第 6 章　泰特与麦克斯韦¶

孵化电磁向量场

尽管赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Grassmann）的著作难以读通、又过于抽象，但威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton）——而不是格拉斯曼——成为通向今天所教的向量分析（vector analysis）的直接纽带，这件事也部分地是历史的一次偶然。因为，把彼得·格思里·泰特（Peter Guthrie Tait）与詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）在中学时代凑到一起的，想必正是命运。

两人都出生在苏格兰，时间是 1831 年——比哈密顿宣布他的四元数（quaternion）突破早十二年——而且从十岁起，两人就读于声望卓著的爱丁堡学院（Edinburgh Academy）。不过起初，对自幼丧母的小麦克斯韦来说，那段经历并不愉快。他是个古怪的孩子，由他那溺爱孩子、又不守常规的父亲一手带大；父亲是一名出庭律师，也是家族庄园格伦莱尔（Glenlair）的领主，那片产业在爱丁堡西南约九十英里处。于是，当他来到这所大城市里的学校时，麦克斯韦是个异类：幽默感古怪，说话迟疑，穿的是家里做的衣服，舒服而不时髦——因为这些对阶级规矩的种种冒犯，他遭到毫不留情的欺负。他的学业成绩平平，这也帮不上什么忙：作为一个自主学习的人，他起初觉得学校很无聊；这一点，连同他缓慢的语速和羞怯，让他得了个“傻子（Dafty）”的绰号，所以你可以想见，这如何把他标记成了一个“等着”挨揍的男孩。¹

119

对他、也对科学的未来而言幸运的是，他那位温和的同学刘易斯·坎贝尔（Lewis Campbell）与麦克斯韦交上了朋友，于是他终于能够安顿下来，与坎贝尔和泰特一起成为最出色的学生之一。很能说明问题的是，那是一种富有成效而又友善的竞争，而且泰特与麦克斯韦不久也成了要好的朋友。和麦克斯韦一样，泰特也失去了一位家长——他的父亲，曾是一位公爵的秘书——并且也从乡下来到了爱丁堡，尽管他的家乡达尔基斯（Dalkeith）离城只有八英里。

爱丁堡学院是一所相对进步的学校，泰特、麦克斯韦和坎贝尔在那里表现优异。随后，在十六岁那年，他们三个都升入爱丁堡大学；不过一年之后，坎贝尔转去了牛津——他成了古典学者和安立甘宗牧师，后来还成了他儿时好友麦克斯韦的一位极富同理心的传记作者——而泰特则转到了剑桥，在那里他把所有同侪都比了下去，以 1852 年的第一名优胜者（Senior Wrangler）身份毕业。Senior Wrangler 是 Tripos（剑桥的数学荣誉学位考试）中成绩最好的学生；那是一系列折磨人的考试，约十六场，难度递增，在八天内考完。在当时，无论学生最终从事什么职业，数学都被视为重要的心智训练——而如果你能有幸成为得分最高的优胜者（wrangler）之一，一条顺遂的职业道路就有了保障。泰特激动万分，先是打电报把消息告诉了家人，接着又写信给他昔日的爱丁堡老师们：“我整个人都在发抖，我几乎说不出话来，等等，正如那首歌里唱的：我是 senior wrangler！”他还拿下了同样声望卓著的史密斯奖（Smith's Prize）——那是在一套更为复杂的数学考试中授予最佳学生的奖项——总而言之，这是一项如此出色的成就，以至于他和麦克斯韦的母校专门为他举行了一场庆祝会。²

120

毕业之后，泰特在剑桥赢得了一份研究员职位——这是成为顶尖优胜者的好处之一，因为它给了他一份工作和教学经验，大概日后会在剑桥或别的顶尖机构导向一个终身教职。不过眼下，他尽情享受这份新得来的安稳，摆脱了备考的苦役。他甚至给自己买了一本刚出版的哈密顿的《四元数讲义》（Lectures on Quaternions）——他完全不知道那书讲的是什么，却被“四元数”这个奇怪的名字勾起了好奇心。他在一次夏日假期的狩猎之旅中读了前六章，但一回到剑桥，教学和研究就占满了他所有的时间，他把《四元数》搁到了一边。（相比之下，麦克斯韦拒绝打猎和钓鱼，他是那样地喜爱动物。他尤其擅长与马打交道，而且身边总有一只深受宠爱的狗。）

泰特在剑桥期间，麦克斯韦则留在了爱丁堡——显然是为了让他父亲高兴——但那里出色而广博的教学，恰恰成了训练场，造就出他不久之后将用以改造物理学的那种既务实又富有哲理的技艺。随后，在 1850 年读完爱丁堡的学位之后，他进入剑桥继续他的科学研究。适应花了一些时间，但很快，那个羞怯笨拙的年轻“傻子”就交上了“一大群”新朋友，因为剑桥的那一伙人觉得他“亲切而有趣”，能在任何话题上都以机智而博学的方式与人交谈。“我从未见过像他那样的人，”一位新相识在这样一次交谈之后写道；而另一位后来回忆说：“每一个在三一学院（Trinity，麦克斯韦在剑桥的学院）认识他的人，都能想起他的某桩善举或某个行为，留下关于他善良本性不可磨灭的印象。”³

麦克斯韦享受他新的社交生活，但对当时剑桥的课程设置却并不怎么佩服——那套课程强调的是技术上的熟练，而不是深入的思考。那年年底备考之际，他用一首长诗表达了他的挫败感：《一个优胜者的幻象》。下面尝一尝他的幽默，以及他对考试制度的看法：

炉膛里闪烁的余烬

正可说明十一月的阴沉

雾气如何压上我迟钝的肢体

像一只拔了毛的瘦鹅。

而我准备上床之时，

用不稳的声音问自己：

我读过的那一切东西里，

可曾有过一星半点的用处。⁴

121

这还只是二十四节愈显博学的诗中的第二节；全诗围绕他那邪恶的新母校的一个奇幻化身展开，用以表达他对这套制度的愤慨——它要求学生死记硬背地苦读，然后用安逸的学术职位奖赏最优秀的学生——而这些优胜者随即成为维持这套制度运转的精英中的一员。诗的结尾是一段严肃的精神宣言：与其漫不经心地研读物理学家用来表示自然的那些超然物外的数学符号，不如默默地静思“创造的荣光”。他写下这首非凡长诗时二十一岁；然而十二年之后，他将展示出，用符号表示自然这件事可以何等奇妙。后来，他自己也成了考官和主考，并在让 Tripos 的试题——进而让剑桥的教学大纲——与正在被发现的那激动人心的新科学更为贴近这件事上，发挥了主导作用。⁵

然而在 1853 年 11 月，随着他的期末考试临近，他写了另一首长诗——《写在“十一月里、炉火熄灭之后读数学是不明智的”这一信念之下的诗行》——诗中谈到了考试压力对年轻人的精神摧残，以及把学术奖项和学位误当成智慧的愚蠢。所以他多半宁愿去学自己感兴趣的东西，而不是临时抱佛脚——泰特惊讶于麦克斯韦对 Tripos 准备得如此不充分。尽管如此——凭着他“纯粹的智力强度”，用泰特的说法——他还是以第二名优胜者（Second Wrangler）的成绩毕业，并在史密斯奖上与本届的 Senior Wrangler E. J. 劳斯（E. J. Routh）并列。他的父亲在一封动人的、支持他的信里表达了他的骄傲：“［你的表弟乔治］凌晨两点走进我的房间……看到由快车送来的星期六《泰晤士报》，而我在早饭前收到了你的信。……既然你在冠军［史密斯奖］的较量中与 Senior Wrangler 打成平手，你也就只比他落后那么一丁点。”至于麦克斯韦从前在中学的数学老师，他兴奋得“忘乎所以”，就像当年泰特取得成功时一样。⁶

