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第 5 章　出人意料的新角色与缓慢的接受

如今我们都知道哈密顿的四元数有多么有用，但在当时，它们要为获得承认打一场相当艰苦的仗。1847 年，哈密顿向友人罗伯特·格雷夫斯（Robert Graves）幽默地讲述了这样一场讨论：那是在英国科学促进会（British Association for the Advancement of Science）的一次会议上，他提交了一篇关于这个题目的论文，随后引发了讨论。顺便说一句，“科学家（scientist）”这个词正是在 1833 年英国科学促进会的一次会议上首次被引入的，用意是让从事科学与数学研究的人获得与艺术家同等的职业地位。这个主意出自威廉·休厄尔（William Whewell），他在 1840 年还造出了“物理学家（physicist）”这个名称。总之，1847 年哈密顿告诉格雷夫斯：皮科克博士认为他对自己的四元数体系做了“极出色的阐述”，而听众中的另一位则对“使用我的新算法时出错的可能性”感到疑惑。“我回答说，我可没有本事给犯错误的本领设下任何界限。”¹

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哈密顿接着说，这类“温和的小冲突”又发生了几次，随后博学的约翰·赫歇尔爵士（Sir John Herschel）对四元数给予了热烈的背书。这让皇家天文学家乔治·艾里（George Airy）受不了了。艾里曾称哈密顿关于锥形折射的数学预言（我们在第 2 章见过）是“也许有史以来最了不起的预言”——但他对四元数代数的看法要黯淡得多。哈密顿告诉格雷夫斯，赫歇尔发言之后，艾里站起身来“谈他自己对［四元数］的了解，而他坦承是一无所知；但［他］让我们明白，他不知道的东西就不值得知道”。换句话说，哈密顿揶揄地补了一句，艾里似乎假定：凡是在他看来晦涩或悖理的东西，必定是错的。²

如果连哈密顿这样有科学地位的人，要让自己的体系获得承认都如此困难，那么可以想象，对一个住在偏远乡镇、全靠自学的独行客来说，这会难上多少倍。当时空气里一定有什么向量性的东西，因为这样的人真的存在：德国中学教师赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Grassmann）。科学中出人意料地经常发生那些了不起的、各自独立的平行发现，而其中的一例就是：格拉斯曼几乎在同一时间发现了一个与哈密顿类似的体系。还有另外几个人——特别是以“莫比乌斯带（Möbius strip）”闻名的德国人奥古斯特·莫比乌斯（August Möbius），以及意大利人朱斯托·贝拉维蒂斯（Giusto Bellavitis）——也已经在朝这个想法慢慢挪动。但最终成功的是哈密顿和格拉斯曼——而且彼此都不知道对方的存在。

比哈密顿小四岁，格拉斯曼是一位波美拉尼亚神学家尤斯图斯·格拉斯曼（Justus Grassmann）的儿子，后者在斯德丁（Stettin，如今拼写为 Szcezcin，因为这一地区位于今天的波兰西北部）当地的中学教数学和科学。赫尔曼与他的十一个兄弟姐妹都出生在斯德丁，但他在学校里完全没有显露出任何数学才华——这一点不像神童哈密顿——尤斯图斯觉得儿子也许可以找一份园丁或工匠的活儿。尽管如此，赫尔曼还是设法进了柏林大学，在那里学的是语文学和神学——不管父亲怎么想，他可没有兴趣去当园丁。事实上，他早就打定主意要像尤斯图斯那样当一名教师，所以从大学回到家乡后，他开始自学数学和科学。他父亲写过一些数学教科书，而这些书显然很管用，因为赫尔曼很快就通过了国家教师资格考试。³

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在柏林教了一年书之后，他余生都在家乡的中学里教数学、科学、语言和神学。与同样自学数学、而后当了多年中学教师的乔治·布尔（George Boole）不同，赫尔曼·格拉斯曼始终没有得到同行们的承认——而那种承认本可能为他带来一个大学职位。这当然不是因为缺少才具：格拉斯曼在学校里也许没显露出多少才华，但他是一位极富独创性的杰出数学家。也并不是因为不努力——他相当有雄心，而且为争取职业上的晋升付出了异乎寻常的种种努力。

他先是试图用一项关于潮汐的深入研究来证明自己，而在这个过程中，他像牛顿一样认识到：在空间中起作用的物理现象是向量性的（尽管两人都没有用过这个词）。但牛顿只用到平行四边形法则、以及力与速度同时具有模与方向这个观念，而格拉斯曼则像哈密顿一样，被“发展出向量代数的底层数学”这个挑战迷住了。而当他把这套代数用到潮汐理论上时，他发现自己“惊异于用这个方法所得的计算竟如此简洁”。⁴

