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序言

每隔一段时间，我们认识世界的方式就会出现一次惊人的突破。比如，关于人类处在太阳系中心的信念被彻底颠覆；比如那场改变了我们看待时间与空间——以及看待自己在宇宙中所处位置——的方式的相对论革命。又比如电磁无线电波的戏剧性发现，它带来了无线技术，并奇妙地重塑了我们的日常生活；再比如量子革命，带着看似魔法一般的新微观技术，以及对我们“实在”观念的异常粉碎。当然，还有至今仍在改变我们彼此沟通方式的数字革命，尤其是当人工智能已经变得如此先进的当下。这些突破催生出一个又一个技术与文化的新时代，关于它们的著述已经很多。然而较少为人所知的是：这些科学与技术的范式转换，是与同样激动人心的数学革命携手并进的。这本书要讲的，正是其中几场未被讴歌的革命——它们背后引人入胜的思想，以及成就了它们的人。

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我要在这里讲述的故事，其核心是人类记录并理解周遭纷繁数据的方式是如何演化的。具体而言，我要探讨那些催生了“向量”与“张量”这两个非凡概念的激动人心的数学变换，因为它们是现代科学——以及我们许多技术——的基础。它们是这样的语言：借助它们，我们得以揭开宇宙的秘密，宛如神明。

这种惊人力量的一个来源，在于向量和张量让我们能够以一种全新的、清晰的方式处理空间的维度；而这又使得发现新的自然定律、以及这些定律的新技术应用成为可能。任何时候，只要你要利用空间中的位置，就需要处理这些维度——比如转动机械臂，设计桥梁或风力涡轮机；比如计算电动机或发电机中电磁力的效应，预测电磁波、水波乃至引力波的路径；比如绘制卫星的轨迹，校准 GPS 之类的导航系统；或者，几乎任何你需要在空间或时空中加以分析的东西。

随着故事展开，我们会更详细地看到向量与张量的物理威力。但这些语言并不仅仅关乎物理的维度——它们也关乎信息的“维度”。你大概听说过“大数据”和信息革命，而正是向量和张量让数据变得可用、可理解——就像化学元素周期表在化学中既是整理工具又是理论工具一样，只不过我们这个故事里的数学适用范围要广得多。

然而向量和张量本身却出奇地简单——至少表面上看是这样——因为你完全可以从这样一个起点开始：把它们仅仅看作表示信息的巧妙方式。比如你可能还记得，在学校里学过，一个向量可以同时编码一个物理量的大小与方向——比如说速度或者力。于是你可以用一个指向所需方向的箭头来表示它，而箭头的长度就给出大小，或者说“模（magnitude）”。张量则加入了更多信息层次，所以它们更像是多维的数组，而不是箭头。但当数学家发现了这些箭头与数组相互组合的规则时，他们意识到自己找到了一种全新的语言，可以用来思考全新的思想。而这，是一个相当美妙的想法。

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我这么说的一个简单例证是：几千年来，数学家只和数字打交道。实数系统的演化本身已经足够了不起，但这些数字只表达一件事情：量——重量、高度、距离、金额、苹果个数等等的大小。而向量和张量则可以同时编码好几样东西，这正是它们能成为表示大量数据的绝佳方式的原因。这些额外的信息意味着，比起单个数字，向量和张量能为工业或 IT 问题、或者物理模型提供远为丰富的图景。

第一位认识到向量语言威力的重量级物理学家，是那位温和而古怪的十九世纪苏格兰地主詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）。我们后面会正式认识他，不过他的电磁理论是史上第一个现代的场论；他用这个理论一举破解了光的本性这一长期悬而未决的谜题，并预言了无线电波的存在。他最初的理论在直觉上就是“向量性的”，但当他了解到向量其实是一门“有自己数学规则的学问”时，他意识到，向量正是能把他的发现表达得更简洁、更优雅的合适工具。

起初并没有多少人把他当回事：我们后面会看到，他用“向量场”来表示自然的电磁场这一突破性应用，对主流物理学家来说……嗯，实在太数学了，太“不物理”了。可是，如果连麦克斯韦这样出色地应用向量都难以获得承认，那么这门数学语言的创造者们，又该怀有多么强烈的激情与自信啊。

这个故事里的群星之一，是爱尔兰数学家威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton）。“向量”这个词就是他造的，向量的数学理论也是他最先提出的——而且他当时就明白，自己创造的东西新颖到打破了一条数学家们几千年来视为理所当然的规则。然而，在麦克斯韦发表他那了不起的理论之前六年，当他瞥见这门新语言的可能应用时，他简直欣喜若狂。他欢快地写信给一位与他一同研究这个课题的同行：“还能有什么能比这更简洁、更令人满意？难道你没有感觉到——不仅仅是想到——我们走在了正确的轨道上，并且日后会被感谢吗？别在意是什么时候……”¹ 哈密顿在这里说的不仅是