122

从 1854 年 2 月那份史密斯奖试卷的第 8 题，你可以感受到这类考试的难度——麦克斯韦当时就坐在那场考场里：题目要求证明的，是今天称为“斯托克斯定理（Stokes's theorem）”的那个结果——此前几年，爱尔兰出生的数学家乔治·斯托克斯（George Stokes）一直在出史密斯奖的试卷。1854 年的这份试卷，是这个定理第一次见诸印刷——今天它出现在每一本本科微积分教材里，而它把“线积分”与“面积分”联系了起来。今天的许多学生光是应用它就觉得够难了，更不用说证明它。也没有人知道麦克斯韦、或者与他同场的考生中是否有人证明了它，不过我猜没有，因为麦克斯韦后来把完整的证明归功于威廉·汤姆森（William Thomson），即后来的开尔文勋爵（Lord Kelvin）。⁷

线积分（line integral）和面积分（surface integral）将在我们的故事里扮演角色，所以万一你以前没遇见过它们，让我给你讲讲它们是什么。我们在学校里学的普通积分学，是对自变量（水平变量）积分，通常是 x 或 t——所以当你积分时，你是在把曲线下方所有那些细长条矩形的面积加起来，正如我们在图 2.1 中看到的那样。相比之下，“线积分”的一个简单例子是图 2.3b，在那里我对线的一小段 ds 积分——在那个例子里是一段圆弧——以求周长。换句话说，在“线积分”中，你是把无穷多个小长度加起来，而不是把面积加起来——所以它是阿赫摩斯（Ahmes）与阿基米德（Archimedes）在几千年前所做的那种周长近似的精确版本。“面积分”则是在整个曲面上做类似的事情——但它需要一个“二重积分（double integral）”，以便你能在两个维度上积分。举例来说，在图 2.3a 中，我本可以用面积分更省事地求出那个圆的面积，你可以在尾注里看到做法⁸。不过这里的关键在于这样一个观念：你不仅可以沿水平轴积分，也可以沿着曲线、跨越曲面来积分——如果你用三重积分，还可以穿过体积来积分。

123

至于麦克斯韦，十年之后他会好好用上他第一次在史密斯奖考试中遇见的那个定理；但在此期间，尽管他的考试成绩出类拔萃，他却没有拿到剑桥的研究员职位。显然，当权者认为他太粗心——这是一个他公开承认的数学上的毛病，而且我敢说我们很多人都能认同。于是，才华横溢却有时马虎草率的麦克斯韦毕业时没有工作；而几个月之后，泰特晋升为贝尔法斯特女王学院（Queens College, Belfast）的数学教授；他那本《四元数》仍然读了一半摆在那里，等着他找到时间去钻研。这倒提示出麦克斯韦的困境也有它好的一面，因为他父亲家境宽裕：在剑桥做私人辅导、并在新成立的工人学院（Working Men's College）做志愿者之间，他有时间在家乡格伦莱尔的宁静中思考正在迅速发展的电磁学新科学——那是一座美丽的庄园，看上去仍与麦克斯韦的时代相差无几（这在很大程度上要归功于它现在的主人邓肯·弗格森（Duncan Ferguson）⁹）。

麦克斯韦在新获得的这份自由中所做的头几件事之一，就是写信给威廉·汤姆森，后者在电的数学方面的工作早已给他留下了印象。麦克斯韦说，他想让自己尽快跟上电磁学研究的现状，并问汤姆森能否指教他该从哪里入手。

这种大胆的做法并非完全无迹可循，因为他和汤姆森几年前就见过面。那是在 1850 年英国科学促进会（British Association）的一次爱丁堡会议上；当时十九岁的麦克斯韦——仍然羞怯笨拙，带着地方口音和迟疑的说话方式——在提问时间勇敢地站起来，就刚在会上宣读的一篇关于光学与视觉的论文发表了自己的看法。（麦克斯韦也是视觉与颜色研究的先驱，而且他还算出了如何拍摄史上第一张日常物件的彩色照片——那是一条苏格兰格子缎带，他是个自豪的苏格兰人。）据一位与会者说，听众“半是困惑，半是焦虑，也许还有几分难以置信……他们注视着这个面目生涩的年轻人，用断断续续的腔调向他们讲话”。所以你可以想象，当会议结束之后，一位数学物理界的新星走上前来、想更多地了解他的想法时，麦克斯韦有多么惊喜和宽慰：那就是二十六岁的汤姆森。¹⁰

124

现在，到了 1854 年，汤姆森慷慨地回复了麦克斯韦的信；在他的建议下，麦克斯韦给自己定下了任务：仔细研读迄今为止已知的全部电磁学成果。他上大学时大概学过一些相关的数学和物理，但在接下来的几页里，我要带你做一次简短的历史之旅，走过他在改造这个学科之前需要知道的那些关键的东西——并由此在泰特的帮助下，开创一种全新的物理学进路：向量场（vector field）。或者更确切地说，麦克斯韦将采用一种别人只是凭直觉瞥见过的方式，并往里面注入如此多的新生命，以至于它确实是全新的。

1854 年麦克斯韦的旅程——以及过量的积分¶

125

汉斯·克里斯蒂安·奥斯特（Hans Øersted）在 1820 年发现的电流的磁效应，在 1800 年亚历山德罗·伏打（Alessandro Volta）发明第一块电池之前是不可能观察到的。在那之前，只能储存静电，用的是一种早期的电容器，叫作莱顿瓶（Leyden jar）。静电常常由摩擦产生，比如当你在暗室里梳头、看见电火花的时候。梳头把你头发原子里的电子敲了出来——尽管那时候还没有人知道电子。但往往只要两种材料彼此接触，就足以让电子发生交换——正如麦克斯韦所称的“亲吻的电”。（与此相关的一点是，电容器——电荷的储存器——嵌在大多数手机屏幕里，所以当你触摸屏幕时，电子就在屏幕与你的手指之间流动：由此造成的电容变化被解读为一条触摸指令。）

所以，最早关于电的数学研究，针对的是静电荷的效应——那些倾向于待在原地、而不是在电流中自由移动的电荷。特别是，1785 年，夏尔·奥古斯丁·库仑（Charles Augustin Coulomb）用扭秤（torsion balance）做了他那个著名的实验，表明一个带电粒子发出的电力，按与源的距离成平方反比的关系衰减——正像牛顿的引力定律中，一个静止物体的质量所施加的力那样。两个如此不同的现象，其数学定律竟然具有相同形式，这是一个惊人的巧合。¹¹

大约在同一时期，约瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）把他强大的数学头脑用在了一种新的引力理论表述上——而且就像平方反比定律（inverse-square law）一样，它不久也将被证明可用于描述电。拉格朗日的表述涉及数学上“势（potential）”的概念——一个与“势能（potential energy）”以及力所做的“功（work）”相关的想法。举例来说，克服重力举起一个重物需要费力——也就是做功；但一旦它被举到了上面，它就有潜能在落下时消耗能量去做更多的功。你可以在起重机吊起的巨大拆楼球（demolition ball）中看到这类应用，也可以在驱动涡轮机的落水中看到。不过，要举起那个拆楼球，你需要对它施加一个力，套用牛顿第二运动定律的说法；而这个力所做的“功”，被定义为“力乘以物体被移动的距离”。在尾注里，我给出了“功”的数学、以及它如何导出势——但要点在于，功的定义涉及一个积分。¹²

126

今天，“电压（voltage，为纪念伏打而得名）”也许是电势的一个更为人熟悉的说法，它的作用类似于热学中的温度和流体中的压强。如果一根充满水的管子两端存在压强差，水就会从高压的一端流向低压的一端。类似地，热从较热的区域流向较冷的区域。当事情像这样变化时，导数就登场了，所以你不会惊讶地发现：如果 V 是与某个力相关联的势，那么这个力的分量就是：

$$\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}$$.