到 1840 年，他准备把自己那篇 200 页的潮汐理论论文提交给柏林的考试委员会——决定教师晋升的就是它。不幸的是，但也许并不出人意料的是，评审者没能领会它那革命性的数学基础。格拉斯曼在孤立中埋头工作、无人认可他的成就，他必定有着非凡的自信。但他热切地相信自己的新方法能简化计算，于是——似乎并没有被那篇潮汐论文的碰壁、以及随之而来的在教学阶梯上晋升无望所吓倒——1844 年，他发表了一部关于自己新进路的巨著。他把它叫作 Die Lineale Ausdehnungslehre，即“线性的扩张论（The Linear Theory of Extensions）”。

格拉斯曼那了不起的《Ausdehnungslehre》

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哈密顿说的是“向量”，格拉斯曼用的则是德语词 strecke，可以译作“距离、路线、线或一段延伸”——而他的基本几何对象确实就是“线”，它们可以被“拉伸”或“延展”而形成平面，正如点可以被延展成线一样。这听上去并不那么惊天动地，但它激进而巧妙的地方，在于格拉斯曼为几何的线及其延展建立一门代数的方式——正如哈密顿一直在寻找四元数与三维旋转的代数那样。而正如哈密顿震惊地发现四元数与向量的乘法并不总是可交换的，格拉斯曼也报告说，他

起初被这个奇怪的结果弄得困惑不解：尽管普通乘法的其他定律（包括乘法与加法的关系）都成立，可人们只有在同时改变符号（即把 + 改成 −、把 − 改成 +）的情况下才能交换因子。⁵

这是一种绕来绕去的说法，意思就是他的几何“线”的乘法是不可交换的——而这正显示出皮科克与德摩根那项工作（识别并命名算术的基本定律）在概念上和语言上的重要性。事实上，格拉斯曼所谓“把 + 改成 −”，说白了就是向量积是反交换的。这正是叉积的右手定则所表明的（正如我们在图 4.1 中看到的）：如果你把手指从 p 弯向 q，拇指朝上，那么反过来从 q 弯向 p，拇指就朝下——这意味着 p × q = −q × p。

我之前提到过，年轻的哈密顿研究过拉普拉斯的《Mécanique Céleste》（《天体力学》），并在平行四边形法则的逻辑中找出了一处错误；也提到过，他之所以发现四元数，是因为朋友德摩根关于符号代数的工作、以及沃伦那篇关于复数几何的论文引起了他的兴趣。格拉斯曼也知道平行四边形法则，但除此之外，他是通过一条截然不同的路子走向自己的“扩张”理论的。

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他从意大利裔法国数学家约瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的一本教科书里学到了代数与微积分在物理学中的威力。那本书叫《Mécanique Analytique》（《分析力学》），出版于半个世纪之前——1788 年，法国大革命的前夜；拉普拉斯的《天体力学》则在十年之后问世。拉格朗日和拉普拉斯对政治都不怎么感兴趣，并设法在大革命的岁月里走一条中立的航道。1790 年，法国科学院设立了一个度量衡委员会——拉普拉斯和拉格朗日都是成员——但 1793 年恐怖统治开始时，狂热的新政府关闭了科学院。他们倒还有点头脑，让度量衡委员会继续运作下去——只是去掉了几位他们觉得可疑的成员，其中包括外国人⁶——而米制的诞生，正是要归功于这个委员会。

至于《分析力学》：拉普拉斯更新了牛顿关于行星运动的工作——格拉斯曼的潮汐理论正是建立在拉普拉斯之上的——而拉格朗日则从总体上推广了牛顿关于运动的观念。我提到过，约翰·伯努利（Johann Bernoulli）、埃米莉·迪沙特莱（Émilie du Châtelet）、尤其是莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）已经开始把牛顿的工作翻译成莱布尼茨式微积分的语言，但拉格朗日推进了微分方程的理论，使它们终于成为那种力学的语言——我们今天视为理所当然的、关于运动与力的语言。拉格朗日是父母十一个孩子中唯一活过童年的一个，而他确实为他们争了气。⁷

格拉斯曼在《Ausdehnungslehre》的前言里承认了自己受惠于《分析力学》——但他指出，使用他自己的新体系时，“计算常常比拉格朗日的做法简短十倍以上”。他指的是那样一种表达上的经济，与你用四元数处理复合旋转时所得到的类似。不过，格拉斯曼通向向量的旅程并非始于拉格朗日，而是始于他父亲的教科书——而在他为数学上的成功所做的漫长挣扎中，有这样一位父亲是他为数不多的几桩幸运之一。

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正如他在《Ausdehnungslehre》前言中所说，他父亲曾把矩形定义为其长与宽的“几何积”。这本身就是新奇的——你可以把两个几何量就其自身相乘、从而造出一个新的几何对象——在这里，就是把两条线“相乘”而得到一个矩形。相比之下，这个场合里的传统乘积是把表示长与宽的数相乘，得到另一个数，而古人很久以前就把它定义为矩形的面积。但赫尔曼把他父亲的想法带进了真正的向量领地：他指出，如果你把各边看作“不仅是长度，而且是有方向的量”，那么对所有平行四边形都可以做同样的事。当然，“有方向的量（directed magnitude）”正是哈密顿“向量”的另一个名字。