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向量，还包括他发明的四元数（quaternion）——一种包含着向量的四维“数字”。我们后面会看到，凡是向量能做的事，四元数都能做，但在航天器制导和图像处理等任务中，四元数的编程效率更高——这还只是两个现代应用的例子。

可怜的哈密顿始终没有得到足够的感谢：他于 1865 年去世，仅仅在麦克斯韦发表电磁理论几个月之后，而在他能够把这套理论改写为完整的向量语言之前。²

至于张量，麦克斯韦在它们发展出来之前就去世了，但我敢打赌，他也会认识到它们的威力。他去世的同一年，爱因斯坦出生了——这尤其具有象征意义，不仅因为爱因斯坦的理论受麦克斯韦启发，也因为爱因斯坦对张量所做的，正是麦克斯韦对向量所做的：他是第一位展示出张量实际威力的重量级物理学家。张量使他得以创造出弯曲的时空，开创了现代宇宙学这一学科；也使他得以预言引力波和引力透镜的存在，并精确量化引力对时间的影响——这种量化如今正被用于让 GPS 导航变得如此精准。

实验物理学家花了四分之一个世纪才在实验室里验证麦克斯韦关于无线电波的预言，又花了一百年才探测到爱因斯坦的引力波。这说明这些基于向量和张量的理论超前到了什么程度。这种做出预言的能力，正是数学语言令人兴奋的地方之一。就好像用数学描述物理实在这一行为本身造出了一面放大镜，透过数学的模式，揭示出长久隐藏着的底层物理属性。我们会在后面看到具体的例子，不过这里我只想补充一句：量子理论同样出色地运用了向量和张量——而且到目前为止，它的预言没有一个被证伪。

既然向量和张量是存储与使用信息的方式，它们的用途当然远远不止于物理学。正如我前面暗示过的，它们正在越来越多需要处理大量数据的领域中发挥基础性作用——从工程学、遗传学到搜索引擎和人工智能，中间还有许多许多。

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然而这些数学思想全部威力的展开过程如此令人惊叹、影响如此深远，以至于我把它们的发现当作一场场革命。把张量看作向量的推广是有帮助的，但那是事后之明：从向量语言的雏形，到一种把向量和张量都严格纳入其中的成熟语言，花了三百年。而为了得到向量概念最初的那一点萌芽，此前又已经过去了许多世纪——事实上，如果我们追溯到现存最古老的数学记录，那是数千年。因为向量与张量的历史，是与数据符号表示的历史交织在一起的；而这些古老的文献表明，找到表示信息的方法，正是数学故事本身的核心。

所以，我要从这个故事的源头开始，做一次简短的回溯。当然，我对这段漫长历史的讲述——无论是在这里还是在后续各章中展开的部分——不可能是穷尽的。它必然是有选择的，也带着我的主观。我的目标之一，仅仅是想说明：精密的数学思想要发展起来，需要多么长的时间，又需要多么多的跨文化合作。通向今天被广泛使用的现代向量分析与张量分析，是一条漫长而曲折的道路；而我要讲的故事，是一次思想的旅程——这些思想常常令人意外，有时也平淡无奇，但从一开始，它们始终充满了可能性。

不过，如果在全书的任何地方你觉得想跳过细节、继续往下看故事，那也完全没问题！

回到起点

大约五千年前，生活在今天伊拉克一带的人们开始把信息记录下来：他们在黏土块或泥板上刻下楔形的符号。这些奇怪的符号被称为“楔形文字（cuneiform）”。能够记录并控制货物、土地这类有形之物的交换，其所带来的经济与行政权力，在当时一定显得不可思议。但此后又过了一千年——并且借助了手指、石子，以及后来的算盘和数表这类计算工具——抽象的数系统与算术规则才发展出来。

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这套楔形数学的发明者，生活在底格里斯河与幼发拉底河之间肥沃的平原上——一千年后的希腊人把这片区域称为美索不达米亚（Mesopotamia，意为“两河之间”）。这里先后出现过若干相互关联的文化，因此“美索不达米亚的”这个说法至今仍被用来统称这片在农业与思想上都很富饶的地区所发展出的古代数学及其他文化创新。当然，从简单计数发展到精密的数值算术，并非只有这里一处。但我们对美索不达米亚数学的了解，远远超过其他早期文化，原因很简单：那些了不起的泥板文献有如此之多留存了下来。

其中一些年代最久远的、较为精密的数值与数学泥板，出自将近四千年前，上面刻着乘法表。这类东西竟然存在了这么久，似乎令人惊讶；不过，当然了，你要完成基本的经济事务，就需要会加会乘。历史学家之所以能深入了解那些早期事务的性质，是因为这些运算本身也被记录在泥板上。耐人寻味的是，这些最古老的文献中，有些是列出各种方形或矩形田地边长、并各自配上其面积的数表——正是这种表格式的布局，后来演变成了数学中的矩阵。而简单的信息清单会演变成向量——不过这种种数学上的“变形”，我们后面再细说，因为它将向我们展示数学家如何从简单的会计清单，一步步走向对电磁波、或者支撑量子计算机的量子比特这类复杂事物的建模。同时，这些古老的数表对于估算可能的谷物收成、种子需求量、耕种所需劳动量，以及要支付的工资与赋税，都是不可或缺的——任何一个大型社会要生产和分配食物及其他必需品，都需要处理这类事情。³