那些弯弯的 d 表示“偏”导数（partial derivative），它表明 V 是在整个空间中变化的，而不像我们熟悉的 $\frac{dy}{dx}$ 那样只沿一个方向变化。¹³

把拉格朗日的想法用到电学——以及磁学——上，是若干位数学家几十年工作的结果，开头是皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace），他比拉格朗日更充分地发展了势论。接着是无处不在、多才多艺的卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss），以及了不起的自学成才的数学家乔治·格林（George Green）——他当时的正职是磨坊主，尽管十年之后、四十三岁那年，他以第四名优胜者（Fourth Wrangler）的成绩从剑桥毕业——还有拉普拉斯与拉格朗日的学生西梅翁·德尼·泊松（Siméon-Dénis Poisson）。当玛丽·萨默维尔（Mary Somerville）和她的丈夫在 1817 年访问巴黎时，拉普拉斯邀请他们去他的乡间宅邸——她是英国少数读过并理解了他的《天体力学》（Mécanique Celeste）的人之一。她觉得拉普拉斯非常和蔼、殷勤周到，而泊松则是一位有趣而活泼的晚餐客人。

127

然而，索菲·热尔曼（Sophie Germain）与泊松打交道的经历却相当不同，因为她竟敢闯进与他相同的竞技场。她匿名提交了一篇关于振动曲面理论的开创性论文，参加法国科学院（French Academy of Sciences）主办的一次征文竞赛——这是一个因一项物理发现（把沙子撒在由声音激发而振动的板上所形成的图案）而向数学敞开的全新疆域。这个问题如此之难，以至于就像格拉斯曼参加莱布尼茨百年纪念竞赛的那篇投稿一样，热尔曼的论文是唯一提交的一篇。她的身份很可能是个公开的秘密——但确实，她自学成才的痕迹显露了出来，她的推导并不完全正确，于是她的第一次努力被拒了。她重写了论文，再次提交——只有水准足够高时才颁奖，否则竞赛就继续开放。也许因为她是个局外人，身为评委之一的泊松举止颇不光彩：他严厉地批评了她的第二篇论文（其他评委给了它一个荣誉提名），然后把其中的结论拿走、自己接着做。她没有被吓倒，继续改进她的论文，终于在 1816 年以第三次尝试赢得了奖项。我在这里提到这件事，不仅是为了向热尔曼致敬、向她在科学界女性所面临的种种障碍面前的坚持致敬，也因为振动曲面的数学中包含着一些方程和表达式，与大约同一时期为引力、电和磁发展出来的那些方程和表达式相似。

举例来说，拉普拉斯已经证明，势 V 服从一个非常漂亮的方程：

\[\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=0.\]

泊松后来证明，在物理应用中右端并不总是零——它取决于你在测量什么、在哪里测量。不管怎样，麦克斯韦把左端那个表达式的物理意义描述为势的“集中（concentration）”；而今天在数学上，它被称为 V 的“拉普拉斯算子（Laplacian）”，其中拉普拉斯算子就是那个“微分算子（differential operator）”

\[\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\]

（或者用麦克斯韦的叫法，“拉普拉斯的算子”）。

正如我在第 2 章讲 $\frac{d}{dx}$ 时提到过的，“算子”这个说法只是意味着：那个表达式指示你去“作用于”——在这个例子里，是对某个尚未代入的函数取二阶（偏）导数。在物理学中，你要去作用的那些函数具有物理意义，比如势；不过从数学上讲，任何适当可微的函数都行。“当函数被‘代入’时就有某种东西‘运作’”这个想法，等我们讲到张量时会变得格外重要。

128

与此同时，以自然与数学似乎交织在一起的那种奇妙方式，拉普拉斯算子不仅出现在势论中，也出现在热、振动和波的理论里：你可以不用势 V，而是取温度 T 的拉普拉斯算子，比如“热方程（heat equation）”中的情形；或者在波的情形中取拉伸距离 u，比如“波动方程（wave equation）”中的情形。不过，这对我们的故事的意义在于：拉格朗日、拉普拉斯和其他先驱只是使用笛卡尔坐标和分量。他们有牛顿意义上的向量观念，但整体向量微积分尚待发明。

然而，一旦泰特安下心来读哈密顿的《四元数》，他就会开始以完整的向量形式来应用势和拉普拉斯算子——而麦克斯韦随后把这些向量量发挥出了前所未有的效用。但那还是十五年以后的事。1854 年，麦克斯韦仍在研读他入场之前已有的东西，而泰特仍在贝尔法斯特忙于他新的学术职责。

• • •

仿佛静电学的这一整套新微积分还不够有挑战性似的，当奥斯特发现电磁现象的存在——它涉及在流动的电流中运动着的带电粒子——事情就变得复杂得多了。

1821 年，安德烈-马里·安培（André-Marie Ampère）利用奥斯特那个奇怪的发现去开创电报——同时他也开始尝试先用实验量化电磁效应，再用数学把它们表达出来。他取得了惊人的进展，单枪匹马地开创了电磁学（或者按他的叫法，“电动力学（electrodynamics）”）的数学研究。麦克斯韦称他为“电学中的牛顿”，因为他既是如此了不起的实验家，又是如此了不起的数学理论家。特别是，他用线积分和面积分来量化在各种实验装置中电流与它所产生的磁力之间的关系——但当他 1836 年去世时，他仍然没能找到对电磁学的完全一般的描述。¹⁴

129

就在安培开始他的电磁学研究的同时，英国人迈克尔·法拉第（Michael Faraday）利用奥斯特的发现，开发出了一台电动机的粗糙原型。随后，在 1831 年——麦克斯韦和泰特出生的那一年——法拉第发现了与奥斯特效应相反的效应：他表明，你可以让一块磁铁穿过一个线圈而产生电流。（引起电流的是相对运动，所以你也完全可以转动线圈而不动磁铁；我们很快就会在图 6.2 中看到这套装置。）在科学上又一个独立共同发现的例子中，美国人约瑟夫·亨利（Joseph Henry）在几个月之后发现了同样的事情。

法拉第用一台发电机原型演示了这个非凡的现象，后来别人把它发展成了商业产品。剩下的就是历史了，无论好坏，因为到了 19 世纪后期，世界开始走向电气化。例如在 1880 年代，汤姆森建造的一所房子是世界上最早装有电灯的房子之一；而在德国和意大利，爱因斯坦的父亲和叔叔经营着一家富有创新精神的技术公司，制造和安装发电机，第一次把电带给了企业、公共建筑、街道乃至家庭。当然，今天我们为这样一个事实感到懊悔：大多数大型发电机一直是燃煤的——在没有落水或风力这类自然力时，你需要热来产生蒸汽，以便转动那些产生电流的巨大线圈。尽管如此，我们中很少有人愿意过没有电的日子，所以我们要感谢的不仅是那些正在设计可持续、气候安全的发电方式的现代科学家和工程师，还有那些努力搞清楚这一切究竟如何运作的十九世纪实验家和数学家。

130

当麦克斯韦最初踏上他的电磁学旅程时，把它的数学理清楚已经变得相当棘手。这与在科学中使用类比的利弊有关——在这个例子里，是引力、流体动力学（hydrodynamics）与电之间的类比。我已经提到过引力与静电之间的数学平行关系，但流体动力学——研究流体在力的作用下如何表现——之所以重要，是因为在早期，人们倾向于把电想象成一种流体。这就是为什么他们用“电流”这个词来描述“带电流体”的流动，不管那究竟是什么东西：电子要到十九世纪末才会被发现。但麦克斯韦意识到——这一点很少有人做到——类比会把你引上歧路；事实上，电根本就不是一种流体。尽管如此，他知道，至少在起初，这个类比提供了一条及时而有力的通路，通向着电磁学这一新现象的数学。挑战在于：使用这套数学，却不把它与物理实在混为一谈。

举例来说，另一个与流体有着明显联系的术语是“通量（flux）”。《牛津英语词典》（Oxford English Dictionary）把它定义为“流动或流出的过程”。但在十八世纪和十九世纪初的流体研究中，“通量”获得了一种更特定的含义：在给定时间内流过给定表面（比如管子的横截面）的流体量。你可以把它想成在数每秒离开管子的流体分子的个数——而你可以用质量或体积来度量这个数目。在图 6.1 中，我用体积来表示通量。

一旦你做出这样一个定量的定义，你就可以用数学来定义它。对于流过一根圆柱形管子的流体，通量最终是管子的横截面积与流体速度的标量积（正如你在图 6.1 的图注中可以看到的那样）。在流过任意形状的表面、而不只是有着整齐面积公式的圆面的情形中，这个定义要涉及一个面积分。那是因为你实际上是在把流过表面上每一小片面积元的液体量累加（积分）起来。

