物理学与技术中显得如此重要，既要归功于他们，也要归功于牛顿。

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不过，我们在本书其余部分要探究的，是向量与张量的微积分，以及向量和张量本身的思想与应用。我刚才谈到了作为导数的速率，但正如我在序言里提到的，“速度”是一个更精确的量：它给出运动的方向，也给出速率，所以它含有关于两件不同事情的信息。它正是哈密顿所称的“向量（vector）”。而单独的速率，像任何“标量（scalar）”或数字一样，只代表一个属性。

这么说起来，向量的概念似乎非常简单。不过正如前面几节所提示的，它对数学家、物理学家和工程师的用处，同样将取决于它的符号表示。那么，怎样来表示一个向量，又怎样用向量来计算呢？这就是我们现在要开始探究的课题——同时还要回答各种耐人寻味的问题。比如，如果向量真的这么简单，那么哈密顿在布鲁姆桥上的顿悟又有什么了不起的呢？

是时候更深入地潜入这个故事了。

声波是气压的变化，石子激起的冲击波在池塘的水中传播——但光是从太阳穿过虚空而来的。那么光波中究竟有什么在起伏呢？那种神秘而无法探测的“以太”早已被假定存在，而麦克斯韦最终会给出答案（第 6 章）。玛丽·萨默维尔的回忆见她的回忆录 Personal Recollections from Early Life to Old Age of Mary Somerville，由其女儿 Martha Charters Somerville 编辑 (London: John Murray, 1873), 132。 ↩
光镊利用激光束的辐射压来移动微小粒子，这是数学预测的又一个例子：正是麦克斯韦在数学上预言了辐射压的存在，三十年后，即 1901 年，它被实验证实。麦克斯韦论辐射压：Treatise on Electricity and Magnetism (Oxford: Clarendon Press, 1873，第 3 版 [1891] 于 1954 年由 Dover 重印), 2:440–41 (arts. 792–93)。 ↩
阿赫摩斯写下的就是如今所称的莱因德纸草书，其名得自 1850 年代在埃及买下它的收藏家；它现在藏于大英博物馆。 ↩
论牛顿：Richard S. Westfall, Never at Rest: A Biography of Isaac Newton (Cambridge: Cambridge University Press, 1980)；Westfall 也为《大英百科全书》撰写了牛顿的条目。 ↩
对莱布尼茨的描述出自 Philip P. Wiener 编 Leibniz Selections (New York: Charles Scribner's Sons, 1951) 导言的第一页。 ↩
定义无穷小与极限的尝试：莱布尼茨：“一个微分小于任意给定的量”，以及“如果有人宁愿拒斥无穷小量，那么也可以假定它们小到人所判断的必需程度，使之不可比较，从而所产生的误差无关紧要，或小于任何给定的量。”牛顿：“在任何有限时间内持续趋于相等、并在该时间结束之前彼此接近到小于任何给定差量的量与量之比，最终成为相等。” 现代定义：在适当的定义域上定义 f(x)，$\lim_{x\to\alpha}f\left(x\right)=L$ 的意思是：给定任意数 ε > 0，我们都能找到一个数 δ > 0，使得当 a − δ < x < a + δ 时，f(x) 满足 L − ε < f(x) < L + ε。对于 x 趋于无穷的极限，我们有 $\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=L$，如果对任意数 ε > 0，我们都能找到一个数 M，使得当 n > M 时有 L − ε < f(x) < L + ε。这一定义源自牛顿尝试定义极限两百年之后柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作。 ↩
沃利斯承认了哈里奥特（还有奥特雷德和笛卡尔），见他的 Arithmetica Infinitorum——转引自 Boyer, The History of Calculus and Its Conceptual Development (New York: Dover, 1959), 170；另见 168–69。关于沃利斯对哈里奥特的亏欠及其见解独到的钦佩，详见 Stedall, "Rob'd of Glories," 481–90。牛顿首次发表他的微积分是在《原理》第 2 卷。虽然他的大多数证明是几何式的，但他有时也用代数符号给出微积分的算法，例如第 2 卷第 2 节引理 2。当他给出几何图形时，有时也用符号代数来解释算法或作图，如第 2 卷命题 10 问题 3。即便在第 1 卷，微积分概念也常常在相关的几何作图中清晰可见（例如他对命题 39 的证明）。不过，在他最早的微积分手稿中，他用的是代数而不是几何。 ↩
