第 13 章　后来发生了什么¶

正如我们在爱因斯坦关于坠落的人与加速上升的电梯那个思想实验中看到的那样，要找到一条关于自然如何运作的定律，其中竟要投入惊人数量的直觉。单靠逻辑是根本不够的。然而，即便一个理论的方程奏效得出奇地好，也常常需要后来者走上前来，把数学基础收紧一些，或者更贴近地照一照这个理论的那些假设。这就是为什么大卫·希尔伯特（David Hilbert）与费利克斯·克莱因（Felix Klein）需要埃米·诺特（Emmy Noether）。

诺特于 1915 年来到哥廷根。她 1907 年在埃朗根（Erlangen）取得博士学位——克莱因早先曾在那里任教——而她是不变量理论（invariant theory）方面的专家；所以克莱因和希尔伯特邀请她到哥廷根，希望她能帮忙理清他们关于广义相对论与能量的那些问题。而她也确实帮了忙，因为 1917 年克莱因曾对希尔伯特说：“您知道，诺特小姐在我的工作上持续不断地给我建议；我能弄懂这些问题，全靠她。”¹

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尽管爱因斯坦有着传奇般的直觉，可当他在试图解释数学上的协变性（covariance）——也就是这样一个观念：如果你写下一个张量方程，那么当你变换到另一组坐标去时，它会保持同样的形式——与引导他走向自己理论的那些物理学上的相对性原理和等效原理之间的关系时，他却颇为吃力。他的这份吃力，帮助后来的数学家把“坐标的变换”“参照系”“点或事件”之间的区别，以及把相对论看作一种关于不变性与对称性群的理论、还是看作一种关于协变性的理论之间的区别，打磨得更加锋利——不过，如果你被这类细微之处弄糊涂了，别担心：这些区分至今仍在被争论。² 真正要紧的其实只有一件事：爱因斯坦的张量方程给出了对引力极为精确的描述，那么多非同寻常的推论都已从中被正确地预言了出来。所以，我在这里想要聚焦的，是诺特帮助解决了的那些问题——它们出现在 1915 年底爱因斯坦发表他的理论之后、以及他 1916 年那篇更长的综述《广义相对论的基础》（The Foundation of the General Theory of Relativity）发表之后的那些争论之中。

顺便说一句，这篇 1916 年的论文堪称里奇张量微积分的一堂大师课。由于这套语言对大多数物理学家和数学家来说仍然新鲜，爱因斯坦在陈述我们在第 11 章见过的那些张量规则时格外用心，既经济又清晰。

1915 年 11 月，爱因斯坦最终得到了能量–动量守恒方程 T ^μν_;ν = 0，正如我们在上一章看到的那样。他是经由一条与希尔伯特不同的迂回路径走到这一步的，而 1916 年 5 月，他问希尔伯特是否认为他们这两条彼此独立的路数背后可能有某种深层的原理。希尔伯特回答说，他认为大概有，而且他已经请“诺特小姐”去研究这个问题了。希尔伯特、克莱因，以及爱因斯坦这样的同事们，都对诺特怀有极高的敬意；然而她的存在又是如此独特，以至于他们忍不住要称她“小姐”而不是“博士”。也许他们认为，这总比像他们彼此之间常做的那样直呼其姓氏要更礼貌一些。

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克莱因和希尔伯特想要解决的那些问题，关乎广义相对论中能量–动量守恒律的物理意义与数学意义。在普通力学中，通往守恒方程的传统路径一直是变分法（calculus of variations）。它涉及把“作用量（action）”极小化——也就是对一个“拉格朗日量（Lagrangian）”L 求积分，而 L 是位置与速度的函数。莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）与约瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）开创了这一方法，随后我们的向量先驱威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton）引入了一个有用的替代方案：其中 L 用动量而不是速度来表达（于是它成了一个新函数，现在称为哈密顿量（Hamiltonian），记作 H）。有时候，用动量而不是速度来处理会更容易些，但无论哪种方式，当 L 和 H 用动能与势能表达出来时，极小化积分后得到的那个运动方程，其解就给出通常的能量守恒方程。这套方法的细节在这里并不重要：对于单个粒子，这样求得的运动方程等价于牛顿第二运动定律，而我们马上就会看到它如何引出守恒方程。

与此同时，为了找到他们的能量–动量守恒方程，希尔伯特用了一种优雅的拉格朗日量方法，而爱因斯坦用的则是张量与哈密顿量的混合。他们是在开辟新天地，因为首先他们必须弄清楚怎样定义引力能量——以及怎样挑选合适的 L 或 H 来表达这种新型的能量。等这一步做完之后，还有一个缠人的问题：所得出的那个方程 T ^μν_;ν = 0，与传统意义上的能量–动量守恒究竟怎么对得上？