131

所有这一切都提示：通量是任何向量的性质，而不只是流体速度的性质。果不其然，正如库仑的静电定律与牛顿的引力定律具有相同的数学形式，正如拉格朗日的势与拉普拉斯–泊松方程可以既用于电也用于引力，通量积分同样被证明可以应用于流体之外的其他东西——包括引力、电和磁。高斯是发展这套数学的先驱之一，所以把穿过一个闭合曲面的引力通量和电通量分别与所包围的质量和电荷量联系起来的那些定律，被称为“高斯定律（Gauss's laws）”。事实上，你可以从高斯定律推出牛顿定律和库仑定律——磁通量也有一个高斯定律。不过这里的主要之点是：所有这些早期的通量应用都涉及积分。但在物理上，真正有趣的事情发生在这些电通量和磁通量变化的时候，因为那正是电磁效应登场的时候。所以，这些变化的通量掌握着电磁学实际应用的钥匙，正如图 6.2 中电动机与发电机的示意装置那样。

这一切究竟是怎样发生的、又该怎样用数学表达出来，正是包括法国的安培和奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）、英国的格林和汤姆森、以及德国物理学家威廉·韦伯（Wilhelm Weber）在内的一大批研究者想要搞清楚的问题。麦克斯韦把他们全都读了一遍，并欣赏他们各自不同的发现与假说。然而，这些名家中没有一位成功地找到了一个完备的电磁学理论。

132

133

现在我们开始看出，麦克斯韦在哲学上所受的训练如何显现出来——更不用说他的天才了。虽然不同物理现象之间的类比确实可能非常有用，但它们带着隐含的假设——而麦克斯韦意识到，他的前辈们对数学工具的选择，连同那样多的积分，体现出的是最大的那个假设。因为大多数研究者都假定引力、电、磁和电磁全都以超距的方式作用——从一个物体瞬间直接跃到另一个物体，从一个带电粒子或一块磁铁跃到另一个，也从动着的磁铁跃到导线、从载流的导线跃到磁铁。麦克斯韦是唯一清楚地认识到这一点的人：我在这里谈到的通量和其他积分，被默认地体现着超距作用，因为它们只关注那些构成积分的积分限或积分边界的点、线和面。举例来说，引力或电力 F 在把一个物体从点 r₁ 移到点 r₂ 时所做的功，由 $\int _{r_{1}}^{r_{2}}\boldsymbol{F\times dr}$ 给出；当你执行这样一个积分时，你只需要积分限——你不需要知道关于 r₁ 与 r₂ 之间路径的任何事情。¹⁵ 所以你可以看出，对于那些相信全部作用都发生在两点上、从一个点瞬间相互作用到另一个点的人来说，这类积分正是合适的工具。再举一个例子：在（现代版本的）牛顿的那个证明——两个球形物体（比如太阳和一颗行星）之间的引力吸引，表现得就像它们的质量全部集中在各自的中心——中，你也只需要积分限。你可以看出这为什么暗示了超距作用：就好像在这两个中心点之间没有发生任何引力方面的事情。麦克斯韦意识到，同样地，他的前辈们所使用的那样多的电磁积分，都没有考虑到任何可能进行着的过程——那些过程不只是在边界上，而且也在中间的或周围的空间之内。也许这就是为什么没有人能够破解电磁学的密码。

但这一切即将改变。在一年仔细的研读之后，麦克斯韦已经准备好把主流数学家们的著作放到一边，转而拾起一个彻底的局外人提出的想法。

一个绝妙的想法¶

134

法拉第早在 1831 年——麦克斯韦出生的那一年——就以实验的方式发现了电磁感应。然而就数学理论而言，自学成才的法拉第跟不上线积分、面积分、高斯通量定律等等那些花哨的数学谈论。他十三岁离开学校，跟和善的装订商乔治·里博（George Riebau）做学徒；里博是在大革命期间从法国逃出来的。法拉第初到里博的作坊时几乎不会读也不会写——他的家庭属于一个原教旨主义的基督教教派，那个教派对学问没什么兴趣，因为《圣经》就是它的权威；而且他常常逃学，躲开那位严厉的校长。但里博鼓励年轻的法拉第在下班后练习，试着去读他们正在装订的一些书——就是以这种非凡而艰辛的方式，法拉第迷上了电，起因是刚装订好的《大英百科全书》（Encyclopaedia Britannica）中的一个条目。他在里博店铺的后面搭起了一个简陋的实验室，去听公开演讲，终于学到了足够的知识，让皇家研究院（Royal Institution）的台柱人物汉弗莱·戴维（Humphry Davy）对他刮目相看——从这里起步，他从实验室的清扫工一路做到戴维的助手，直到最终成为英国在电磁学研究的实用与实验方面首屈一指的专家。

所以，虽然法拉第不太懂数学，但他对电磁学的物理本性确实比大多数人都知道得多——这使他发展出一种独特的进路，去追问在电荷与磁铁之间的空间里究竟发生了什么。他最初得到这个想法，是因为注意到了一件很可能也让你着迷过的事情——如果你上过学校的科学课的话：铁屑绕着条形磁铁的两极排列成整齐的回路。这是因为每一小片铁屑都把自己微小的两极对准条形磁铁的两极，如图 6.3a 所示；而且正如麦克斯韦后来解释的，之所以形成一条条由铁屑构成的线，是因为每加入一片新铁屑，它都必须与自己的邻居首尾相接排列，因为吸引的磁力集中在每一小片磁铁端部附近的两极上。¹⁶

135

看待这件事的传统方式——“超距作用”的方式——是：如果只有一片铁屑在场，一片小小的“检验”铁屑，如图 6.3b 那样，那么它与磁铁之间的力会瞬间相互作用。换句话说，磁力只在磁铁与铁屑之间作用，而且是瞬间作用的。但法拉第推断：即便你把其他所有铁屑都拿走，来自磁铁的力仍然在与此前完全相同的所有位置上作用着——哪怕你再也看不到它的效果。特别是，必然有力一路作用穿过磁铁与那片“检验”铁屑之间的空间——就像所有铁屑都在场时那样。为了描述这个想法，法拉第提出了“力线（lines of force）”的概念，直接与铁屑形成的那些线相类比。就好像铁屑让从磁铁发出的那个不可见的力变得显明了，正如光让水印变得可见一样。

136

铁屑绕着磁铁排列的方式，让人想起像一片麦田那样的东西。当一阵微风吹过田野，每一根麦秆都因风力的作用而弯腰。类似地，法拉第提出：电力和磁力都是通过从带电粒子和磁铁发出的“场”来传递的——他宣称，它们并不以超距的方式作用。这是一个简单而极其绝妙的想法。麻烦的是，他不知道怎样把它变成一个可以做出预言、并且能用进一步的实验来检验的数学理论。于是，尽管他凭借那无可否认地精湛的实验研究立刻赢得了主流的喝彩，他关于电场与磁场的概念却几乎被完全忽视了。

麦克斯韦拿法拉第的场做了什么¶

事实上，在麦克斯韦登场之前，威廉·汤姆森几乎是唯一一位试图给法拉第的想法注入一些数学的资深理论家。十七岁时，汤姆森就在静电效应与热流之间做过一个数学类比，那是改编自约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）关于热的数学研究。于是，麦克斯韦开始自己的电磁学生涯时，是把汤姆森的进路推广到流体上，让河流中的流线与法拉第在磁铁周围、在电荷周围的力线形成类比。

在早期关于热与流体流动的研究中，傅里叶、牛顿、欧拉（Euler）这样的人其实已经凭直觉领会了场的概念，尽管是以一种隐含的方式。但他们确实有这样一个想法：流体的每一个粒子都有一个速度（和一个温度）；这与法拉第的想法相似，即在带电体或磁铁周围空间中的每一个点上，如果放上假想的单位检验电荷或铁屑，就有电力或磁力作用在它们上面。实际上，法拉第关于力线的想法比他关于场的想法更清楚，而首先在物理学中给出这个概念的定义的是汤姆森：他在 1851 年说过，每当一个空间中的每一点都存在着确定的磁力时，你就有一个“磁力场（field of magnetic force）”，或者更简单地说，一个“磁场（magnetic field）”。当然，对“电场”也是如此。¹⁷