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在这些发达的美索不达米亚社会中最早的那些里，让经济正常运转所需的田地面积估算并不需要精确。测量者可以用木桩和绳子把田地标示出来，然后测量其边长，但他们不必操心把地块弄得完全是矩形，因为反正土地全部归国家所有。然而大约从公元前 1900 年起，情况开始变化，不久之后普通民众也可以拥有土地了——这意味着测量必须变得更精确，因为土地纠纷很快就要开启它们漫长的历史。（相比之下，许多原住民民族一直沿用着古老的方式，直到殖民活动打破了这种平衡。）于是，在最早的乘法表帮会计们计算近似正方形与矩形面积的几百年之后，美索不达米亚的测量者弄明白了怎样做出完美的 90° 直角——这提示他们可能比毕达哥拉斯早一千年就发现了“毕达哥拉斯定理”。

一代又一代的学童背诵过这条古老的法则：“斜边的平方等于两条邻边平方之和。”毕达哥拉斯生活在公元前六世纪，但距今约三千七百年前的楔形泥板——其中最著名的是编号为普林顿 322（Plimpton 322）和 Si.427 的那些——包含着有力的证据，表明这条法则远比它的希腊命名者古老。普林顿 322 泥板（图 0.1）已经破损，但幸存的部分列出了十五组数字，涉及直角三角形的对角线与较短的那条边。所用数字的选择以及表格各栏的标题提示我们，这很可能是一份隐含的、六十进制的“毕达哥拉斯三元组（Pythagorean triple）”清单——即测量者可以从中挑选的一组整数三元组。例如，(3, 4, 5) 就是一个毕达哥拉斯三元组，因为 3² + 4² = 5²。Si.427 号泥板支持这一解释：它是一幅把一块私有地块细分为矩形与三角形田地的平面图——每一块都有完美的直角，尺寸也都符合毕达哥拉斯定理。⁴

图 0.1　图 0.1　普林顿 322 号泥板。这块了不起的泥板在哥伦比亚大学的 G. A. 普林顿收藏中编号为 322。遗憾的是，这块泥板同时也代表着殖民掠夺，因为普林顿是在 1922 年从一位兼做古董商的考古学家手中买下它的。摄影者不详。维基共享资源，公有领域。

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一千年后，讲古希腊语的数学家们感兴趣的是测量各种各样的角度，而不只是 90°，因为他们想测量的不仅是大地，还有星辰。数学之外，天文学是最古老的科学。毕竟，浩瀚而璀璨的夜空是一件令人惊叹的事物。由于没有办法测量到恒星的距离，这些古希腊天文学家想到，可以通过测量角度来确定它们的位置——于是他们也发现了两件关键的事情。第一件是三角学。这并不是说更早的文化没有某种形式的角值表和“三角”计算——历史学家至今仍在解读和争论楔形文献。但现存最古老、最明确的三角函数表，保存在克劳狄乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy）那部有着 1850 年历史的古希腊数理天文学巨著《天文学大成》（Almagest）之中。（如果你已经忘了三角学的基本思路，可以翻到后面第 3 章的图 3.4。）第二件是，希腊人发展出了用坐标来表示空间中位置的想法——这是一项了不起的创举，与向量的雏形大有关系。

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不过在进一步谈这个之前，我想用接下来几段向其他与我们的故事相关的古代数学文化致意。比如，讲希腊语的托勒密生活在罗马统治下的埃及亚历山大港——这提醒我们，随着帝国的扩张与覆灭，往往会接踵而至残酷的动荡；也提醒我们，在数学史上，“希腊的”指的是讲希腊语的数学家的工作，无论他们的种族、族裔或居住地为何。它也提醒我们想起亚历山大港著名的女性数学家希帕提娅（Hypatia），她在三个世纪后为《天文学大成》写过注释。既然我在强调现代数学的多元文化史，那就该指出：《天文学大成》（Almagest）是个阿拉伯语词，意思是“最伟大的”——这个词长期以来一直是人们用来称呼托勒密这部汇编的非正式别称，以便与同时代的其他著作区分开来。这部真正“最伟大”的著作能留存至今，很大程度上要归功于中世纪的阿拉伯译者与注释者，因此它此后一直以阿拉伯语的名字为人所知，也是恰如其分的。

和美索不达米亚人一样，古埃及人早在约五千年前就开始表示数字了——他们用的是象形符号——他们同样也对丈量土地感兴趣。当然，希腊人也不是最早观测天空的：美索不达米亚人、埃及人以及许多其他古代民族都曾绘制月亮与星辰的轨迹，以便制定历法、取悦神灵、在陆地与海上导航，并留意重要的巧合——比如每年尼罗河开始泛滥时，明亮的天狼星恰好在黎明前升起。