埃米·诺特与能量–动量守恒¶

在 1916 与 1917 两年间，爱因斯坦、希尔伯特、克莱因和诺特就引力能量这个全新的问题交换了想法。每个人都在这场争论中添了一份力，另外还有几个人也加入进来——尤其是克莱因和希尔伯特从前的学生赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）。但把所有线索串到一起的是诺特，靠的是她 1918 年论文《不变变分问题》（“Invariante Variationsprobleme”）中证明的那著名的“诺特定理（Noether theorems）”。³ 这两条定理把守恒律与“对称性（symmetry）”联系起来。而对称性，正如我们已经看到的，又与“不变性（invariance）”相关联——也就是当你更换参照系时某些东西保持不变这一观念。我们在图 9.1 与图 9.3 中也见过这种不变性，当然，它还是张量方程的定义性特征。既然不变性关乎事物保持同一，它也就关乎守恒——因为如果一个物理量不发生变化，它就是“守恒的”。

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在普通力学——也就是研究物体在力的作用下如何运动——中，这种联系自拉格朗日以来就已为人所知。例如，我们已经看到，引力 F 可以用一个势 V 来表达：F = ∇V。但既然牛顿第二定律说，作用在物体上的力等于该物体动量向量 p 的变化率，我们就得到，

\[F\frac{dp}{dt}=\nabla V\equiv\frac{\partial V}{\partial x}i+\frac{\partial V}{\partial y}j+\frac{\partial V}{\partial z}k.\]

用分量写出来，这个方程给出 $\frac{\partial p_{x}}{dt}=\frac{\partial V}{\partial x}$，y 与 z 分量同理。现在来看不变性，让我们考虑沿 x 方向作大小不一平移的那一族坐标变换。如果势在这些变换下是不变的，那么它就不发生变化——它在点 (x, y, z) 上的取值与它在 (x + a, y, z) 上的取值相同：

V(x + a, y, z) = V(x, y, z)，对 a 的每一个值都成立。

既然用哪一个 x 值都无所谓，V 就必定与 x 无关。这意味着 $\frac{\partial V}{\partial x}$，而这又意味着

$$\frac{\partial p_{x}}{dt}=\frac{\partial V}{\partial x}\Rightarrow p_{x}=C$$，其中 C 是积分常数。

而这就意味着动量的 x-分量是常数——它是守恒的。

正如我提到过的，用拉格朗日量方法或哈密顿量方法，会得到同样的运动方程和同样的“守恒”律。就这个简单的例子而言，那就像是抡大锤砸核桃；但对于有许多粒子的复杂情形，这些方法往往更容易些。

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在她的定理最基础的层面上，诺特表明这是一个普遍的结果：当一个函数与某个特定的变量无关时，就表明有某样东西是守恒的。例如在广义相对论中，我们在图 12.1 中看到，自由下落的物体沿着测地线运动，这些测地线类比于欧几里得几何中的直线，所以运动方程就是一个关于测地线的方程——而我们在第 12 章看到，测地线依赖于描述弯曲时空的那个度规。我们还看到，爱因斯坦挑选度规的分量来扮演势的角色，类比于 V。于是，就像我们刚刚看到的那个牛顿式例子一样，如果存在这样一个参照系，在其中度规张量 g_μν 与某个特定的时空坐标无关，那么动量的那个分量就沿着粒子的路径守恒。不过在时空中，“动量”是一个四维向量：它的空间分量就是普通的空间动量分量，而时间分量则被定义为能量。⁴

我在这里谈论的是一个单独运动着的物体的能量与动量，而不是用来描述引力场所携带的能量与动量的那个能量–动量张量——不过，把粒子动量的时间分量标记为“能量”，这与我们在第 12 章看到的时间分量 T₄₁、T₄₂、T₄₃、T₄₄ 是类比的。所以，有两个守恒问题需要处理：一个是在引力场中运动着的物体的能量与动量的守恒——正如我们刚看到的，它与势 V 和 g_μν 的对称性（或者说不变性、或者说坐标无关性）有关；另一个是引力场本身的能量–动量的守恒，也就是我们已经看到的 T ^μν_;ν = 0。诺特是第一个在数学上表明：我们实际上是在谈论不同类型的守恒律。

我在尾注里勾勒了诺特最终做法的要点。⁵ 结论是：在经典力学和狭义相对论中，所得到的守恒律显然是物理性的——它们源自诸如牛顿定律所描述的那些物理条件。它们也涉及散度，正如我们在第 12 章就电磁学看到的那样。⁶ 方程 T ^μν_;ν = 0 看似涉及一个散度，但正如诺特所证明的，它并不是一个物理的散度，而只是一个数学上的类比。