麦克斯韦把他的论文——他关于电的第一篇论文——命名为《论法拉第的力线》（"On Faraday's Lines of Force"），并在 1855—56 年的冬天分两部分提交给剑桥哲学学会（Cambridge Philosophical Society）。（1855 年，他终于在剑桥拿到了研究员职位！）论文后来发表时，他给法拉第寄去了一份。六十四岁的法拉第早已对主流拒绝他的场想法感到厌倦，所以你可以想象，当他发现二十四岁的麦克斯韦终于使它活了起来时，他是多么欣喜。法拉第热情地回了信，两人成了朋友。

137

麦克斯韦同时还在照料他深爱的父亲，父亲于 1856 年 4 月去世。他把悲痛倾注在一首诗里，然后尽他所能地继续下去，承担起格伦莱尔新领主的全部职责。（也有其中的乐趣：麦克斯韦一向与庄园的佃户相处得很好，而且他和父亲曾为那些想提高阅读能力的人办过一个项目。）几周之后，他终于得到了一个教授职位，在阿伯丁的马歇尔学院（Marischal College）——他击败了阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）得到了这份工作；凯莱在做律师多年之后正试图重返学术界——也击败了泰特。¹⁸ 两年之后，他与学院院长的女儿凯瑟琳·迪尤尔（Katherine Dewar）结婚。和哈密顿的妻子海伦一样，凯瑟琳在宗教信仰上十分严格；而麦克斯韦，也与哈密顿一样，对灵性有着更宽广的看法，尽管两人都是虔诚的基督徒。

在接下来的十年里，又有了许多别的论文，麦克斯韦不断打磨他关于法拉第的场的概念，直到最后，他准备好了发表他那份激进的电磁学场论。它包含我提到过的势与通量的思想——但它包含的积分相对较少。取而代之的是许多导数，以及“偏微分方程”——即涉及对 x、y、z 求导的方程，比如我前面给出的拉普拉斯算子中势的那些导数。

当然，他并不是唯一使用微分方程的人——自牛顿以来，人们一直在物理学中使用它们。只不过，他比任何人都更清楚什么时候该用哪一种微积分、以及为什么。他仔细地解释了自己在电磁学中偏爱导数的理由，指出线积分和面积分只关注诸如两个相互作用的粒子之间的距离、以及“这些物体上的带电或电流”这样的事情——如果你假定电力和磁力是以超距方式作用的，那当然没问题——而偏微分方程则展示事情如何在物体周围的整个空间中变化。所以他提出，这类方程是表达变化着的电力、磁力与通量产生电磁效应的那种方式的自然工具。场——不管它是由什么构成的——通过这些变化在空间中起中介作用，正如麦田对穿过它的、像波一样荡漾的微风起中介作用。¹⁹

• • •

138

麦克斯韦是第一个把法拉第关于磁感应的发现——由相对运动着的磁铁感生出电流——写成符号化数学形式的人。让磁铁穿过一个线圈，或者让线圈在一个磁场中转动，都会改变磁通量——也就是法拉第所想的、从磁铁穿过一圈导线的“力线”的数目，正如你在图 6.2 中可以看到的那样；麦克斯韦必须找到正确的方程，把这个变化着的磁通量与所感生的电流量联系起来。这就是今天所称的“法拉第定律（Faraday's law）”。

然后是“安培定律（Ampère's law）”，即奥斯特那个发现的数学版本，用变化的电流所产生的磁力来表述。麦克斯韦通过更仔细地定义电流，并进而展示它与变化着的电通量之间的关系，扩展了安培在这方面的研究。²⁰ 我前面讲过作为面积分的通量，而安培用的也是面积分（以及线积分），因为他是在超距作用的传统中工作的。所以，麦克斯韦不仅需要补全安培的结果，还需要把这些积分改写为导数，以便表达场的概念。

还有更多东西需要描述和定义——包括静电与静磁的高斯–库仑定律，麦克斯韦现在必须用场的语言把它们重写一遍。因为即便你只是让一个电荷或一块磁铁静静待在那里，平方反比定律也展示了从它们各自发出的力如何随距离而变化（“静态”的意思是力不随时间变化）——所以对于这些定律，导数也是一种自然的语言选择。在条形磁铁周围的磁场中，你可以从铁屑的排列上看到这些变化：铁屑在力最强的两极附近聚集，而随着力因距离而减弱又散开——如图 6.3a 和图 6.3c 所示。

139

麦克斯韦怎样从传统的超距作用积分转变为偏微分场方程，其中的关键就在于“积分学基本定理（fundamental theorem of integral calculus）”——你可能还记得学校里学过它，不过我会在下一条尾注里把它讲明白。在那里，你也会瞥见麦克斯韦对斯托克斯定理的绝妙运用，那个定理曾在史密斯奖考试中出现过——而且你会看到他如何运用现在（在向量之后）被称为“散度定理（divergence theorem）”的东西，那是由高斯、格林以及俄国数学家米哈伊尔·奥斯特罗格拉茨基（Mikhail Ostragradsky）开创的。²¹

我们会在下一章看到麦克斯韦方程组，不过这里的要点是：首先，在他那篇关于电磁场的里程碑论文中——他在 1864 年底提交给皇家学会、并于 1865 年 1 月发表在其《哲学汇刊》（Philosophical Transactions）上——他第一次正式地把电与磁统一了起来。

其次，与高斯、斯托克斯等人一样，麦克斯韦只使用了斯托克斯定理和散度定理的分量形式（他并没有把它们写成你今天在教科书里看到的那种紧凑的整体向量形式）。所以，在他 1865 年的论文中，他找到的是他为描述电磁场所定义的各个量的分量之间的关系。换句话说，他还没有用完整的向量形式来表述他的理论。不过他确实谈到了既具有方向又具有大小的量，所以他确实创造了一种向量性的电磁理论。在泰特的帮助下，他将在短短几年之后走向哈密顿式的整体向量微积分。

140

1865 年在物理学史和数学史上是重大的一年，在美国历史上也是，因为血腥的内战终于结束了。恰如其分的是，后来帮助把麦克斯韦方程组改写成现代（后哈密顿的）向量记号的人之一，就是约西亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs），他的父亲长期为废除奴隶制而奔走。战争期间，年轻的吉布斯正在耶鲁完成他的工程学博士学位——那是美国第一个工程学博士学位。又过了十年他才发现麦克斯韦，又过了差不多十年他才在向量的历史上留下自己的印记。所以，我在整个故事中一直试图表明的一件事就是：思想要发展起来、要找到自己最好的形式，需要多么长的时间。我想，了解这一漫长旅程中的某些东西，可以帮助那些正在苦苦掌握某个思想的学生，因为它表明早先的数学家也曾这样挣扎过。但它也能帮助显示某些我们现在也许视为理所当然的具体思想的威力——而在把它们视为理所当然的同时，我们也许会错过那份威力的一部分。

举例来说，麦克斯韦选择用微分方程来表示电磁现象的行为，但这些方程在数学上等价于早期的电磁学先驱们——假如他们成功了的话——本可能发展出来的那些积分方程；事实上，麦克斯韦方程组的积分形式今天仍常被使用。（这种等价性正是上一条尾注里那个“基本定理”的用武之地。）差别在于解释，尽管今天，无论你用哪一种微积分形式，场的观念在物理学中都是至高无上的——因为正如法拉第、汤姆森和麦克斯韦所表明的，一个“场”不过是某个特定量的值在空间中的分布。举例来说，此刻你周围空气的温度记录就是一个“标量场（scalar field）”——一组表示空间中每一点温度大小的数值；而作用在整个场中放置的一个个小单位检验电荷或铁屑上的电力与磁力则是“向量场”，因为在每一点上，这些力都既有大小又有方向。（换句话说，向量与向量场的区别在于：向量是在一个给定点上定义的，而向量场则给相关空间中的每一个点都指派一个向量。）然而，正是麦克斯韦对微分学的选择，使他不仅能够用数学定义电磁场，而且能够做出一个出人意料、影响深远的发现——一个彻底改变了我们彼此沟通、以及与宇宙本身沟通的方式的发现。