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埃及与美索不达米亚的天文记录似乎是属于算术性的，而非三角学性的——它们记录的是天象之间相隔的天数，而不是星辰与行星在不同时刻的角位置。但这些记录相当精确，以至于后来讲希腊语的天文学家乐于加以利用。这一时期的大多数文化没有留下天文观测的书面记录，但有些仍保存在传说之中——比如托雷斯海峡岛民关于贝达姆（Baidam，或作 Beizam）即“天上的鲨鱼”的传统。这条“鲨鱼”就是希腊人称为“熊”的那个星座，也就是大熊座（Ursa Major）或北斗七星；它在夜空中的位置告诉人们何时该种植作物——以及何时该远离大海，因为鲨鱼正在繁殖！此外还有巨石阵（Stonehenge）、纽格莱奇墓（New Grange）以及其他与天文方位对齐的古代礼仪建筑，包括位于澳大利亚瓦塔隆（Wathaurong）人乡野中的伍尔迪·尤昂（Wurdi Youang）石阵，它很可能比中东和欧洲的同类建筑还要古老数千年。中国人、印度人、玛雅人、印加人以及许多其他民族，同样发展出了令人印象深刻的天文学知识——2017 年，国际天文学联合会为承认所有这些古代文化的贡献，在新的恒星命名体系中纳入了八十六个原住民的星名。⁵

至于古代对数学的贡献，我们将在接下来的两章里再多看到一些。但现在让我回到坐标，以及它们与向量的关系。这就把我带回到托勒密：他留给我们的，不仅是现存最早的数理天文学的精密记录，也是最早使用坐标表示空间位置的记录。我不能把功劳全给他——无论是对他的天文学还是他的坐标而言，因为卓越的思想要结出果实，需要漫长的时间，也需要许多人的贡献。但托勒密非常善于给予先行者应有的承认——这对先行者们来说也算幸事，因为他们的大部分著作后来都失落于霉斑、虫蛀、意外与战火，还因为《天文学大成》太过成功，早期的著作就被弃之不顾了。⁶ 亚历山大港的欧几里得（Euclid）是个显著的例外，他那部著名的《几何原本》（Elements）的内容完整保存了下来。欧几里得在约公元前 300 年写成此书，比托勒密的《天文学大成》早约 450 年，它给出了我们至今仍在使用的、理解日常（平坦的）“欧几里得”空间的规则。

不过，就现存文献而言，把经纬度（也就是我们今天用来确定地球表面位置的那套坐标）引入的功劳属于托勒密。在他的《地理学》（Geography）一书中，他列出了数千个地理位置；而在《天文学大成》里，他给出了一份包含一千多颗恒星的星表，用天球上类比于经纬度的方式定位。所有这些坐标都是角度——为了测量它们，托勒密描述了如何用一根影杆和一个像量角器那样带刻度的圆盘来求太阳的角度；而要定位其他恒星，他用的是浑天仪（armillary sphere）。（这是一套由可动圆环组成的复杂网络，构成一个中空的球壳，把小小的地球包在中间；这些圆环代表诸如太阳的视周年轨道与视周日轨道、观测者的地平圈与子午圈——后两者与观测者的经纬度相关——以及一个标有度数的圆环和另一个带瞄准孔的、用于对准恒星的圆环。）

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此后又过了一千二百年，才出现了我们今天在数学课上习以为常的那种坐标纸上的坐标的雏形——尤其是经由十四世纪法国数学家尼科尔·奥雷姆（Nicole Oresme）的工作（尽管与欧几里得差不多同时代的佩尔加的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）也曾瞥见过这个想法）。三个世纪之后，另一位法国人勒内·笛卡尔（René Descartes）离它更近了一步；循着他的路，后来的数学家牢固地确立了熟悉的 x-y“笛卡尔”坐标系，其两轴在网格的“原点”处相交。至此，在这篇简短的预备性概述中，我们正在一步步逼近向量的概念。

所以，我想用这篇导言剩下的篇幅，多展示一点现代向量是什么、以及它们能做什么。不过在此之前，我想重申我在前几页粗略勾勒的、向量那漫长而多元的史前史的重要性，因为本书的大部分篇幅将聚焦于发明微积分、向量与张量的那些现代欧洲男性。今天的数学是一项真正世界性的事业，但在我们故事主要发生的十九世纪，联合王国（当时包括爱尔兰）尤其具备成为科学重镇的条件。它拥有历史悠久的大学，以及为成人教育而设的、数量不断增长的技工讲习所（Mechanics' Institutes）与工人学院（Working Men's Colleges）。（职业女性终于在 1874 年有了自己的学院，后面我们还会遇见一些在最早的女子大学学院中求学的女性。）它还有一套成熟的银行体系，使创业性的技术投资成为可能；有不断扩展的铁路网，既便利了沟通也便利了市场；还有丰富的原材料——本国的煤、水与钢材，以及从殖民地掠夺来的物资。这些因素支撑了十八与十九世纪的工业革命，其中科学与技术携手并进、相互助燃——当然，这并不只发生在英国。欧洲有着同样发达的机构与科学共同体——对我们的故事而言，尤其是法国、意大利和德国。但正如我们已经看到的、也正如我们将在接下来两章中看到的，这些现代科学共同体对它们古代与中世纪的多元文化先辈亏欠良多。