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这并不是说 T^μν 在广义相对论中是非物理的。诚然，在定义局域能量密度时存在一些问题，而且除非时空具有某些对称性，否则并不存在全局的守恒律。尽管如此，观测者仍然可以定义某一点上的能量密度，一个系统的总引力能量也可以被定义，被引力波带走的能流同样可以被定义。⁷ 所以举例来说，T^μν 在宇宙学与引力辐射的研究中起着至关重要的作用。而且，不管你想怎么称呼它，要找出能量-物质源与时空曲率之间的关系，就需要方程 T ^μν_;ν = 0。⁸

有了张量事情就简单多了¶

我们在第 12 章看到，引力场方程是：

\[R_{\mu v}-\frac{1}{2}g_{\mu v}R=KT_{\mu v}.\]

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而我们在第 11 章遇到过协变导数，也遇到过这样一个事实：你可以升降张量指标而不改变它们的本质内容⁹——所以我要用上标指标写出引力场方程，然后对两边取协变导数：

\[\left(R^{\mu v}-\frac{1}{2}g^{\mu v}R\right)_{;v}=kT^{\mu v}_{;v}.\]

现在，爱因斯坦和希尔伯特都发现，能量–动量守恒意味着方程的右边为零。这也就意味着左边也必须为零。而爱因斯坦和希尔伯特都不知道——克莱因和诺特也不知道——的是：左边为零，完全不依赖于那个守恒方程。这是因为所谓的“缩并的比安基恒等式（contracted Bianchi identities）”：

\[\left(R^{\mu v}-\frac{1}{2}g^{\mu v}R\right)_{;v}=0.\]

（之所以用复数，是因为这个“方程”其实是四个方程，对应 μ 的每一个值各一个。重复的指标 ν 表示求和。）数学上的“恒等式”是一个永远为真的方程——因为按照定义它必须为真。完整的比安基恒等式直接由黎曼张量的定义推出，这一点里奇在 1880 年代就已经知道，尽管率先发表这个结果的是他的宿敌路易吉·比安基（Luigi Bianchi）——他在 1902 年重新发现了这些恒等式。（比安基赢得了里奇在 1890 年代参评过的那个意大利皇家数学奖，而且当里奇在 1901 年再度参评时，比安基是一位毫无同情心的评委。）正如我们在第 12 章看到的，里奇张量是由缩并后的黎曼张量构成的，所以“缩并的”比安基恒等式就是这样引出这个方程的。¹⁰

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诺特已经阐明了守恒与对称性之间的关系，并且详细地说明了为什么 T ^μν_;ν = 0 只是对传统守恒律的一个数学类比——但希尔伯特和克莱因却假定，是这个守恒方程迫使 $\left(R^{\mu v}-\frac{1}{2}g^{\mu v}R\right)_{;v}=0$ 成立。所以，他们把这后一个方程看作是变分（拉格朗日量与哈密顿量）方法的结果，而正是这些方法把爱因斯坦和希尔伯特引向了那个守恒方程。事实上，正如图利奥·列维-奇维塔（Tullio Levi-Civita）在 1917 年指出的，反过来说要简单得多，因为守恒方程是直接由场方程、经由张量性的比安基恒等式推出的！¹¹

顺便说一句，我在第 12 章提到过，爱因斯坦最初为他的场方程试过 R^μν = kT^μν。如果你对这个方程的两边求导，就会得到 R^μν _;ν = kT^μν_;ν，而爱因斯坦正确地把它当作非物理的而否定了。¹² 但比安基恒等式立刻表明：如果要让能量–动量守恒成立、也就是让 T ^μν_;ν = 0，那么这个方程就是错的。要是爱因斯坦当时知道这些恒等式，他本可以省下不少头疼！

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当然，诺特定理比我这里所讲的要复杂得多。它们被忽视了数十年，因为除了数学上的复杂性之外，它们的意义在于对一大批已知的守恒结果作了推广。这些已知的结果是在数个世纪里一点一滴、彼此独立地累积起来的，物理学家花了一些时间，才领会到诺特这一发现的重要性：一个单一的基本原理，把数学的对称性与物理的守恒律统一了起来。但这条原理的一般性也意味着，她的定理适用范围比广义相对论更广：近来它们已经在从量子力学到弹性力学再到流体力学等领域找到了应用，也在纯数学与数值分析中找到了应用。不过在 1918 年，就连它与广义相对论之间的关联也还没有被充分理解。

事实上，直到 1924 年，扬·斯豪滕（Jan Schouten）与德克·斯特勒伊克（Dirk Struik）才凸显出诺特的拉格朗日量恒等式与那些优美的张量恒等式 $\left(R^{\mu v}-\frac{1}{2}g^{\mu v}R\right)_{;v}=0$ 之间的联系。诺特用的是拉格朗日量的对称性，而比安基恒等式依赖的是黎曼张量的对称性（当它的各种指标组合互换时，黎曼张量保持不变，正如 g_μν 与 T_μν 在交换指标次序时保持不变一样：g_μν = g_νμ，T_μν = T_νμ）。¹³