141

一次不可思议的推演¶

当麦克斯韦在 1865 年发表他的电磁场方程时——那是十年艰苦工作与深思熟虑的结果——他已经正式地把电与磁统一了起来。然而，尽管这是一项辉煌的成就，事情并没有到此为止，因为他还从他的场方程中推演出了电磁效应不以超距方式发生的原因。它们是以横波的形式传播的，正是托马斯·杨（Thomas Young）通过那个著名的双缝实验为光所判定的同一种波。

而且，麦克斯韦发现，他那些理论上的电磁波的速度也差不多正好与光速相同。（我说“差不多”，是因为当时难以做出精确的测量。）这是一个太美妙的巧合，无法忽略——而且它证明了麦克斯韦关于导数的那个直觉，既深刻又简单。最早的横“波动方程”是一个微分方程，在一个世纪之前就被推导出来，用以描述拨动的琴弦振动的方式——但这条非凡的新数学平行，正如麦克斯韦谦虚地表述的那样，提示出“光本身（包括辐射热，以及别的辐射，如果有的话）就是一种电磁扰动，以波的形式、按照电磁定律在电磁场中传播”。他一举统一的不仅是电与磁，还有光。他甚至指出了“其他辐射”存在的可能性——这是一个撩人的预言，它把海因里希·赫兹（Heinrich Hertz）这样的人引上了发现无线电波的道路。

正如爱因斯坦后来所写的那样，想象一下麦克斯韦在把电磁学与光联系起来时的感受吧！“世界上没有几个人曾被赐予这样的体验，”他补充道。麦克斯韦本人曾在 1865 年 1 月写给表弟的一封信中，以他特有的低调方式私下表达了他的激动：几乎是顺带一笔地，他加了一句：“我还有一篇论文正在流传，是关于光的一个电磁理论的，除非有人能让我相信相反的情形，否则我认为它非常了不起。”他并不惯于自夸，所以你可以想见，当他做出他那不可思议的推演时，一定有多么激动人心。²²

142

麦克斯韦关于光的电磁本性的重大发现，只有凭借他对数学语言的巧妙选择才有可能。²³ 这并不是说它一开始就被热烈地接受了。主流的问题在于：法拉第对场的概念是用细致的数据、而不是方程来表达的，而现在麦克斯韦的理论则完全用方程来表达——对于场究竟是什么，没有任何可供构想的物理模型。这与当年困扰牛顿引力理论的回应一模一样。在更早的若干论文中，麦克斯韦确实提出过几种力学模型，也许可以解释场是什么、以及它怎样传递电磁效应，但他知道没有办法证明其中任何一个的存在。他相信，场的推论的数学应该就够了——正如牛顿也知道，只要他的方程准确地描述了引力的效应就够了，哪怕他并没有解释引力本身。

尽管如此，麦克斯韦仍在不断思考怎样才能更清晰地表达他的场。在他 1865 年那篇论文的开头，他曾说过，找到一种电磁学理论的第一步，是要“确定作用在物体之间的力的强度和方向”——正如牛顿当初着手定义力时所做的一样。那是一种向量性的进路，但还不是一套完整的向量理论，因为麦克斯韦还没有研读过四元数。但这一点即将改变——在他的老朋友泰特的帮助之下。

四元数，终于¶

143

在麦克斯韦发展法拉第的场这一想法的那些年里，泰特一直在研究热的数学。如果 T 是温度，那么“热方程”把 T 的拉普拉斯算子与 $\frac{\partial T}{\partial t}$ 联系起来，于是它展示了温度在随时间变化的同时如何随空间变化——比如你端着早晨的咖啡从厨房走出来时，它一路冷却的过程。傅里叶在 1822 年发表了热方程，随后又在气候科学的奠基文献——他 1827 年的论文《论地球球体与星际空间的温度》（On the Temperatures of the Terrestrial Sphere and Interplanetary Space）——中使用了它。如前所述，汤姆森是通过改编傅里叶关于热的工作而做出第一个电场类比的；而今天，它那个展示事物如何扩散的公式有着无数的用途，从工程学到政策制定（因为思想也能扩散）。不管怎样，1857 年，泰特突然想起了四年前在那次狩猎之旅中读过的哈密顿《四元数讲义》里的某样东西。哈密顿曾把拉普拉斯算子铸成向量形式，方法是定义一个“向量算子（vector operator）”，他把它表示成下面这样（只不过他用的还是普通的 d，而不是当时才刚刚开始流行的现代弯 d）：

\[\vartriangleleft=i\frac{\partial}{\partial x}+j\frac{\partial}{\partial y}+k\frac{\partial}{\partial z}.\]

如果你学过向量微积分，你会认出这就是今天的记号中的

\[\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k}\]

（正如我在序言中提到的，现代还有其他表示向量的方式，比如在字母上方加帽号或横杠、或者在下方加波浪线，但粗体既醒目又容易输入，所以在现代教科书和论文中很常见。）不管怎样，你面对的是一套笛卡尔坐标系，所以我们很快就会看到，无论你用单位虚数 i, j, k 还是用单位向量 i, j, k 作为你的向量算子的基，你本质上得到的是同样的结果。

泰特立刻开始着手，在他关于热和电的工作中应用这种新型的算子，并在这个过程中把哈密顿的符号 ⊲ 变成了 ∇。泰特还把这个符号与一个名字联系起来——“纳布拉（nabla）”；这是他的助手威廉·罗伯逊·史密斯（William Robertson Smith）的建议，因为“nabla”是希腊语中一种古亚述竖琴的拉丁转写，那种琴有着类似 ∇ 的倒三角形形状。（后来，吉布斯会用“del”取代哈密顿的“nabla”——显然是因为 ∇ 也像一个倒过来的希腊字母“delta”。今天这两个名字都在使用。）至于现代 ∇ 表示中的粗体，它将在这位反传统的奥利弗·亥维赛（Oliver Heaviside）最终进入我们的故事时走进历史。不过我在这里引入它，是因为我认为它能让现代读者更容易看出——泰特当然看出来了——哈密顿的那个算子本身就是向量性的。

144

这意味着，举例来说，它能把一个普通的（标量）函数，比如势，变成一个向量。前面我提到过，如果一个力有一个势 V，那么这个力的笛卡尔分量就是 $\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}$。这些正是你把 $\nabla=i\frac{\partial}{\partial x}+j\frac{\partial}{\partial y}+k\frac{\partial}{\partial z}$ 或者现代的向量版本 $\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol{j}+\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol{k}$ 代入进去所得到的分量。所以，与其通过列出分量来写这个力，

\[F=\left(\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}\right),\]

你可以把它写得更加简单、更加通透：

F = ∇V,

或者像泰特、以及后来的麦克斯韦那样写成 F = ∇V。

它更简单，因为这是表示 F 的一种更紧凑的方式，在你书写或编程时能节省时间和空间。它更通透，是因为它把这个力表示为一个整体向量，而不是把它的分量分开罗列。这使得我们更容易看出，这个问题是关于力与势这样的物理概念的，而不只是一串数值（分量）值。这是一个微妙之点，我们故事中的某些人物要花很长时间才能理解它。

抛开物理不谈，既然 ∇ 是向量性的，你也可以取它与自身的标量积，把拉普拉斯算子写成 ∇ ∙ ∇，或者像哈密顿那样写成 ∇²，我们今天也这样写。所以，举例来说，拉普拉斯方程就变成

∇²V = 0,

这比 $\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=0$ 更整洁。

145

你也可以取纳布拉与另一个向量的标量积——也可以取向量的或者说叉的积。我们在下一章会看到更多这方面的内容。它将使泰特得以用这些纳布拉运算把斯托克斯定理和散度定理写成整体向量微积分的形式——而且他将是第一个这样做的人。不过首先，他一头扎进了哈密顿的书。他对四元数及其向量微积分算子能在物理学中扮演的角色如此兴奋，以至于他问哈密顿是否介意与他通信。哈密顿当然是欣喜地找到了一个数学上的知音。在 1858 年他们通信之初，他告诉泰特那个奇妙的日子——四元数的秘密在布鲁姆桥上闪电般显现的那一天；他还补充说，他的孩子们此后就把那座桥叫作“四元数桥（Quaternion Bridge）”。²⁴