快速前瞻：想象新的维度，想象新的世界

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你可能还记得，在学校里学过：在一个坐标网格上，从原点 O 到一点 P 的方向可以用一个箭头来表示，就像下面的图 0.2 那样。这就是向量的一个实例或模型——它是一个“位置”向量，用 P 相对 O 的方向与距离来表示 P 的位置。然而，“某个东西能编码多于一件事情——能超出单个数字”这个想法，实际上是相当精密的；而我们将在本书中走完它形成的过程。我们会看到，人们花了非常长的时间，才创造出“一个符号同时具有模与方向”这样的观念。

因此，接下来几页只是一次快速的前瞻，或许也是对你可能学过、却没意识到如此具有开创性的两个基本观念的复习。我们后面会更详细地认识它们，我在这里提到它们，是为了给旅途中需要的一些术语和概念铺好轨道——同时也是为了让你一瞥向量在今天为何如此重要。张量——向量的多维表亲——要到故事很后面才登场，因为它们要建立在为向量发展出的概念与符号之上；而通往向量的旅程，层次之丰富出人意料。不过在我们探索这些层次的同时，也会逐步搭建起同样支撑着张量的那些观念。

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第一个观念是记号（notation）。数学符号有时会显得神秘，因此本书的目标之一，就是与你分享一些概念上的突破——正是它们使得为新思想发明新符号成为必要。即便是那些我们熟悉的 x 和 y，也是等了很久才出现的，我们下一章就会看到。我们要过好几章才会讲到现代向量符号的确立——这本身就说明这些思想的演化花了多长时间。不过现在，我只想把我们的故事与你可能已知的东西之间的轨道铺好。例如，位置向量（position vector）常记作 r、\(\vec{r}\) 或 \(\hat{r}\)。即便你并不熟悉向量，可能也记得教科书里把这类记号与普通字母、数字混在一起使用。这是因为粗体字——或者字母上方的“帽号”、箭头，下方的波浪线——是今天表示向量的常见方式，用来把它们与表示数字、即无方向的量的普通字母区分开来。所以在这个例子中，不带粗体、帽号或其他标记的 r 只表示距离的大小，不涉及方向；像这样的量称为“标量（scalar）”，与“向量”相对。这套记号的另一个例子是 v 表示速度（velocity），它既包含速率也包含方向，而 v 表示速率（speed）——即速度的大小。

图 0.2　图 0.2　点 P 的位置向量 r，其分量的大小为 r_x 与 r_y。r 的模——也就是箭头的长度，代表 O 到 P 的距离——记作 |r| 或 r，它可以由分量用毕达哥拉斯定理求出。

第二个关键观念是：向量有“分量（component）”。比如说，在书本页面或坐标纸这样的二维空间里，你有两个相互独立的空间方向——通常表示为 x 与 y 方向或轴——所以你的点有两个坐标，而它们之间的箭头有两个分量。换句话说，分量就是你从每条轴去测量这个箭头时得到的数值，如图 0.2 所示。

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类似地，在三维空间中有三个相互独立的方向，也就有三个分量。再往上是时空，那里有四条坐标轴，三条空间的加一条时间的，于是你那个比喻意义上的箭头有四个分量——所以你的位置向量不仅度量走过的距离，也度量所花的时间。这可能比“量出三个空间分量、再从腕表上读出时间分量”要棘手一些——因为如果你相对于要测量的对象在运动，时间与空间坐标会以相互纠缠的方式发生变化。当你身处引力场之中时，情况就更复杂了——那是广义相对论而非狭义相对论的领地。我后面会更多地谈相对论，但这里我只想指出：时空中的向量有四个分量。（我也该指出，正是空间与时间的这种相互纠缠，使得现代物理论文中“spacetime”这个写法或许比“space-time”更常见——因为它表明空间与时间交织在一起，而不只是两样东西被硬接在一起。不过这两种写法在数学与物理学文献中今天都还在用，而带连字符的那个版本，正是这一概念的创立者赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）和爱因斯坦所使用的。我们后面会遇见闵可夫斯基和爱因斯坦。）