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斯特勒伊克对相对论的兴趣产生得很早，因为当他还是莱顿（Leiden）的一名学生时，爱因斯坦曾在那里做过一次客座演讲——斯特勒伊克的教授是爱因斯坦的密友保罗·埃伦费斯特（Paul Ehrenfest），后者曾在哥廷根与克莱因共事。半个世纪之后，斯特勒伊克仍然记得埃伦费斯特课堂上那种兴奋感，在那里科学是“活的”——一项激动人心的、属于当代的活动，从著名在世科学家与数学家之间的“冲突与争论”中涌现出来；斯特勒伊克回忆说，这些人当中包括克莱因、亚伯拉罕（Max Abraham）和爱因斯坦。¹⁴

如果斯特勒伊克那句“冲突与争论”让你想起了马克思主义辩证法（Marxist dialectics），那你没想错：斯特勒伊克后来成了一位科学史家，并在 1936 年与人共同创办了马克思主义刊物《科学与社会》（Science and Society），它至今仍在出版。他的动力来自这样一个观念：科学既塑造社会，也被社会所塑造，而科学家对自己的工作负有社会责任，一如负有科学责任——这个观念终于走进了科学课堂与伦理委员会。

诺特为获得承认而挣扎¶

1924—1925 年，斯特勒伊克和他新婚的妻子露丝·拉姆勒（Ruth Ramler）博士——她也是一位数学家——在哥廷根待了一年。“你得脸皮厚才能活下来，”他回忆说，因为“哥廷根的数学家以他们带刺的幽默著称”。爱因斯坦也会同意这一点：“哥廷根的人有时给我的印象，”他宣称，“不像是想帮人把什么事情表述清楚，而像是只想向我们这些物理学家显示，他们比我们聪明多少。”斯特勒伊克提到，诺特“腼腆而有点笨拙，常常是某个笑话的靶子”。但这并不只是性别歧视，因为斯特勒伊克补充说，“脾气很好的埃里希·贝塞尔-哈根（Erich Bessel-Hagen）”也被施以同样的“幽默”。¹⁵

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然而，性别歧视正是诺特难以开创学术生涯的原因。1915 年，在克莱因和希尔伯特的支持下，她申请取得教授资格，成为一名无薪讲师（Privatdozent）。我前面提到过，当爱因斯坦在通向学术阶梯的第一级台阶上提交他的狭义相对论论文时，那篇论文被以“无法理解”为由拒绝了。但诺特被拒绝，是因为厌女症。在哥廷根，数学属于哲学系，所以大多数成员对诺特的数学才华一无所知——他们只看到她是个女人，而让一个女人上讲台授课是不可想象的。“我们的士兵回到大学，发现竟然要他们在一个女人脚下学习，他们会怎么想？”关于这一点，希帕提娅（Hypatia）大可以给他们讲上一两件事！而当时希尔伯特的回应是，他看不出“候选人的性别”是个什么问题：大学“又不是澡堂”，他回击道。¹⁶

1918 年 5 月，爱因斯坦研读了诺特一篇关于不变量的论文之后，写信给希尔伯特说，她方法的一般性给他留下了深刻印象，并补充道：“让哥廷根的老卫兵们回到诺特小姐门下读读书，对他们并没有坏处。她看起来确实很懂自己的行当！”那年晚些时候，他又研读了她刚出炉的守恒定理，印象之深，使他写信给克莱因说：“我再次感到，不给她授课的权利是一桩极大的不公。”他表示，如果克莱因太忙，他愿意自己去跟相关部门交涉。所幸战争终于结束，德国建立了一个更民主的新政府——1919 年 6 月，诺特终于获准成为一名 Privatdozent。¹⁷

她的教授资格论文就是她 1918 年的那些守恒定理，但在她有生之年，她更为人所知的却是后来在抽象代数方面的工作——她处在如此前沿的位置，以至于被人称作“现代代数之母”。¹⁸ 但她也是第一位在相对论理论中扮演角色的女性，而且她一直激励着许多在她之后走上数学道路的年轻女性。我还记得我参加的第一届广义相对论国际会议，那里大约有四百位男士和十位女士——其中包括巴黎大学（University of Paris）的伊冯娜·绍凯-布吕阿（Yvonne Choquet-Bruhat）教授，她从 1950 年代起证明了广义相对论中若干里程碑式的定理，是一位活着的传奇。我们至今仍是少数，但情况一直在好转，女性的能见度也越来越高。例如，2022 年，澳大利亚国立大学（Australian National University）的苏珊·斯科特（Susan Scott）教授因其在引力方面的研究——包括她在 2015 年引力波探测中所起的作用——赢得了欧洲科学院（European Academy of Sciences）的布莱兹·帕斯卡奖章（Blaise Pascal Medal）。还有一个相关的例子：凯蒂·布曼（Katie Bouman）在哈佛大学（Harvard）做博士后研究员时，因在构思那些算法的过程中发挥了关键作用而闻名——正是这些算法促成了 2019 年首张黑洞直接图像。