到 1859 年，哈密顿已经感到足够自在，可以与泰特分享相当私人的情感了，就像他与德摩根（De Morgan）那样——包括讲述他当初得知初恋凯瑟琳·迪斯尼（Catherine Disney）嫁给别人时所感到的绝望。（是多年之后，她才告诉哈密顿，她爱过的只有他，是她的父母逼她做了一桩更“合适”、最终却不幸的婚姻。）但正如他对泰特说的：“那些日子已经过去了：幸而？是的，就多了一点点理智、少了一点点情感而言。”²⁵ 看来他读过简·奥斯汀（Jane Austen）的《理智与情感》（Sense and Sensibility）！无论如何，五十四岁的哈密顿是满足的。

二十八岁的泰特似乎也很满足。他两年前与玛格丽特·波特（Margaret Porter）结了婚，而且他也陶醉在自己的工作之中。除了在贝尔法斯特的教学，他还在 1859 年发表了他的第一篇四元数论文（关于波）。随后在 1860 年，他赢得了晋升，成为他和麦克斯韦的母校爱丁堡大学的自然哲学教授。麦克斯韦也申请了这个职位，但无论对错，泰特被认为是一位更出色的讲演者。J. M. 巴里（J. M. Barrie）在因《彼得·潘》（Peter Pan）而成名之前是泰特的学生，他声称泰特是有史以来最了不起的演示者。他回忆说，上课时泰特“那双闪烁的小眼睛里有一种迷人的光芒……我曾见过一个人在泰特的目光下惊得往后倒退。”然而，巴里接着说，那双眼睛也能“像男孩子一样欢快”——尤其是当“他把一根水管对准一群学生时，那些学生非要挤得离一个实验太近不可”。不过麦克斯韦也有他的学生粉丝——比如未来的天文学家戴维·吉尔（David Gill）就描述过，麦克斯韦在课后会与感兴趣的学生一起留上好几个小时。至于泰特与麦克斯韦本人，从他们彼此的通信来判断，这种职业上的竞争对他们的友谊毫无影响。毕竟，他们从中学时代起就是朋友兼对手。²⁶

我们会在下一章看到他们那古怪通信中的一些片段，因为泰特即将因他在四元数上的工作而成名，而麦克斯韦即将向他连珠炮似的发问。他会把这些答案用进他的《电磁通论》（Treatise on Electricity and Magnetism）——而这本非凡的书将为通向现代向量微积分的最后一步铺好场景。