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这个故事中将引发极大争议的一点，是箭头——可以这么说——与它的分量之间的微妙差别。当这个微妙之处终于被领会时，道路就会打开，不仅催生出现代本科的向量数学，也催生出张量。我们会看到，造成混淆的部分原因在于：你也可以仅仅把向量的分量列出来就表示向量，这比画箭头更简便、更经济——尤其是当你想走出三维的时候。举个例子，假设你正以 35 mph 的速度朝正北行驶（沿着一条平坦的二维街道——数学家喜欢从简化的假设出发来探索新思想！），并且你选南北方向为 y 轴。从几何上看，你的速度向量会沿着图 0.2 中的 y 轴向上，长度为 35 个单位。但你也可以把这个速度写成 v = (0, 35)，意思是你沿 y 轴方向每小时移动 35 英里，沿 x 轴方向每小时移动 0 英里。于是标量 35 给出你的速率（以英里每小时为单位），而向量 (0, 35) 表明这个速率是朝正北（y）方向的。（给 (0, 35) 标上向量符号，比如写成 v = (0, 35)，就把它与笛卡尔网格上的单个点区分开来——由此你可以看出记号的重要性。）任何速度，无论朝哪个方向，都可以这样表示。例如，如果你是以 35 mph 朝东北方向行驶，那么你的向量分量就是 \(\left(\frac{35}{\sqrt{2}},\frac{35}{\sqrt{2}}\right)\)（我在这个尾注里给出了说明⁷）。

图 0.3　图 0.3　半径为 r 的圆上一点 P 的极坐标；角度 θ 按逆时针方向度量。速度分量分别沿 r 方向、以及 θ 增大的方向度量，如图所示。

更一般地——此刻且轻快地跳过从数字到符号代数的漫长道路——你可以用 (v_x, v_y, v_z) 来表示三维空间中的速度分量，表示你沿 x 方向每小时走 v_x 英里，沿 y 方向每小时走 v_y 英里，沿 z 方向每小时走 v_z 英里。再更一般一些，三维空间中速度的分量也可以记作 (v₁, v₂, v₃)，因为笛卡尔的 x, y, z 坐标系并不是唯一可用的坐标系。例如，在二维情形下，极坐标 (r, θ) 对于确定圆周上各点的位置很有用，如图 0.3 所示；向量 (v₁, v₂) 就意味着你沿 r 方向每小时走 v₁ 英里，沿 θ 方向每小时走 v₂ 英里。要确定球面上的一点，你可以把它推广到三维，使用球面坐标 (r, θ, φ)，其中 φ 是向量与 z 轴之间的夹角。不过这些细节在这里并不那么重要：真正有趣的是这套符号背后的故事——当然，还有它的应用。

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例如，在四维时空中，爱因斯坦把他的坐标记作 (x₁, x₂, x₃, x₄)，其中前三个是通常的空间坐标，第四个是时间坐标。于是，在这个系统中，一个四维速度向量（four-velocity，或称“四维速度”⁸）的分量就记作 (v₁, v₂, v₃, v₄)。

以此类推，我们可以想象任意多个维度。这正是把向量中的信息表示成一串分量这种做法的美妙之处：既然你能写 (v₁, v₂, v₃, v₄)，又有什么能阻止你写下 (v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, …)，一直写到任意多（有限的！）个维度呢？弦理论家们所做的正是这类事情，他们提出我们的宇宙可能不是四维，而是十维、十一维甚至二十六维——弦理论有好几种版本。你可以把这些额外的维度理解为：让空间有地方容纳微小弦的种种振动方式，每一种振动方式代表着一种不同的基本粒子或基本作用力。

弦理论是一个例子，说明数学“向量空间”中的维度所能表示的，可以比普通的空间与时间更加奇异。再举一个例子：在量子力学中，电子的磁取向（即“自旋（spin）”）的轴可以是“上”或“下”，或者两者的“叠加（superposition）”，就好像电子拿不定主意要让自己的自旋朝上还是朝下。这可以类比于一个二维速度向量，比方说一个分量沿 x 方向、另一个沿 y 方向；于是对于电子自旋，你可以让“上”和“下”这两个自旋方向成为你的两条轴。

类似地，在计算中，你用两个二进制数字（“位”，bit）——0 和 1——来编码信息，它们在物理上由比如电路的断开与接通来表示。在量子计算中，与“位”对应的东西是量子比特（qubit，读作“cue-bit”，是“quantum bit”的缩写）。量子的 0 与 1 可以在物理上体现为电子自旋的两个基本状态——0 可以用自旋“上”表示，1 用自旋“下”表示——所以量子比特同样可以用数学方式表示为二维向量。

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向量在现代商业与技术应用中也很有用。例如，那些轴或者“维度”可以代表网站问卷或政治调查中的不同问题、影响房价或其他社会经济数据的不同因素，或者图像处理中像素的位置与颜色。顺便说一句，如果你熟悉图像处理，你会知道在某些计算应用中，“向量”一词的用法与我前面概述的通常数学含义略有不同。图像处理中的“向量文件（vector file）”是用方程来生成形状的，而不是用向量来存储关于像素之类的信息。不过，这些“向量文件”所产生的形状确实沿着图形把线从一个点“带”到另一个点，而“携带者（carrier）”正是“vector”一词的本义。把数学中的向量看作箭头，你就会明白，它们同样是把线从箭尾“带”到箭头的。尽管如此，在大多数应用中——无论是物理、商业还是计算——使用的都是箭头这种向量，或者更一般地说，它的那串分量。