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黑洞与引力波都是广义相对论的预言，尽管爱因斯坦本人对它们是否真实存在态度暧昧。但这并不要紧：它们全都写在那些非同寻常的、小小的张量方程里，

\[R_{\mu v}-\frac{1}{2}g_{\mu v}R=KT_{\mu v}.\]

至少，对于那些知道怎样求解这些方程的人来说，它们就在那里；而今天这往往需要使用数值算法和计算机算力。像里奇张量与度规张量这样的张量处在问题的核心，尽管它们未必出现在数值方法本身之中。但对于我们这些研究精确解的人来说，那些张量指标以及它们的对称性，有助于减轻我们计算工作的负担。

“平行”的含义¶

还有另一个有趣的张量问题，是在广义相对论之后被解决的。在向量加法的平行四边形法则中——我们早在图 3.1 里就见过——把向量 A 加到 B 上，是通过平移或者说“移动／输运”它、使其与 B 的末端对齐来完成的，同时全程让 A 与自身保持平行。另一种做法是移动 B，让它与自身保持平行。在诸如地球仪表面这样的曲面上，你不能这样到处移动向量：正如我已经提到的，那些在赤道处平行的经线，到了两极就不再平行了。于是显而易见，通常的平行观念只在局域才有意义，也就是当一条曲线近似为直线的时候。

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是列维-奇维塔在 1917 年弄明白了怎样沿着曲面“平行移动”向量——而且他是用张量做到的。他的“平行移动”方程（在知识框里）有助于说明，曲率在多大程度上使得两条初始平行的测地线彼此偏离——就像地球仪上那些收敛的经线。在诸如黑洞周围那样曲率极大的时空中，测地线收敛得如此之快、如此之剧烈，以至于你如果靠得太近就会被压碎。（平方反比定律表明，你同时也会被撕开，因为引力在你头顶到脚底这段距离上的变化实在太剧烈了！）

用平行移动来刻画曲率

要弄明白列维-奇维塔的平行移动想法与曲率的关系，最容易的办法是从平坦空间中的情形入手。想象一张平摊的纸，上面画着一个三角形（如图 13.1 所示）。拿一支铅笔——由它来充当向量——在点 A 处竖直地立着，然后让它始终与自身保持平行，沿着平坦的纸面移动到点 C。现在做同样的事，但朝相反的方向走到 C，也就是把这支竖直的铅笔沿着从 A 到 B 那条线移动，然后再上行到 C。这里没有什么意外——铅笔全程保持竖直。如果你采取一种内蕴的、蚂蚁眼睛的视角，把你的向量保持在纸面的二维平面内，情形也是一样的：比如说，从一条与边 AC 相切的向量出发。无论你沿哪个方向把它从 A 移动到 C，它都会与自身保持平行。

现在想象把铅笔竖直地握在一个球或橘子的“赤道”上的点 A 处。在这个竖直的位置上，铅笔在 A 点与球相切，并且指向上方。把它朝极点 C 向上移动，始终让它与球面相切，同时保持它笔直（注意别把它拧了）。现在走另一条路，把铅笔沿着从 A 到 B 的曲线作平行移动，然后再上行到 C。这一次，铅笔——或者说向量——最终与直接从 A 移动到 C 的那个同样的向量成 90 度角。这就是不可交换性在起作用！

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哈密顿准会大为惊奇：他那个“令人震惊的”观念——数学运算并不总是可交换的——竟然找到了这么多的应用——这一次，是作为曲率的一种度量。这正是我们那个二维蚂蚁外星人能够发现的那种内蕴曲率，它只消带着一支铅笔沿表面爬行，并留意它在 C 处怎样改变了方向。

微积分也一样

当你在普通向量分析中对向量求导时，直观地说，你是在比较两个邻近点上的向量，并除以它们之间的距离——而且你隐含地假定了：当你先算出它在一个点上的值、再算出它在另一个点上的值时，向量始终保持平行。所以，如果我们想弄明白在弯曲空间中怎样定义导数（也就是里奇所说的“协变”导数），向量就必须能够以某种平行的方式沿着一条曲线被移动或者说“输运”。那么，列维-奇维塔的平行移动想法把协变导数与曲率联系起来，也就不足为奇了。