你也许还记得学校里学过：向量积 a × b 的模的几何定义是 |a||b|sin θ，其中 |a| 表示向量 a 的模，|b| 同理。这也是为什么还有另一个关于叉积的笑话（出自电视情景喜剧《Head of the Class》）：“把一头大象和一颗葡萄叉起来，你会得到什么？”答案是：“大象葡萄正弦 θ！（Elephant grape sine-theta）”说正经的，在矩形的情形里 θ = 90°，所以 sin θ = 1，这意味着你又回到了传统的规则：只要把各边的模相乘就得到面积。换句话说，sin θ 的作用在矩形那里是藏起来的，但在其他平行四边形那里就不是了。

格拉斯曼把这种几何乘法叫作“外积（outer product）”。在三维中，它的解释与哈密顿的（以及现代的）向量积略有不同，你在尾注里可以看到，但在计算上是一样的。⁸ 格拉斯曼也定义了我们沿用哈密顿所称的两向量的“标量积（scalar product）”，不过他管它叫“内积（inner product）”。他定义自己的内积所用的，正是你可能学过的标量积的几何定义，即 a ∙ b = |a||b|cos θ——当然，他那时并没有这套现代的向量记号。

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虽然我们今天在向量分析中使用的是哈密顿的术语“向量”与“标量”，但我们后面会看到，格拉斯曼的“内”积与“外”积最终也找到了现代的归宿，分别成为 n 维向量之积与张量之积的名称。哈密顿曾告诉德摩根，他认为没有什么理由不能找到他所谓“多元组（polyplets）”（类比于“三元组（triplets）”）的代数，其形式为 (a₁, a₂, … , a_n)；但他止步于四元数，那里 n = 4（当关注向量部分时则是 3）。格拉斯曼的进路同样聚焦于三维，但他以一种抽象的方式呈现它，使之很容易适配任意多个维度——事实上，他正是用它来开创 n 维线性代数这一新理论的。

格拉斯曼的代数遵守所有通常的定律，只有外积的交换律除外——和哈密顿一样，他知道为自己的新代数体系确立这些规则很重要。但它比哈密顿的体系走得更远：它不仅包含向量，还包含张量代数的萌芽。不过说到故事的这个节点，必须承认格拉斯曼那种自学出来的数学风格是相当晦涩难懂的。

哈密顿在他 1853 年出版的、扩展到 800 页的《四元数讲义》（Lectures on Quaternions）里也清晰不了多少。首先，事实是：他和格拉斯曼都在试图阐明全新的思想，而同行们无论如何都会觉得这些思想难以消化——那是向量分析、线性代数乃至更多的东西的基础：在哈密顿那里是三维复数与旋转，在格拉斯曼那里是 n 维向量空间与原张量代数（prototensor algebra）。两人也都开始发展向量微积分（下一章会详谈）。但他们工作的独创性意味着，他们各自都不得不发明新词来描述自己在做什么——几十个晦涩的、最终被淘汰的词，而真正流传下来的只有那寥寥几个（尤其是我刚才提到的“向量”、“标量”、“内”、“外”积）。两人也都偏爱过度的玄思——哈密顿的时间哲学，格拉斯曼对数学基本概念的哲学化处理。比如说，格拉斯曼是辩证法的信奉者，他用它把概念归为“等同-差异”、“实在-形式”之类。

对哈密顿有利的是，他早已有数学天才的名声，而格拉斯曼只是个默默无闻的乡村教师——他能找到一家出版社出《Ausdehnungslehre》，已属奇迹。就连哈密顿出版自己的《讲义》都不顺利，事后不久他对一位朋友这样说：

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要冒险出版一部虽然骨子里相当保守、却带着浓烈革命气息的著作，而又不至于危险地失于轻率，就需要此前积攒起一定的科学声誉本钱。我不得不经历的那场考验的一部分、人生搏斗中的一个插曲，就是知道连坦诚而友善的人也在暗中——或者，事有凑巧的话，公开地——指责或嘲笑我，为的是在他们看来我那些怪异的创制。⁹

他对这本书的反响一定深感失望。就连约翰·赫歇尔——1847 年听哈密顿讲他的新发现时曾那样兴奋——也写信给他说，《讲义》“够任何人读上一年，而要消化则近乎要花一辈子”。六年后他回头再读时稍微容易了些，但读了三章之后，他还是绝望地放弃了，因为那些让人分心的、怪僻的哲学。他劝告哈密顿：如果他能更清楚地解释自己方法的数学算法与术语，读者也许会“更有准备地在你的形而上学解释中跟着你走”。¹⁰

读者对格拉斯曼那种哲学与数学的古怪交织就更没有准备了，因为他在数学上自学出身这一点，表现在他对已成名的数学家所使用的数学语言不够流利。在那个还没有互联网的时代，每有新论文发表，格拉斯曼就得跑一趟柏林去找学术图书馆——如果他真能听说有一篇新论文要跟进的话——而即使在今天，从 Szcezcin 到柏林最快的火车路线单程也差不多要两小时。这又是一个例子，说明为什么那个时代的数学进展往往出现在那些能够培育出联系紧密的学者共同体的国家与机构之中。