但威廉·罗恩·哈密顿之所以激动，并不是仅仅因为你可以写下任意多个分量来表示各种物理的、数字的、经济的系统或场景。自从人类能够计数和书写以来，存储与表示数据就一直很重要，但计算同样重要——而向量和张量让你能够同时进行表示和计算。奇妙之处正在于此：尽管把向量写成分量的清单既简单又好用，哈密顿真正为之振奋的是，当你把向量当作一个整体、而不只是它各个分量来考虑时，向量算术的规则会让向量比单纯的数字强大得多。

例如，把麦克斯韦方程组写成整体向量形式，就相对容易地推导出了电磁波的方程——而电磁波这一现象的存在，正是麦克斯韦此前预言出来的。磁场向量与向量积也在用数学方式定义电子等亚原子粒子的自旋中发挥作用（这又是一个例子），从而使自旋得以在现实世界中得到应用——比如在磁共振成像（MRI）中，它可以通过“看见”患者体内来进行诊断。

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哈密顿不可能梦见这样的事情。但一旦他的向量算术公之于世，其中的模式就引起了其他数学家的兴趣——尤其是那些喜欢看看自己能把数学规则与语法的逻辑后果推到多远的人。而有时候，他们推得太远，一头栽进了一种新的实在之中，就像爱丽丝穿过镜子、掉进兔子洞那样。

打破规则

不过，爱丽丝的创造者刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）——也就是牛津数学家查尔斯·道奇森（Charles Dodgson）——在这件事上并不是那类做创造性推动、并一头栽进去的人。甚至有人猜想，《爱丽丝梦游仙境》里疯帽匠的茶会之所以荒诞得如此可爱，正是在戏仿哈密顿那些打破规则的向量——不过从表面上看，很难判断道奇森到底是为此感到欣喜，还是觉得它们荒唐可笑。⁹ 无论如何，哈密顿从几乎所有人脚下抽走了地毯：他发现，与普通算术不同，在向量算术中进行乘法的方式不止一种。而且，正如我们将看到的，向量乘法并不总是遵循数字乘法那些久已确立的规则。

哈密顿关于乘法的、看似荒唐的发现，以及此后所有突破性的向量与张量发展和应用，都需要用到代数符号。我说的是“向量算术”，但更一般的说法是“向量代数”。粗略地说，算术处理数字，代数处理象征数字或可量化之量（比如温度或速率）的字母。这种符号化让数学家得以进行推广。例如，把普通算术的基本规则用符号写出来——比如交换律 a + b = b + a 与 a × b = b × a——你就能看出对所有数字都成立的模式，于是不必像最早的数学家那样把每个例子分别列出来。哈密顿正是尽可能循着这些基本算术模式，发展出了他的向量代数规则；所以当他意识到自己必须把乘法规则放宽时，他和任何人一样震惊。

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然而符号化的代数思维姗姗来迟——它出现在埃及人与美索不达米亚人、古希腊人与中国人、中世纪的阿拉伯人与印度人，以及十七世纪之前所有其他数学文化之后很久。即便到了十九世纪，许多数学家仍然不信任纯粹抽象的符号代数，因为它看起来与日常经验脱节得太厉害。因此，为了给哈密顿、麦克斯韦以及其他向量先驱将要面对的挑战铺垫背景，下一章要从这篇概述往回走，讲人们最初是如何开始用字母来表示和计算的——以及这个看似简单的一步，如何让数学家得以更具创造性地思考。

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不过在此之前，我们要先穿上哈密顿的鞋子走上一两英里，重温他那个狂放而越界的顿悟时刻：原来数学的古老规则，终究是可以被打破的。

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1. 威廉·罗恩·哈密顿写给 P. G. Tait 的信，发表于 P. G. Tait 的 An Elementary Treatise on Quaternions（Cambridge: Cambridge University Press, 1890）第三版序言中。 ↩

2. 麦克斯韦并没有使用“向量场”这个术语，但他所创造的正是向量场（几年后，他在 1873 年的 Treatise on Electricity and Magnetism 中把这一点说得很清楚）；这意味着什么、它又如何影响了后来的物理学家，我将在后续各章中探讨。 ↩

3. 古代表格数学：参见 Eleanor Robson, "Mathematical Cuneiform Tablets in the Ashmolean Museum, Oxford," SCIAMVS 5 (2004): 2–65；Duncan J. Melville, "Computation in Early Mesopotamia," in Computations and Computing Devices in Mathematics Education before the Advent of Electronic Calculators, ed. A. Volkov and V. Freiman (Switzerland: Springer Nature, 2018), 25–47。Melville 强调了解读这类古代文献及其预期用途时存在的困难；Robert Middeke-Conlin 则指出，关于部分美索不达米亚数学泥板的用途之争至今仍在继续，见 "The Mathematics of Canal Construction in the Kingdoms of Larsa and Babylon," Water History 12 (2020): 105–28。不过，Daniel Mansfield 2021 年的研究为其中的一些解读增添了重要的清晰度；见他的 "Plimpton 322: A Study of Rectangles," Foundations of Science 26 (2021): 977–1005。 ↩