结果表明，向量 V 沿着一条以 U 为切向量的曲线作平行移动的定义是 U^μV^ν_;μ = 0。（分号表示协变导数。）

正如科学与数学中常有的事，还有别人在差不多同一时间独立地发现了与列维-奇维塔相同的那些想法——只不过他还没有把它们发表出来。这个人就是扬·斯豪滕。他的同事德克·斯特勒伊克回忆了斯豪滕挥舞着列维-奇维塔的论文冲进他办公室的那一天。“他也有我那套测地线移动系（geodesically moving systems），”斯豪滕对斯特勒伊克说，“只不过他管它们叫平行。”斯特勒伊克回忆说，列维-奇维塔的路子比斯豪滕的简单得多；尽管如此，他还是感慨道：“很少有人意识到，斯豪滕差一点就拿到了自里奇发明张量微积分以来最重要的那项发现的功劳。”¹⁹

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斯特勒伊克在 1923 年与列维-奇维塔共事，说他活泼、温和而迷人。有影响力的苏格兰代数几何学家威廉·霍奇（William Hodge）写道，列维-奇维塔是“他那个时代在个人意义上最为人所知、也最受喜爱的数学家之一”。²⁰ 而和斯特勒伊克一样，列维-奇维塔也娶了一位数学专业的毕业生——利贝里娅·特雷维萨尼（Liberia Trevisani），他从前的学生。她原本希望去教数学，结果却陪着丈夫走遍了世界，因为他在巡回演讲中极受欢迎。悲剧性的是，这一切在 1930 年代都改变了，那时法西斯党徒与纳粹开始了他们的迫害，列维-奇维塔、爱因斯坦、诺特以及许多其他犹太裔学者被剥夺了他们的学术职位——如果不被剥夺生命的话。

阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld）和大卫·希尔伯特这样的人，对他们国家在两次战争之间所走的道路感到震惊。第一次世界大战结束后不久，1919 年日食考察的领导者之一亚瑟·爱丁顿（Arthur Eddington），曾从“一支英国团队去证实一个德国理论——爱因斯坦的光线偏折预言”这一象征意义中看到了希望。但从前敌对国家之间的敌意仍在暗涌，当意大利的数学家们在 1928 年组织战后第一届数学大会时，他们特意邀请了他们的德国同行。许多德国数学家拒绝前往，但当希尔伯特凯旋般地带领他的同胞代表团走进开幕式会场时，他们赢得了全场起立鼓掌。希尔伯特致辞时所说的话，一定会让爱丁顿感到欣慰。他说，数学没有界限，包括国界。“按照民族和种族来制造差异，是对我们这门科学的彻底误解。对数学而言，全世界是一个国家。”²¹ 这是一种高尚的情操——而且在某种意义上也确实如此：国际合作在数学的进步中一直很重要，数学如今已成为一门国际性的语言。但战争改变一切。例如 2022 年，在弗拉基米尔·普京（Vladimir Putin）灾难性地入侵乌克兰之后，数学界就出现过一场类似的争论——起因是一家期刊拒绝发表来自俄罗斯机构的论文，而国际数学联盟（International Mathematics Union）剥夺了圣彼得堡举办 2022 年国际数学家大会（International Congress of Mathematicians）的权利。有些人像希尔伯特那样认为不应有任何歧视；另一些人则认为，制裁发出了这样一个信息：机构与个人都要为战争负责（正如希尔伯特和爱因斯坦在第一次世界大战期间拒绝签署德皇的责任豁免声明时所表明的那样）。²²

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列维-奇维塔用不变张量给出的平行性定义，对张量的数学很重要——尤其是对理解协变微分这一观念很重要。但在 1929 年，爱因斯坦开始与法国数学家埃利·嘉当（Élie Cartan）通信，讨论一种平行性定义更为宽泛的空间的可能性。在把前人的全部思想——包括长期被忽视的赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Grassmann），嘉当对他的研读十分深入——整理成里奇张量微积分的现代“微分形式（differential form）”版本这件事上，嘉当做得最多。例如，正是嘉当澄清了一次形式作为向量的对偶这一观念，我在第 11 章简要地提到过它。

嘉当与爱因斯坦之间那些信件的内容，涉及嘉当的“绝对（absolute）”平行性观念，这一观念允许“平行”的向量发生挠率（torsion）或者说扭转。正如我在图 13.1 的铅笔示例中所提到的，这在列维-奇维塔的平行移动定义中是不允许的——因此它也没有被用于广义相对论（因为不扭转的平行移动关系到爱因斯坦方程中的那些协变导数）。爱因斯坦曾希望，加入挠率或许是统一电磁学与引力的一条途径——但和希尔伯特、古斯塔夫·米（Gustav Mie）一样，他没有成功。尽管如此，带有挠率的时空——比如爱因斯坦-嘉当理论（Einstein-Cartan theory）中的那些——今天仍在被探索——例如作为避开大爆炸奇点的一条可能途径，或者用来解释物质的内禀自旋。