关于麦克斯韦生平与工作的通俗叙述，见我的 Einstein's Heroes: Imagining the World through the Language of Mathematics (St. Lucia: University of Queensland Press, 2003; New York: Oxford University Press, 2005)。 ↩
泰特那封激动的信：Cargill Gilston Knott, The Life and Scientific Work of P. G. Tait (London: Cambridge University Press, 1911), 9。关于荣誉学位考试：八天十六场考试的数字出自 1854 年（麦克斯韦那一年）：D. O. Forfar, "What Became of the Senior Wranglers?" Mathematical Spectrum 29, no. 1 (1996)；可查 www.clerkmaxwellfoundation.org。 ↩
麦克斯韦在剑桥：Lewis Campbell and William Garnett, The Life of James Clerk Maxwell (London: Macmillan, 1882), 94–95。（有 1997 年 Sonnet Software 出的数字版。） ↩
这首诗——全名是 "A Vision of a Wrangler, of a University, of Pedantry, and of Philosophy"——发表于 Campbell and Garnett, Life of Maxwell, 307。 ↩
麦克斯韦任考官：Campbell and Garnett, Life of Maxwell, 175。 ↩
泰特论麦克斯韦：讣告，Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 10 (1878–80): 331–39。他父亲写给麦克斯韦的信：Campbell and Garnett, Life of Maxwell, 109。他的老教师：David O. Forfar and Chris Pritchard, "The Remarkable Story of Maxwell and Tait," James Clerk Maxwell Commemorative Booklet (Edinburgh, 1999), 3。 ↩
论斯托克斯定理：麦克斯韦在他的 A Treatise on Electricity and Magnetism (Oxford: Clarendon Press, 1873), 1:27 中把证明归功于汤姆森和泰特（并提到它最早出现在史密斯奖考试中）。汤姆森很可能是该定理的提出者，因为他在 1850 年写给斯托克斯的信中就已包含它。Victor J. Katz（"The History of Stokes' Theorem," Mathematics Magazine [MAA] 52, no. 3 [1979 年 5 月]: 146–56）认为 Hermann Hankel 给出了第一个发表的证明（1861 年），但它不如汤姆森的（1867 年）那样具有一般性。 ↩
作为面积分的圆的面积：设想该圆所围曲面上的一个微小面元 dS，思路是对整个曲面积分 dS 以求面积。这里 x 轴和 y 轴表示定义该曲面的两个维度，所以你可以想象每个方向上的小线段 dx 和 dy，它们围出曲面的一个矩形面积元——因此在面积分中，你是对 dS = dxdy 积分。（因为这个曲面是平面，这其实只是二重积分而非面积分；在面积分中 dS 比 dxdy 复杂，因为需要用向量来求曲面的法线。）把它变换到极坐标（如图 2.2a；原文如此，但图 2.2 并无 a 分幅，疑应为图 2.3a——译者注），并且别忘了坐标变换的雅可比因子，你就得到 dS = dx dy = rdr dθ。沿半径为 R 的圆积分： $\text{Area}=\int _{0}^{2\pi}\int _{0}^{R}rdrd\theta=\int _{0}^{2x}\frac{1}{2}R^{2}d\theta=\pi R^{2}$. 如果你不熟悉雅可比行列式，就极坐标而言，可以设想一个角度为 dθ、半径为 r 的微小扇形：扇形的弧长 s 是 rdθ（因为按弧度的定义，$\frac{s}{2\pi r}=\frac{d\theta}{2\pi}$），而径向元素长为 dr，所以面积元就是 rdr dθ。 ↩
这片园地连同格伦莱尔宅邸及附属建筑的修复得以保存，主要归功于庄园现任主人邓肯·弗格森（Duncan Ferguson）上尉的努力。我有幸在格伦莱尔见到了邓肯，你可以在 http://www.glenlair.org.uk 上看到他和格伦莱尔信托为麦克斯韦与格伦莱尔所做的更多工作。 ↩
麦克斯韦在英国科学促进会会议上，由 William Swan 回忆，见 Campbell and Garnett, Life of Maxwell, 236。 ↩
静止的引力？当然，太阳和行星都在运动，但在轨道上任意给定的一点，它们彼此相对静止，并且相距一个给定的距离。牛顿定律只处理由这一距离和两个质量所产生的力。库仑定律：麦克斯韦在他的 Treatise on Electricity and Magnetism, 1:34, 75 中描述了确立平方反比定律的更精确的实验。 ↩
拉格朗日势的（简化版）数学：功 = 力 × 距离，所以如果移动的距离是在竖直方向（比如说 y），那么 W = f × y。如果力保持不变，这个公式没问题；但对于随距离变化的力，比如引力，你就需要用积分学来把力与增量距离的乘积在物体移动的每一点上“累加”起来。牛顿曾用几何微积分把它定义为力曲线下的面积，但用莱布尼茨的记号则是 $W=\int _{a}^{b}fdy$，得到 F(b) − F(a)，其中 F 是 f 的反导数。（实际上，这只对“保守”力成立，包括引力，它们只依赖于积分的端点；对于摩擦力等其他力，你需要线积分，以考虑起点 a 与终点 b 之间整条路径的特性。）拉格朗日实际上所证明的是 $f=\frac{dF}{dy}$。这正是微积分入门课上所教的微积分基本定理，但拉格朗日把它推广到了三维，使力和移动的距离可以沿任意方向，而不只是上下——于是他发现力具有分量 $\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}$。（“弯尾巴的 d”这个记号在当时还不是标准的，但我用它，以免让现代数学读者感到困惑。）他沿袭牛顿，把力设想为一个向量性的量，但和哈密顿与格拉斯曼之前的所有人一样，他只处理分量，而不处理整体向量。借助功与势能之间的关系，F 被称为与力 f 相关联的“势”。一般来说，力用大写 F 表示，所以势常用的符号是 V。（乔治·格林在 1828 年最先使用了“势”这个术语。） ↩
偏导数：在 $\frac{\partial F}{\partial x}$ 这一项中，F 只对 x 求导，所以这一项告诉我们当 y 和 z 保持不变时 F 如何沿 x 方向变化——另外两项同理。 ↩
“电学中的牛顿”：麦克斯韦，Treatise on Electricity and Magnetism, 2:175。 ↩
这类只依赖于端点、而不依赖于两端之间路径性质的力，被称为“保守”力，因为它们导致能量守恒。例如，对于牛顿引力，运动是径向的，所以平方反比定律可以写成 $m\ddot{r}=-\frac{GmM}{r^{2}};$，写出 $\ddot{r}=\dot{r}d\dot{r}/dr$，积分即可求出该力把物体从点 1 移动到点 2 所做的功： $m\int _{\dot{r}_{1}}^{\dot{r}_{2}}\dot{r}d\dot{r}=-GMm\int _{r_{1}}^{r_{2}}\frac{1}{r^{2}}dr\Rightarrow\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}-\frac{GMm}{r}=\text{constant},$ 这意味着动能与势能之和守恒；该常数由定积分的端点确定。 ↩
麦克斯韦，Lecture on Faraday's Lines of Force，他于 1873 年发表的一次演讲，见他的文集 The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, ed. P. M. Harman, 2 vols. (Cambridge: Cambridge University Press, 1990, 1995), 803。 ↩
汤姆森与法拉第论场：Ernan McMullin, "The Origins of the Field Concept in Physics," Physics in Perspective 4 (2002): 13–39（尤见 14）。这篇论文详细概述了场的概念及其演化，直至麦克斯韦给出第一个成熟的场论。 ↩
马歇尔学院的教授职位：Forfar 与 Pritchard（"Remarkable Story," 3–4）指出，学院的记录已不存在，但据信泰特是麦克斯韦所得那个职位的候选人之一——后来阿伯丁大学的 John S. Reid 在 "James Clerk Maxwell's Scottish Chair," Philosophical Transactions of the Royal Society A (2008), 366, 1661–84, DOI:10.1098/rsta.2007.2177 中确认泰特确为候选人。倘若如此，正如 Forfar 与 Pritchard 所指出的，麦克斯韦与泰特的通信表明二人之间并无芥蒂——无论是在 1856 年，还是在 1860 年（那一年泰特在爱丁堡的职位竞争中胜过了麦克斯韦）。凯莱的申请：Crilly, "Arthur Cayley: The Road Not Taken," 52。 ↩
麦克斯韦解释自己的语言选择：他在 1865 年的论文开头有所暗示（J. Clerk Maxwell, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field," Philosophical Transactions of the Royal Society London 155 [1865]: 459–512），并在他的 Treatise on Electricity and Magnetism, 1:98–99 (art. 95) 以及第 2 卷（第 3 版）176–77 (art. 529) 中作了充分解释。他说，普通积分以及在有限空间上的线积分与面积分适合超距作用的进路，而偏微分方程以及遍及整个空间的（体积）积分则是场的自然语言。 ↩
麦克斯韦对电流的定义及其与通量的关系：他列出了两类电流：一类是导体（比如一圈导线）中的常规电流——电流就是电流密度的通量；另一类是电容器中的有效电流，他称之为“位移电流”，它与电容器极板间电通量的变化成正比。 ↩
把麦克斯韦场方程中的积分化为导数：“积分学第一基本定理”把积分与导数联系起来： $\int _{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$，其中 F (x) 是 f (x) 的反导数。换句话说，$f\left(x\right)=\frac{dF\left(x\right)}{dx}$，前提是相关函数可积／可微！这意味着你可以通过积分从 f(x) 走到 F(x)，或通过微分从 F(x) 走到 f(x)。斯托克斯定理就是这一思想的推广：你可以从（单重）线积分走到（二重）面积分，反之亦然。类似地，你也可以通过如今（在向量之后）称为“散度定理”的东西，从面积分走到体积（三重）积分并再走回来。例如，麦克斯韦就是这样推出静电与静磁的高斯定律的微分形式的（见他的 Treatise on Electricity and Magnetism, 1:68, 79, 98–99）：实验上已知，给定体积内所含的电荷量 e 可以写成电荷密度 ρ 的体积积分： e = ∫∫∫ρ dx dy dz ……我把这个方程称为 (1)。同样已知（由库仑定律）单位试探电荷对电荷 e 施加的力 R 是 R = e/r²，而穿过闭合曲面的电通量为 ∫∫ R cos ε dS = 4πe, … (2) 其中 ε 是力的方向角。麦克斯韦借用法拉第的说法，把 Rcos εdS 称为穿过曲面的“感应”。麦克斯韦把 R 的分量标记为 X, Y, Z，并把它们与下述定理联系起来（现在称为散度定理，但当时它没有名字，而且只以这里所示的分量形式为人们所知）： $\iint R\cos\epsilon dS=\iiint\left(\frac{dX}{dx}+\frac{dY}{dy}+\frac{dZ}{dz}\right)dxdydz$ … (3) 于是麦克斯韦把 (1) 乘以 4π，并令其与 (2) 相等，得到 ∫∫ R cos ε dS = 4π ∫∫∫ ρ dx dy dz.... (4) 最后，令 (3) 与 (4) 相等，并把 (3) 中的闭合曲面取作 (4) 中体积的一个体元，得到： $\frac{dX}{dx}+\frac{dY}{dy}+\frac{dZ}{dz}=4\pi\rho$...(5) 如果你已经熟悉向量微积分，你会认出左端就是 R 的散度，不过我们要等到正文中泰特和麦克斯韦（以及亥维赛）把它写成向量形式时再讲。同时，正如麦克斯韦接着解释的，如果你能把电力写成势 V 的形式，那么 (5) 就变成泊松对拉普拉斯方程的推广。式 (5) 的向量形式，就是库仑定律在今天麦克斯韦方程组中的样子。静磁的结果可类似地推出。我在这里展示的麦克斯韦的推导，清楚地揭示了通量／面积分与散度之间的联系——它类似于麦克斯韦用斯托克斯定理把安培定律和法拉第定律表达为微分方程的方式（见 Treatise on Electricity and Magnetism, 2:29, 45, 147–48, 233, 251, 255）。其中涉及另一个向量微积分运算，不是散度而是旋度；这两个向量运算我们在下一章都会遇到。 ↩
爱因斯坦的引文出自 Albert Einstein, Ideas and Opinions (1954; New York: Three Rivers Press, 1982), 327。麦克斯韦的“重炮”出自写给 Charles Cay 的信，重印于 Campbell and Garnett, Life of Maxwell, 169。 ↩
这是因为一般的波动方程是微分方程；但要导出电磁波方程，你还需要麦克斯韦对安培定律所作的理论改动，也就是加上“位移电流”。 ↩
引文出自 Anne van Weerden, A Victorian Marriage: Sir William Rowan Hamilton (Stedum, Netherlands: J. Fransje van Weerden, 2017), 10, 56, 326。 ↩
Van Weerden, A Victorian Marriage, 326。 ↩
论爱丁堡的职位（以及巴里）：Forfar and Pritchard, "Remarkable Story." 巴里的引文：Raymond Flood, "Thomson and Tait: The Treatise on Natural Philosophy," in Raymond Flood, Mark McCartney, and Andrew Whitaker, Kelvin: Life, Labours and Legacy, Oxford Scholarship Online（2008 年 5 月）: DOI: 10.1093/acprof:oso/9780199231256.001.0001。吉尔论麦克斯韦的教学：Reid, "Maxwell's Scottish Chair," 1673。 ↩

第 6 章 泰特与麦克斯韦¶