4. 关于美索不达米亚的土地使用与测量，以及普林顿 322 号泥板所起的作用，我得益于 Mansfield 的 "Plimpton 322"。Mansfield 发现了 Si427 号泥板的毕达哥拉斯性质，他也为普林顿 322 号泥板提供了新见解，并给出了美索不达米亚乘法表的细节。不过，关于他对美索不达米亚三角学的论断，参见例如 Evelyn Lamb, "Don't Fall for Babylonian Trigonometry Hype," Scientific American（博客），2017 年 8 月 29 日。 ↩

5. 澳大利亚原住民天文学：Duane Hamacher, "Stories from the Sky: Astronomy in Indigenous Knowledge," The Conversation, 2014 年 12 月 1 日；Ray P. Norris, Cilla Norris, Duane W. Hamacher, and Reg Abrahams, "Wurdi Youang: An Australian Aboriginal Stone Arrangement with Possible Solar Indications," Rock Art Research 30, no. 1 (2013): 55–65。 ↩

6. 托勒密那些辉煌、但如今大多已散佚的资料来源中，有克尼多斯的欧多克索斯——他或许是开启天文学几何建模进程的第一人，并且开创了我们将在第 2 章遇到的、原始微积分的穷竭法；昔兰尼的埃拉托斯特尼——他显然使用了一种基本的经纬度，并且在仅靠一根影子杆和几根简单量杆的条件下，异常准确地推算出了地球的大小；尼西亚的喜帕恰斯——他似乎是第一个系统地用 360° 圆来精确几何表示行星运动的人，其数学与天文学造诣之高，使他发现了二分点岁差；还有佩尔加的阿波罗尼奥斯——他在对圆锥曲线的数学分析中使用了一种事后建立的坐标系，托勒密的行星运动本轮与偏心圆模型正是直接建立在他的基础之上。 ↩

7. 例如，假设你正以 35 mph 的速度朝东北方向行进，你的向量会指向与坐标轴成 45° 的方向，但它的分量必须满足：用毕达哥拉斯定理把它们合起来时，模仍是 35。所以，这个向量就是 \(\left(\frac{35}{\sqrt{2}},\frac{35}{\sqrt{2}}\right)\)。 向量 \(\left(\frac{35}{\sqrt{2}},\frac{35}{\sqrt{2}}\right)\) 由图 0.2 得出，依据是：在求分量时需要用到 \(\sin 45^{\circ}=\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)；如果你对三角学有些生疏，可以预先看一眼图 3.4，就会明白为什么垂直分量和水平分量需要 sin 45° 与 cos 45°。然后，用毕达哥拉斯定理，有 \(\left(\frac{35}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{35}{\sqrt{2}}\right)^{2}=35^{2}\)，于是向量是 \(\left(\frac{35}{\sqrt{2}},\frac{35}{\sqrt{2}}\right)\)，模为 35。 ↩

8. 四维速度的各分量是仿照普通速度来定义的，即（时空）坐标对（固有）时间的导数。固有时就是可以直接测量的“时钟时间”，也就是相对于观察者静止的那只时钟所记录的时间。 ↩

9. 疯帽匠戏仿猜想指的是哈密顿某种新型乘法的一个后果（即不可交换性，我们将在第 1 章和第 4 章看到）；这一猜想由维多利亚文学研究专家 Melanie Bayley 提出，见 "Alice's Adventures in Algebra: Wonderland Solved," New Scientist, 2009 年 12 月 16 日。Michael Brooks 在他的 The Art of More (Melbourne: Scribe, 2021), 194–96 中与 Bayley 一起继续讲了这个故事。 Brooks 和 Bayley 把道奇森描绘成一个保守、平庸的数学家（另见例如 Michael Deakin, "Lewis Carroll—Mathematician?," Function 18, no. 1 [1994 年 2 月]: 10–18）——一个不可能理解哈密顿工作的人。这很可能是事实。然而，道奇森／卡罗尔今日的数学声望，并不建立在他生前发表的工作上，而是建立在后世发现的晚期手稿上：关于投票方法，以及关于符号逻辑（在其中他用荒诞命题和符号代数来教授逻辑规则）；参见 Francine Abeles, "Logic and Lewis Carroll," Nature 527 (2015 年 11 月 19 日): 302–4；Amirouche Moktefi, "Why Make Things Simple When You Can Make Them Complicated? An Appreciation of Lewis Carroll's Symbolic Logic," Logica Universalis 15 (2021): 359–79；想领略一下卡罗尔的逻辑谜题，可参见夏威夷大学网站 http://math.hawaii.edu/~hile/math100/logice.htm。 不过要注意，在卡罗尔的 Symbolic Logic (New York: Dover, 1958；原版出版于 1897 年，即《爱丽丝》问世三十年后) 中，他建立了一套可交换的符号逻辑代数（例如第 35、70 页）：卡罗尔的等式关乎逻辑而非代数，但耐人寻味的是，他选择强调“交换性”——或许他确实对哈密顿的不可交换乘法有所不满。又或许，他只是想把自己那些符号化的逻辑命题与向量积区分开来。 ↩