尽管爱因斯坦与嘉当通信的细节超出了我在这里的范围，粗粗一瞥就能看出，张量正是他们所说的数学语言。它也显示出两人相互交往时的那份尊重。1929 年五十岁的爱因斯坦写下过这样的话：“我非常幸运能得到你这样一位合作者。因为你恰恰拥有我所缺少的东西：那种令人羡慕的数学上的驾轻就熟。……你为这个问题花费了这么多心血，我既感动又欣喜。”而六十岁的嘉当写道：“我的信件能让你有几分兴趣，我深感荣幸。……”他补充说，“你愿意匀出一些你的时间给我——那对科学来说如此宝贵的时间——我认为这是一种特权。”²³

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爱因斯坦 1931 年 6 月 13 日的那封信尤其令人心酸。他告知嘉当，他的老朋友马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossmann）发表了一篇论文，“粗暴地”批评了绝对平行性的想法，但他想让嘉当知道，格罗斯曼已因晚期多发性硬化症而病重。“我把这一切都告诉你，是劝你不要公开回应他，”爱因斯坦仗义地写道，并补充说，格罗斯曼病得太重，无法为他那篇批评中不愉快的语气和误入歧途的内容负责。五年之后，格罗斯曼在长期而令人衰弱的疾病之后去世，爱因斯坦动情地写信给他的遗孀，告诉她马塞尔曾是一位多么珍贵的朋友。²⁴

格罗斯曼也许从未意识到，在让张量登上舞台这件事上，他扮演了多么关键的角色。但自 1975 年以来，他在广义相对论中的这份遗产一直在马塞尔·格罗斯曼会议（Marcel Grossmann Meetings）上受到纪念：这个会议每三到四年举行一次，把来自世界各地的研究者聚到一起，讨论最新的进展。而在纪念格罗斯曼的同时，这些会议也纪念了——至少是含蓄地——里奇与列维-奇维塔的数学才华，以及爱因斯坦的天才。