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尽管如此，1844 年《Ausdehnungslehre》一出版，格拉斯曼就给德高望重的高斯寄去了一本——他是德国顶尖的数学家，大概也是当时世界上最顶尖的。高斯的回信相当轻慢，说他研究同样的想法已有半个世纪，并且早在 1831 年就发表了其中的一部分。我提到过他关于复数的那个开创性的几何表示，格拉斯曼和哈密顿做出各自发现时都不知道它；不过，我们将在第 10 章看到，高斯还开创了如今所谓“微分几何”。格拉斯曼关于“内”积与“外”积的工作后来也对这一分支有所贡献，但在 1844 年，在高斯看来，格拉斯曼那片茂密的词语丛林里似乎并没有什么新东西。高斯在回信中说自己很忙，要花些时间才能熟悉格拉斯曼那套“独特的”术语——但显然，他始终没有抽出空来。

格拉斯曼并未气馁，他跑到莱比锡去见了莫比乌斯——高斯从前的学生，曾发表过一些早期的向量性想法。这又提醒我们十九世纪中叶的技术状况：那时没有电话，也没有电子邮件，要进行远距离交流就非得离开家门不可。当然，非得旅行的好处是面对面的接触，而格拉斯曼的这次拜访，用莫比乌斯后来的回忆说，是一次数学上的“知音”之间其乐融融的聚会。格拉斯曼随后又写了一封信，怯生生地问他这位新朋友能否为《Ausdehnungslehre》写一篇评论，因为他完全有能力评判这部作品的短长、以及“这本书可能包含的无论什么样的优点”。¹¹

等回信一定等得人揪心。事实上，可怜的格拉斯曼等了四个月，因为莫比乌斯实在弄不懂这样一本既新颖又古怪的书。他在回信中说自己试读过很多次，但每一次都过不了哲学那一关。不过，正像他对同事恩斯特·阿佩尔特（Ernst Apelt）所说，当他“强迫”自己把它粗略翻过一遍时，他感到格拉斯曼对几何加法与乘法的基本观念所做的系统呈现——也就是我们今天所说的向量代数——有某种可能对数学的发展有益的东西。于是，正如他在回信中对格拉斯曼所说的，他请了一位熟悉哲学的数学家来写评论（他称此人为德罗比施（Drobisch））。但以防万一，他建议说，也许由格拉斯曼自己来写评论最好。¹²

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莫比乌斯那位搞哲学的同事始终没有拿出评论来，格拉斯曼也没有大胆到自己写一篇发出去。相反，他给《数学与物理学文库》（Archiv der Mathematik und Physik）的编辑约翰·格鲁纳特（Johann Grunert）寄去了一本。和所有人一样，格鲁纳特也觉得它太难；但他好心地建议格拉斯曼自己写一篇评论性的概要。他照做了，尽管那篇东西并不比那部大部头本身更有启发性。但至少，他成功地把自己的工作介绍给了主流的同行——这也是《Ausdehnungslehre》得到的唯一一篇评论。它实在太“奇怪”、太抽象、太不直观，正如阿佩尔特对莫比乌斯所说——而阿佩尔特读的还只是格拉斯曼的评论！他当然不打算再去啃那本书。海因里希·巴尔策（Heinrich Baltzer）在莫比乌斯推荐之后确实试着读过，但每当他试图进入格拉斯曼的思路，他就会“头晕目眩，眼前一片天蓝”。莫比乌斯回信说，这种感觉他懂！¹³

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事情就是这样一路走下去。但格拉斯曼是个斗士。和哈密顿一样，他相信自己的方法会让物理学与几何学中的许多计算变得简单得多；1845 年，他发表了一篇关于电动力学的论文——即运动带电粒子与变化电磁场（我们今天的叫法）的力学——用到了他新的“外积”。电磁学是个令人兴奋的新题目，数学家们正试图理解越来越多的实验结果——这距汉斯·克里斯蒂安·奥斯特（Hans Øersted）发现电磁现象本身已有二十五年，而距詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的电磁场理论还有二十年。麦克斯韦的理论将成为向量故事中的一个转折点，但在此期间，格拉斯曼意识到，他的新体系能更好地描述电磁学的法国先驱安德烈-马里·安培（André-Marie Ampère）早在 1826 年发表的一个结果。那个结果关乎一个小电路所施加的磁力的强度与方向——所以你可以看出，为什么向量、或者格拉斯曼的“有向线”，会是描述它的理想语言。但是，格拉斯曼从已发表的实验结果中推导出来的那个公式，在这一电磁现象的某些无法检验的方面，给出的结果与安培的结果有着微妙的不同。细节在这里并不重要——除了要说两点：第一，安培与格拉斯曼这两个公式究竟哪个更符合实验，至今仍有争议；第二，格拉斯曼的向量进路与麦克斯韦的更为契合（这一点我们很快就会详谈），所以当它在 1870 年代终于获得承认时——那是麦克斯韦取得胜利之后的事——格拉斯曼的版本压过了安培的版本。¹⁴