沃利斯对阵费马等人：Jacqueline Stedall, "John Wallis and the French: His Quarrels with Fermat, Pascal, Dulaurens, and Descartes," Historia Mathematica 39 (2012): 265–79。笛卡尔与哈里奥特：沃利斯的说法有些夸张，但它们并非他的创见，因为笛卡尔在写出他著名的 La géometrie 之前是否见过哈里奥特的 Praxis，确实存在不确定之处；当然，各自独立发现并不罕见，而且笛卡尔比哈里奥特走得远得多，但笛卡尔在交代资料来源方面出了名地含糊，连他的同胞、韦达的编者 Jean Beaugrand 都注意到笛卡尔的工作与哈里奥特的工作有相似之处。见 Stedall, "Rob'd of Glories," 488–89，以及 Jacqueline Stedall, "Reconstructing Thomas Harriot's Treatise on Equations," in Thomas Harriot, vol. 2, Mathematics, Exploration, and Natural Philosophy in Early Modern England, ed. Robert Fox (Farnham, Surrey: Ashgate, 2012), 62，另见 Carl Boyer, The Rainbow: From Myth to Mathematics (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1987), 203, 211。 ↩
沃利斯：摘自 John Stillwell, Mathematics and Its History (New York: Springer-Verlag, 1989), 110–12 中的沃利斯小传。 ↩
沃利斯的政治际遇：见博德利图书馆对 J. Wallis, A Collection of Letters and Other Papers, MS e Mus. 203 的描述，https://archives.bodleian.ox.ac.uk/repositories/2/resources/5805；以及 J. J. O'Connor and E. F. Robertson, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Wallis/。 ↩
爱因斯坦对牛顿的评价出自他的 Ideas and Opinions (1954; New York: Three Rivers Press, 1982), 254–55。 ↩
胡克关于行星运动的工作：例如 Michael Nauenberg, "Robert Hooke's Seminal Contributions to Orbital Dynamics," Physics in Perspective 7 (2005): 1–31。Nauenberg 详细研究了胡克的工作以及牛顿对它的利用。给予胡克应得的评价是很重要的，尽管我倾向于认为 Nauenberg 高估了胡克的数学能力，因为他的论证只建立在一个作图之上，而该作图完成于 1685 年，那时他很可能已经看过牛顿的初步论文 De Motu。无论如何，胡克构造出了由与距离成正比的力所产生的轨道；虽然他的方法新颖，但与《原理》中针对各种力和运动的数百个计算相比，这只是一个计算。 ↩
牛顿的“干瘪的计算者”：写给哈雷的信，转引自 Nauenberg, "Robert Hooke," 7。Nauenberg 称之为“一篇激烈的抨击”，这在我看来——考虑到《原理》的广度与胡克贡献的对比（参见上一条注释）——说明他为胡克辩护得过于激烈了。现代数学：计算还是创造：Patrick Bangert 发表于澳大利亚数学会 Gazette 32, no. 3（2005 年 7 月）的一篇异想天开的报告表明，许多数学家认为自己的学科更多地关乎模式、语言、艺术或逻辑，而不是应用。类似地，2021 年 7 月，Ole Warnaar 在 Gazette（第 48 卷第 3 期）上报告了学会成员对澳大利亚数学课程改革草案的反馈：批评包括其过于功利化的取向。当然，把数学用于实际是令人兴奋的，也具有重要的社会意义，Warnaar 也赞同教授这类技能；但他同时感叹，“在传达数学内在的美、以及人们从学习和理解新的数学概念中获得的乐趣方面，所做的努力还不够”。 ↩
在蒸发过程中，热量提高了水分子的动能，使它们得以挣脱把分子束缚成液体的电性键。紫色的布把较冷的紫光反射到我们眼中，而吸收其他较暖的颜色。所以它干得最快，因为它比床单上的其他颜色吸收热量更快。埃米莉·迪沙特莱的结果，见她 1738 年 Essay on Fire（Dissertation sur la nature et la propagation du feu）的扩充版，出版于 1744 年 (Paris: Chez Prault Fils)。 ↩
《原理》中牛顿的几何版微积分：例如，试着把牛顿对第 1 卷命题 39 的证明翻译成现代符号。他想求物体在向心力作用下的下落速度，并把力定义为与速度的增量（I）除以时间的增量成正比，这是 dv/dt 的几何／微分版本；但他也以近乎现代的方式求出了 v² 的导数，实际上写成了 [(v + I)² − v²]/Δy，从而得到 2vdv/dy。（他之所以用 v²，是因为他实际上是在证明一个关于动能即力所做功的定理。） ↩
关于埃米莉·迪沙特莱的牛顿式工作的更多内容，见我的 Seduced by Logic: Émilie du Châtelet, Mary Somerville and the Newtonian Revolution (New York: Oxford University Press, 2012)。 ↩

第 2 章 微积分的登场¶

牛顿、莱布尼茨与芝诺：追寻无穷小¶

远航公海与破译战时密码：代数化微积分的兴起¶

枯燥的计算苦力与剽窃：《Principia》的遭遇¶

第 2 章　微积分的登场¶