克莱因与希尔伯特谈诺特小姐：转引自 Yvette Kosmann-Schwarzbach, translated by Bertram E. Schwarzbach, The Noether Theorems: Invariance and Conservation Laws in the Twentieth Century（New York: Springer, 2011）, 45, 66。 ↩
John Norton 在他 1993 年的论文 “General Covariance and the Foundations of General Relativity” 中，不仅精彩地讲述了爱因斯坦的挣扎，还讲述了其他人如何回应或重新解释他的协变性原理、相对性原理和等效原理。他用二十世纪教科书叙述的演变来说明这一点，并指出至今仍有争议或混乱。当然，正如我在上一章末尾所表明的，迄今的物理观测已经证实这些方程非常出色，无论其基础如何！ ↩
诺特论文的英译见 Kosmann-Schwarzbach, Noether Theorems, 3–22。 ↩
在像地球上这样弱的引力场中，“动量”的时间分量确实等于粒子的静止质量、引力势能和动能之和。见，例如，Bernard Schutz, A First Course in General Relativity（Cambridge: Cambridge University Press, 1985）, 190。 ↩
要看出诺特结果的精髓（她在 1918 年的定理中作了全面推广），让我们回到前面谈过的那些平移。取 a 的所有值，从 x 到 x + a 的这些平移构成一个群（就像图 9.3 中的洛伦兹变换）。与不变性相关的群称为“对称群”。这里的“对称性”就是由 V 与 x 无关这一事实所表达的不变性。如果同样的对称性在每个方向上都成立，那么 p 的所有分量都守恒，我们就有了熟悉的动量守恒定律。诺特所证明的是：经典力学和狭义相对论的对称群是有限的，而广义相对论中的对称群是无限的，因为广义相对论允许一切可能的坐标，从而允许一切可能的点变换。这意味着引力场的能量–动量守恒定律确实不同于力学和狭义相对论中通常的守恒定律。技术细节见 Kosmann-Schwarzbach, Noether Theorems, 56–64。 ↩
关于把物理定律写成散度：Peter Gabriel Bergmann, Introduction to the Theory of Relativity（New York: Dover, 1976）, 194–97。关于诺特定理中的散度：Kosmann-Schwarzbach, Noether Theorems, 例如 6–10。 ↩
关于在广义相对论中定义能量：Robert M. Wald, General Relativity（Chicago: University of Chicago Press, 1984）, 84, 286，关于诺特定理见 457；S. W. Hawking and G. F. R. Ellis, The Large-Scale Structure of Space-time（1973; Cambridge: Cambridge University Press, 1991）, 61–62, 73–74, 88–96。关于诺特定理：Kosmann-Schwarzbach, Noether Theorems；更简单的概述见 David E. Rowe, “On Emmy Noether’s Role in the Relativity Revolution,” Mathematical Intelligencer 41, no. 2 (2019): 65–72。 ↩
爱因斯坦坚持认为，真正广义的相对论应当允许任何坐标——这就是他的协变性原理——但我们看到，这允许了代表同一点的坐标。这意味着我们可以得到实际上表示同一时空的不同形式的度规——正如我们看到的圆的方程用笛卡儿坐标和极坐标写出的情形。为缓解这一局面，四个能量守恒方程（或我们下一节将遇到的缩并的比安基恒等式）对坐标的选择施加了额外约束（见尾注 10）。 ↩
在第 12 章中，Tμν 和 Tμν 具有相同的内容，因为指标是用闵可夫斯基度规提升的。在广义相对论中，张量在提升指标时会从度规中多出一些项，但由于这在张量方程两边都发生，方程的实质内容不变。 ↩
这四个缩并的比安基恒等式给出了关于里奇张量的额外信息，这意味着十个爱因斯坦方程中只有六个是独立的。这带来了任意选择四个坐标（参照系）的自由，确保每个观测者都推出相同的物理学定律。 ↩
T. Levi-Civita (1917), translated by S. Antoci and A. Loinger, “On the Analystic Expression That Must Be Given to the Gravitational Tensor in Einstein’s Theory,” https://arxiv.org/pdf/physics/9906004.pdf。关于希尔伯特经由变分方法所作的曲折推导，见 David E. Rowe, “Einstein’s Gravitational Field Equations and the Bianchi Identities,” Mathematical Intelligencer 24, no. 4 (2002): 57–66 的 p. 59；Ivan T. Todorov, “Einstein and Hilbert: The Creation of General Relativity,” arXiv:physics/0504179v1；David E. Rowe, “Emmy Noether on Energy Conservation in General Relativity,” December 4, 2019, 预印本线上见 https://arxiv.org/pdf/1912.03269.pdf, 21n32；Carlo Cattani and Michelangelo De Maria, “Conservation Laws and Gravitational Waves,” in The Attraction of Gravitation: New Studies in the History of General Relativity, ed. John Earman, Michel Janssen, and John D. Norton（Boston: Birkhäuser, 1993）, 67。 ↩
那将意味着标量 R 和 T 在整个宇宙中都是常数。这些标量反映的是曲率和质能，所以 T 在真空中应当与在物质中不同。 ↩
比安基恒等式：David E. Rowe, “Einstein’s Gravitational Field Equations and the Bianchi Identities,” Mathematical Intelligencer 24, no. 4 (2002): 57–66；斯特勒伊克与斯豪滕：Rowe, “Einstein’s Gravitational Field Equations,” 66；Kosmann-Schwarzbach, Noether Theorems, 43。 ↩
关于斯特勒伊克：本段及以下各段，我受惠于 David E. Rowe, “Interview with Dirk Jan Struik,” Mathematical Intelligencer 11, no. 1 (1989): 14–26。这篇访谈也讨论了斯特勒伊克的马克思主义思想如何使他在麦卡锡主义下遭受苦难。斯特勒伊克显然非同寻常，而同样非同寻常的是，他活到了 106 岁（他于 2000 年去世）。 ↩
斯特勒伊克转引自 Rowe, “Interview with Struik,” 19。爱因斯坦的引语见 Constance Reid, Hilbert（Berlin: Springer-Verlag, 1970）, 142。 ↩
转引自 Reid, Hilbert, 143。 ↩
爱因斯坦支持诺特：转引自 Kosmann-Schwarzbach, Noether Theorems, 72。魏玛：Rowe, “Noether’s Role in Relativity,” 66。 ↩
现代代数之母：Norbert Schappacher and Cordula Tollmien, “Emmy Noether, Hermann Weyl, and the Göttingen Academy: A Marginal Note,” Historia Mathematica 43 (2016): 194–97。 ↩
斯特勒伊克转引自 Rowe, “Interview with Struik,” 16。 ↩
斯特勒伊克：Rowe, “Interview with Struik,” 17。霍奇：转引自 Judith Goodstein, Einstein’s Italian Mathematicians（Providence, RI: American Mathematical Society, 2018）, 165。 ↩
1928 年大会与希尔伯特激动人心的演讲：Reid, Hilbert, 188。 ↩
见，例如，澳大利亚数学会的 Gazette 49，第 1 期（Ole Warnaar 的主席专栏）和第 2 期（Letters，来自 Aerwm Pulemotov）。 ↩
爱因斯坦与嘉当的引语分别出自 1929 年 12 月 8 日和 1930 年 2 月 17 日的通信，见 Elie Cartan–Albert Einstein: Letters on Absolute Parallelism 1929–1930, ed. Robert Debever（Princeton, NJ: Princeton University Press, 1979）。 ↩
爱因斯坦致嘉当：in Elie Cartan-Albert Einstein, ed. Debever, 203；爱因斯坦致格罗斯曼夫人：in Banesh Hoffmann, Einstein（Frogmore: Paladin, 1975, 36。 ↩

第 13 章 后来发生了什么¶

埃米·诺特与能量–动量守恒¶

有了张量事情就简单多了¶

诺特为获得承认而挣扎¶

“平行”的含义¶

第 13 章　后来发生了什么¶