幸运的是，尽管他的数学癖性未经打磨、结果又过于新奇，这位才华横溢的年轻局外人还是早早找到了莫比乌斯这个量级的支持者——莫比乌斯那些初具雏形的向量性工作，在射影几何与不变量的研究中很重要。莫比乌斯还以他那了不起的“莫比乌斯带（Möbius band）”预示了拓扑学这一领域：一条扭转过的纸条把两端接起来，它只有一个面——你只要沿着表面描一条线就能看出来。高斯的另一位昔日学生约翰·利斯廷（Johann Listing）也在差不多同一时间发现了这个现象。“拓扑学（topology）”这个词是利斯廷造的，它今天指的是对一般的、不变的性质的研究，比如一个曲面的面数，或者一个物体上的洞数：举例来说，一个甜甜圈和一只茶杯各有一个洞，如果它们都是用橡皮泥或面团做的，你不用切割也不用黏合，就能把其中一个变成另一个。换句话说，拓扑学关注的不是甜甜圈或茶杯的具体形状，而是在这种连续的“橡皮泥”式变形下不发生变化的性质——而它在描述弯曲的曲面与时空时会派上用场。至于莫比乌斯，他显然在格拉斯曼的工作里看到了某种特别的东西，哪怕他自己也读不了太多；因为 1845 年初他写信给格拉斯曼，告诉他有一个学术论文竞赛。这正是那位与世隔绝的中学教师所需要的那种同行间的善意——而论文题目正对他的路子。

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在第 3 章里，我提到过牛顿在用模与方向两者来表达物理量方面的开创作用，但牛顿的对手莱布尼茨在这个故事里也有一份角色。这与符号的力量有关。“值得注意的是，”莱布尼茨说，“记号会便利发现。它以一种最为奇妙的方式，减轻了心智的劳作。”我们在微积分里已经见过这一点：莱布尼茨的 dy/dx 这一微分学记号，比牛顿的 ẏ 更适合于计算与概念理解——而约翰·沃利斯（John Wallis）也曾在托马斯·哈里奥特（Thomas Harriot）对代数符号的充分运用中见过这一点。但莱布尼茨还想为几何也找一种类似的省力语言。¹⁵

他在 1679 年写给荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens）的一封信中表达了这个想法；惠更斯是光的波动说以及许多其他东西的先驱——包括摆钟。（尽管摆钟在今天看来是件古雅的老古董，它在精确计时上曾是一大进步。半个世纪之前，伽利略在做落体实验时还不得不用滴漏的“水钟”来测量时间，而哈里奥特用的是自己的脉搏。）莱布尼茨向惠更斯提议，需要一种新的代数形式，它“明确地是几何的或线性的，并且将直接表达位置，正如［普通］代数直接表达量一样”。（他所谓“位置”，指的是空间中的相对位置。）笛卡尔率先用坐标来描述这类位置，但莱布尼茨在寻找某种更明确地属于几何的东西——某种我们事后想来可以想象成向量箭头、或格拉斯曼式有向线的语言，独立于坐标。莱布尼茨自己并没有找到这样一个体系，而他写给惠更斯的那封信直到 1833 年才发表——到那时，莫比乌斯和贝拉维蒂斯已经在向量的方向上试探性地迈出了几步。但 1845 年那场论文竞赛，正是设计来给数学家们一个挑战，让他们更充分地回应莱布尼茨的提议；奖品定于 1846 年颁发，以纪念莱布尼茨二百周年诞辰。结果，这个挑战太艰巨了，格拉斯曼是唯一参赛的人。这是他出版《Ausdehnungslehre》之后的第一桩运气，因为他那篇获奖论文在 1847 年发表，还附了莫比乌斯写的一篇附录——后者的名声与人脉，使其他数学家更有可能注意到他提携的这位后辈。

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并不是说这篇论文就比《Ausdehnungslehre》好读多少，尽管它确实有助于把格拉斯曼的书带进更广的数学共同体。但当哈密顿终于听说它时——大约 1850 年前后——它难读的名声之盛，竟让他觉得自己也许得学会抽烟才能读下去！然而，1852 年秋天当他开始读它时，他对德摩根说那是“一部非常有独创性的著作”，“德国人如果觉得我还值得注意，也许会把它立为与我的作品分庭抗礼的东西，但我是在自己的观点形成并发表很久之后才看到它的”。三个月后，他告诉德摩根，他仍在“怀着极大的赞赏与兴趣”读格拉斯曼，尽管有些日子他觉得德语很难读。他自然大为惊讶：格拉斯曼“以最明显、最彻底的独立性”，竟找到了一个与他的四元数如此相似的体系。¹⁶

两天后，他的热情稍稍减退了些，但他又写信给德摩根说，他认为格拉斯曼是“一位伟大的、最德国式的天才”。不过他在把握格拉斯曼各种不同类型的乘法时遇到了困难（他有许多种，远多于流传到我们的向量-张量代数中的那两种）。“他的外积，我想我确实懂了，而这对一个没学会抽烟的人来说，已经算是说了点什么了。甚至他的内积……我也还能勉强吞下去［因为］它们与我的四元数的‘标量部分’很有几分相似，而他的‘外积’则相当于我的‘向量部分’。”（正如我提到过的，哈密顿的四元数之积的“标量部分与向量部分”，就是我们的向量“标量积与向量积”。）¹⁷

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德摩根被哈密顿读《Ausdehnungslehre》的进展迷住了，一周之后他又收到了新消息。哈密顿说，他读的时候女儿正从他肩头张望，两人正“笑哲学家们的荒唐”，就在这时他注意到：虽然他自己的“线”相加的想法来自约翰·沃伦（John Warren），格拉斯曼却似乎是自己想出来的。（他不知道尤斯图斯·格拉斯曼——而且直到今天，也没有人知道尤斯图斯是怎么想到他的几何代数的。）然而，哈密顿接着说，格拉斯曼花了 139 页“需要鸵鸟胃才能消化”的篇幅才讲到正题——有向线（或向量）的实际代数。他说自己很早就构想出了这一点，并把它作为 1848 年关于自己新体系的公开演讲的出发点。大概他以为这样一来，就能让他的听众不必再需要一副铸铁的“鸵鸟”胃去消化这门新数学。不过，那些演讲的出版版本依然难啃，因为哈密顿极为仔细地解释自己新代数中的每一个基本步骤，以至于用了过多奇怪的术语——包括他像格拉斯曼那样新造的所有那些词。但他确实有一种谈话式的风格，而且他用实际例子来说明自己的新向量代数——尤其是取自天文学、以及他作为爱尔兰皇家天文学家的工作的例子。¹⁸

哈密顿在听说格拉斯曼之前就已经开始把这些演讲扩展成一本书，而那本《四元数讲义》在他写给德摩根的一系列信件之后不久出版。哈密顿用希腊字母来区分向量与通常用拉丁字母表示的数字——在他前言的第 62 页，当他把 ab = ba 的“普通代数”与他的 αβ = −βα 的新不可交换向量代数区分开来时，他承认格拉斯曼“在一部极富独创性、极不寻常的著作中”提出了他自己的“一种针对斜线［或有向线］的非交换乘法”。但他表明自己的工作是独立于那位“深邃的哲学家”格拉斯曼的，并指出格拉斯曼未能把二维的复平面推广到整个空间。

这正是两项发现之间差异的核心。哈密顿的四元数主要是为着以代数方式处理旋转之类的三维几何操作而设计的，并且如我所提到的，它们已经找到了一些非凡的应用。格拉斯曼的体系更为抽象，这使它在三维物理学的直接应用中不如向量和四元数有用，但在后来那些最终通向现代张量分析的推广中更为有用。

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当然，这并不是说哈密顿——或格拉斯曼——当时就预见到了这一切。其他人也没有。尽管哈密顿早先享有盛名，在 1850 年代和 1860 年代初，就连他把复数表示为实数有序对这个最初的想法都还没有流行起来，更不用说他的四元数了。格拉斯曼的思想进展就更少了。然而他和哈密顿都没有放弃。我前面提到过哈密顿 1859 年写给一位新同事（彼得·格思里·泰特（Peter Guthrie Tait））的那封欢快的信，谈到他们把四元数应用到物理学上的进展：“还能有什么比这更简洁、更令人满意？难道你没有感觉到——不仅仅是想到——我们走在了正确的轨道上，并且日后会被感谢吗？别在意是什么时候……”格拉斯曼的感受与此相似：在 1862 年版的《Ausdehnungslehre》——用更数学、更少哲学的风格重写，并加进了一些新材料——的前言末尾，他说：“我依然完全相信，我花费在这里所呈现的这门科学上的劳动——它要求了我生命中相当一部分时光，也要求了我全部力量的最紧张的投入——是不会白费的。”他希望自己不至于显得傲慢，但他同样希望自己的想法最终会结出果实，不管它们要沉睡多久。

而它们确实沉睡了，因为第二版的《Ausdehnungslehre》命运比第一版好不了多少。

创造的热潮

数学上的创造力与其他任何一种创造力并无二致；在艺术、音乐和文学中，新的形式与风格往往也要过一阵子才能流行起来。但行得通的东西会逐渐被接受，尤其当一批新的艺术家与艺术形式开始融合、开始相互授粉的时候。的确，就在哈密顿和格拉斯曼设法用代数运算与符号来处理几何的同时，几何学中也发生了另一场数学革命。

欧几里得几何优美而严密，并且统治了两千多年。问题在于，它是一门关于日常的“平坦”空间的学问：比如书页、石板、桌面、一小片沙地——任何欧几里得可以在上面画出永不相交的平行线、内角和等于 180° 的三角形之类东西的表面。但很清楚，在一个弯曲的表面上，比如一个球或者地球仪，两条平行线是会相交的。看看两条相邻的子午线穿过赤道时的情形：它们起初是平行的，但随着你往北走，它们逐渐靠拢，直到在北极点相交。所以，正当哈密顿和格拉斯曼发现你可以抛弃乘法的交换律、而仍然得到一套自洽的代数时，另一些数学家正通过放弃欧几里得所谓的平行公设（parallel postulate），发展出新的“非欧”几何。

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其中的主要人物是德国的高斯、匈牙利的亚诺什·波尔约（Janos Bolyai）和俄国的尼古拉·罗巴切夫斯基（Nicolai Lobachevsky），而他们的发现将对我们关于张量的故事产生影响——那是包括爱因斯坦如今大名鼎鼎的弯曲时空在内的故事。与此同时，随着非欧几何在 1860 年代渗入主流，人们对不可交换代数也变得更感兴趣——也对哈密顿把复数当作实数有序对来做的代数处理更感兴趣，那是超越它们在阿尔冈平面上“欧几里得式”几何表示的一步。

数学、以及数学家们，还要再花上六十年才变得足够成熟，不仅能发明出张量分析，还能回过头来重访《Ausdehnungslehre》，并在它那十足的抽象性中辨认出新的张量工具。但这对格拉斯曼来说等得太久了；在 1860 年代和 1870 年代，他基本上转过身去、离开了数学；他写的那几篇论文都够不上他早先的水准，仿佛他的心已经不在上面了。相反，他把惊人的心力投入到编写与他教学相关的科目的教科书和论文上——德语、拉丁语、数学、音乐、宗教和植物学。和哈密顿一样，他也学了梵语；1870 年代他完成了 1123 页的《梨俱吠陀》（Rig Veda）翻译，并出版了他自己那部更长的关于这部印度经典的著作——这些耗尽力气的工作理所当然地为他赢得了美国东方学会（American Oriental Society）的会员资格，以及 1876 年图宾根大学（University of Tübingen）的荣誉博士学位。所有这些——教科书也好，语文学也好，还有他的大部分数学与物理学——都是他在全职教书、并养育十一个孩子（还埋葬了其中四个）的同时完成的；他 1849 年结的婚，那是在他首次出版《Ausdehnungslehre》五年之后。

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附带说一点政治背景：1848—49 年间，格拉斯曼除了谈恋爱和结婚，还和兄弟一起办了一份每周出版的政治报纸——格拉斯曼希望看到德国在一个君主立宪制下统一，但在当时，奥托·冯·俾斯麦（Otto von Bismarck）这一类人是反对宪制改革的。要等到几场领土战争、又过二十年之后，一个新的德意志帝国才得以统一——由俾斯麦任宰相。格拉斯曼办报纸那阵子，爱尔兰最紧迫的政治问题是日益高涨的罗马天主教独立运动——但哈密顿是坚定的安立甘宗信徒（在那个阶段，那是爱尔兰的国教，因为这个国家仍然属于联合王国）。他没有把精力投入政治，而是投入科学的推广：通过他作为皇家爱尔兰学院（Royal Irish Academy）院长的身份，以及他对英国科学促进会的积极贡献。

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哈密顿从未放弃对四元数应用的追求。除了他那部《四元数讲义》，他还就此题目发表了一百多篇论文。尽管他享有盛名、又有主流的数学造诣，还是有许多人认为，他把生命的最后二十年几乎全给了四元数，是在自欺欺人。有一种普遍的感觉：四元数很精彩，但它们并不那么有用。

然而，随着新一代的崛起，随着麦克斯韦和泰特在我们故事下一章中的登场，哈密顿的运气开始转变。泰特成了四元数的坚定支持者，而很大程度上正是通过他和麦克斯韦的工作，别人发展出了今天大学里所教的现代向量分析。可怜的格拉斯曼的思想则将继续显得过于一般——也过于难以从他那“奇怪的”哲学和“独特的”术语中剥离出来——而不能成为直接的影响。我们后面还会回来看他，但即便如此，最初把我们引向张量的，将是向量分析和非欧几何。¹⁹

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1. Robert P. Graves, The Life of Sir William Rowan Hamilton, 3 vols. (Dublin: Hodges, Figgis, 1882, 1885, 1889), 2:585–86。 ↩

2. Graves, Life of Hamilton, 2:586。 ↩

3. 关于格拉斯曼早年的生活与工作，以及下面大部分内容，我主要受惠于 Michael J. Crowe, History of Vector Analysis (Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press, 1967), 第 3 章（更多细节见 Hans-Joachim Petsche, Hermann Grassmann [Basel: Birkhäuser, 2009]）；关于向量的发现历程（包括哈密顿与格拉斯曼）的综述，见 Jean-Luc Dorier, "A General Outline of the Genesis of Vector Space Theory," Historia Mathematica 22 (1995): 227–61。 ↩

4. 格拉斯曼“惊愕不已”：1847 年写给 Saint-Venant 的信，转引自 Crowe, History of Vector Analysis, 56。 ↩

5. Crowe, History of Vector Analysis, 70–72。 ↩

6. 那些狂热的新当权者曾在意大利出生的拉格朗日身上犹豫过——外国人通常会被剥夺职位和财产——但最终一项特别法令让他留了下来，而且还当上了委员会主席。这在很大程度上要归功于先驱化学家安托万·拉瓦锡为外国科学家所做的努力——他和妻子玛丽被誉为现代化学的“父与母”。拉瓦锡因在一家包税公司中的商业利益而悲剧性地死在断头台上，拉格朗日那句名言说：暴民砍下他的头不过是一瞬间的事，而再出现一个这样的人也许要一个世纪。十八个月后，政府宣布拉瓦锡在包税公司一事上无任何不法行为。 ↩

7. 有些资料说有两个孩子活了下来：无论哪种说法，都是何等的悲惨——尤其是对他可怜的母亲而言！难怪拉格朗日本人也没有孩子。 ↩

8. 如果你用向量积去乘代表一个平行四边形两条有向直线的向量，你会得到另一个向量。（这使得向量积是“封闭”的。）积向量垂直于原来两个向量所在的平面。但如果你用格拉斯曼的外积去乘这个平行四边形的两条边，你得到的不是另一条“直线”——格拉斯曼并没有用“向量”这个术语——而是一个有向的面积。所以外积在概念上不同于向量积。（不过它与张量积有关，我们后面会看到。）然而二者是等价的：由两条边的向量积得到的向量，与格拉斯曼的有向面积方向相同、大小相等。 ↩

9. 哈密顿的信写给 Mortimer O'Sullivan，发表于 Graves, Life of Hamilton, 2:683。 ↩

10. 赫歇尔致哈密顿，转引自 Graves, Life of Hamilton, 3:121。 ↩

11. 莫比乌斯、阿佩尔特、巴尔策，转引自 Crowe, History of Vector Analysis, 78–80。 ↩

12. 莫比乌斯、阿佩尔特、巴尔策，转引自 Crowe, History of Vector Analysis, 78–80。 ↩

13. 莫比乌斯、阿佩尔特、巴尔策，转引自 Crowe, History of Vector Analysis, 78–80。 ↩

14. 安培对格拉斯曼：若要看当时人所作、判断公允的评述，见麦克斯韦的 Treatise on Electricity and Magnetism, 1891（1873 年原版的第 3 版，Clarendon Press 或 Dover 重印本）, arts. 482, 509–10（麦克斯韦自己的分析见 511–25）, 526（麦克斯韦偏爱安培，因为格拉斯曼的公式违反了牛顿第三定律），但见 687：麦克斯韦的结论是，不可能通过实验在这两个公式之间作出判定。 近来从实验与概念上作出判定的尝试：Christine Blondel and Bertrand Wolff, trans. Andrew Butricia, "Ampère's Force Law: An Obsolete Formula?" Histoire de l'Électricité et du Magnetisme（2009 年 5 月；英译 2013 年，2021 年修订）, http://www.ampere.cnrs.fr/histoire/parcours-historique/lois-courants/force-obsolete/eng。 这篇论文对近期研究给出了简短而不偏不倚的综述。一份详尽、最终倾向于安培的论述：A. K. T. Assis and J. P. M. C. Chaib, Ampère's Electrodynamics (Apeiron, 2015), 第 14 章、16.4 节及结论，491；不过，1996 年 Assis 曾（与 Marcelo A. Bueno 一起）证明，在安培所主张的实验设置下，格拉斯曼公式与安培公式是等价的："Equivalence between Ampère and Grassmann's Forces," IEEE Transactions on Magnetics 32, no. 2 (1996 年 3 月): 431–36。 请注意，一些现代作者正利用安培对格拉斯曼之争来质疑场论进路（麦克斯韦之后，格拉斯曼的结果被整合进了场论）；参见安培的超距作用。麦克斯韦本人说过，看待事物多一种方式总是好的！ 格拉斯曼的原始论文：Hermann Grassmann, "Neue Theorie der Elektrodynamik," Annalen der Physik und Chemie 1 (1845): 1–18。 ↩

15. 莱布尼茨与格拉斯曼：Joseph Kouneiher, "Broken Symmetry, Pointless Space and Leibniz's Legacy: The Origin of Physics," Advanced Studies in Theoretical Physics（2015 年 9 月），取自 ResearchGate, https://www.researchgate.net/publication/281526332_Broken_symmetry_Pointless_Space_and_Leibniz%27s_Legacy_the_origin_of_physics。 ↩

16. Graves, Life of Hamilton, 3:424。 ↩

17. Graves, Life of Hamilton, 3:441–42。 ↩

18. William Rowan Hamilton, Lectures on Quaternions (London: Whittaker, and Cambridge: Macmillan, 1853), 例如第 59 页，关于乘以 j 与改变望远镜的朝向。 ↩

19. Crowe 令人信服地论证了：向量分析的历史编纂学是从哈密顿及其后继者、而非格拉斯曼这一脉展开的（History of Vector Analysis, 77，第 4 章）。很久以后，正如我们将看到的，格拉斯曼会影响嘉当、克利福德及其追随者。 ↩